# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/barisan-dan-deret/deret-geometri
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/sequence-series/geometric-series/id.mdx

Pelajari rumus deret geometri untuk menghitung jumlah suku dengan efisien. Selesaikan masalah produksi, pola COVID-19, dan pelajari penerapannya.

---

## Konsep Deret Geometri

Perhatikan data jumlah pasien terinfeksi Covid-19 dalam tabel berikut:

| Bulan         | Januari | Februari | Maret | April | Mei |
| :------------ | :------ | :------- | :---- | :---- | :-- |
| Jumlah pasien | $$4$$ | $$12$$ | $$36$$ | $$108$$ | $$324$$ |

Visible text: | Bulan | Januari | Februari | Maret | April | Mei |
| :------------ | :------ | :------- | :---- | :---- | :-- |
| Jumlah pasien | | | | | |

Data di atas menunjukkan pola peningkatan jumlah pasien setiap bulannya. Jika kita jumlahkan jumlah pasien dari bulan pertama hingga bulan tertentu, kita akan membentuk sebuah **Deret Geometri**.

Deret Geometri adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan antara dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan ini disebut **rasio** (dilambangkan dengan $$r$$).

Visible text: Deret Geometri adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan antara dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan ini disebut **rasio** (dilambangkan dengan ).

Pada data pasien Covid-19:

- Suku pertama ($$a$$ atau $$U_1$$) adalah $$4$$.
- Rasio $$(r) = \frac{12}{4} = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = \frac{324}{108} = 3$$.

Visible text: - Suku pertama ( atau ) adalah .
- Rasio .

Jadi, barisan jumlah pasiennya adalah $$4, 12, 36, 108, 324$$.
Deret geometrinya adalah jumlahan suku-suku barisan tersebut:

Visible text: Jadi, barisan jumlah pasiennya adalah .
Deret geometrinya adalah jumlahan suku-suku barisan tersebut:

- Jumlah $$2 \text{ bulan}$$ pertama $$(S_2) = 4 + 12 = 16$$
- Jumlah $$3 \text{ bulan}$$ pertama $$(S_3) = 4 + 12 + 36 = 52$$
- Jumlah $$4 \text{ bulan}$$ pertama $$(S_4) = 4 + 12 + 36 + 108 = 160$$
- dan seterusnya.

Visible text: - Jumlah pertama 
- Jumlah pertama 
- Jumlah pertama 
- dan seterusnya.

## Menemukan Rumus Jumlah Suku Pertama

Bagaimana cara menghitung jumlah $$n$$ suku pertama $$(S_n)$$ tanpa harus menjumlahkan satu per satu? Mari kita temukan rumusnya.

Visible text: Bagaimana cara menghitung jumlah suku pertama tanpa harus menjumlahkan satu per satu? Mari kita temukan rumusnya.

Perhatikan tabel ini yang menunjukkan proses menemukan kembali rumus jumlah deret geometri:

| Notasi                       | Penjumlahan Langsung                          | Menggunakan $$U_{n+1}$$ dan $$U_1$$ | Bentuk Umum                                             |
| :--------------------------- | :-------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------ |
| $$S_2$$    | $$4 + 12 = 16$$             | $$S_2 = \frac{36 - 4}{3 - 1} = \frac{32}{2} = 16$$    | $$S_2 = \frac{U_3 - U_1}{r - 1}$$     |
| $$S_3$$    | $$4 + 12 + 36 = 52$$        | $$S_3 = \frac{108 - 4}{3 - 1} = \frac{104}{2} = 52$$  | $$S_3 = \frac{U_4 - U_1}{r - 1}$$     |
| $$S_4$$    | $$4 + 12 + 36 + 108 = 160$$ | $$S_4 = \frac{324 - 4}{3 - 1} = \frac{320}{2} = 160$$ | $$S_4 = \frac{U_5 - U_1}{r - 1}$$     |
| $$\vdots$$ | $$\dots$$                   | $$\dots$$                                             | $$\dots$$                             |
| $$S_n$$    | $$\dots$$                   | $$\dots$$                                             | $$S_n = \frac{U_{n+1} - U_1}{r - 1}$$ |

