Konsep Barisan

Urutan dan Notasi Suku Barisan

Barisan bilangan adalah susunan bilangan dengan urutan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku. Notasinya sebagai berikut:

Suku ke- $1$ dilambangkan dengan $U_1$
Suku ke- $2$ dilambangkan dengan $U_2$
Suku ke- $3$ dilambangkan dengan $U_3$
Suku umum dilambangkan dengan $U_n$

Aturan barisan menentukan suku-suku berikutnya dan dapat memberi rumus untuk suku umum.

Secara lebih tepat, barisan memasangkan satu nilai dengan setiap indeks yang diperbolehkan:

U:\{1,2,3,\ldots\}\to\mathbb{R},\qquad n\mapsto U_n

Urutan merupakan bagian dari definisi. Barisan $1,2,3,\ldots$ dan $3,2,1,\ldots$ dapat memuat beberapa bilangan yang sama, tetapi keduanya bukan barisan yang sama.

Aturan Eksplisit dan Rekursif

Aturan eksplisit menghitung suatu suku langsung dari indeksnya. Contohnya:

U_n=2n+1

Aturan ini menghasilkan $3,5,7,9,\ldots$ . Aturan rekursif menyebutkan suku awal dan menjelaskan cara memperoleh suku berikutnya:

U_1=3

Kedua aturan tersebut menjelaskan barisan yang sama. Bentuk eksplisit menghitung suku ke berapa pun langsung dari indeksnya. Bentuk rekursif menghitung setiap suku baru dari suku sebelumnya.

Pola Bilangan dari Meja dan Kursi

Perhatikan contoh pola bilangan yang terbentuk dari susunan meja dan kursi:

Pola Barisan Meja dan Kursi

1 Meja & 4 Kursi

Ketika terdapat $1 \text{ meja}$ berbentuk