Visible text: | Notasi | Penjumlahan Langsung | Menggunakan dan | Bentuk Umum |
| :--------------------------- | :-------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------ |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |

Dari kanan bawah di tabel, kita dapatkan bentuk umum:

```math
S_n = \frac{U_{n+1} - U_1}{r - 1}
```

Kita tahu bahwa rumus suku ke-$$n$$ pada barisan geometri adalah $$U_n = ar^{n-1}$$. Maka, $$U_{n+1} = ar^{(n+1)-1} = ar^n$$.
Substitusikan $$U_{n+1} = ar^n$$ dan $$U_1 = a$$ ke dalam rumus $$S_n$$:

Visible text: Kita tahu bahwa rumus suku ke- pada barisan geometri adalah . Maka, .
Substitusikan dan ke dalam rumus :

Component: MathContainer
Children:

```math
S_n = \frac{ar^n - a}{r - 1}
```

```math
S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}
```

Ini adalah rumus jumlah $$n$$ suku pertama deret geometri.

Visible text: Ini adalah rumus jumlah suku pertama deret geometri.

## Rumus Deret Geometri

Secara umum, rumus untuk menghitung jumlah $$n$$ suku pertama deret geometri adalah:

Visible text: Secara umum, rumus untuk menghitung jumlah suku pertama deret geometri adalah:

```math
S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \text{ untuk} r > 1
```

atau

```math
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, \text{ untuk} r < 1
```

**Keterangan:**

- $$S_n$$ = jumlah $$n$$ suku pertama
- $$a$$ = suku pertama $$(U_1)$$
- $$r$$ = rasio $$(r \neq 1)$$
- $$n$$ = banyaknya suku

Visible text: - = jumlah suku pertama
- = suku pertama 
- = rasio 
- = banyaknya suku

## Contoh Penerapan

Sebuah perusahaan sepeda pada tahun $$2020$$ meningkat setiap bulannya dan membentuk barisan geometri. Produksi pada bulan Januari sebanyak $$120 \text{ unit}$$. Pada bulan April, hasil produksi mencapai $$3.240 \text{ unit}$$. Berapakah total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei?

Visible text: Sebuah perusahaan sepeda pada tahun meningkat setiap bulannya dan membentuk barisan geometri. Produksi pada bulan Januari sebanyak . Pada bulan April, hasil produksi mencapai . Berapakah total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei?

**Penyelesaian:**

- Produksi Januari $$(U_1) = a = 120$$
- Produksi April $$(U_4) = 3.240$$
- Ditanya: Total produksi hingga Mei $$(S_5)$$

Visible text: - Produksi Januari 
- Produksi April 
- Ditanya: Total produksi hingga Mei

**Langkah** $$1$$: Cari rasio $$(r)$$

Visible text: **Langkah** : Cari rasio

Component: MathContainer
Children:

```math
U_4 = ar^{4-1} = ar^3
```

```math
3.240 = 120 \cdot r^3
```

```math
r^3 = \frac{3.240}{120}
```

```math
r^3 = 27
```

```math
r = \sqrt[3]{27} = 3
```

**Langkah** $$2$$: Hitung $$S_5$$ Karena $$r = 3 > 1$$, gunakan rumus:

Visible text: **Langkah** : Hitung Karena , gunakan rumus:

Component: MathContainer
Children:

```math
S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}
```

```math
S_5 = \frac{120(3^5 - 1)}{3 - 1}
```

```math
S_5 = \frac{120(243 - 1)}{2}
```

```math
S_5 = \frac{120(242)}{2}
```

```math
S_5 = 60 \cdot 242
```

```math
S_5 = 14.520
```

Jadi, total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei adalah $$14.520 \text{ unit}$$.

Visible text: Jadi, total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei adalah .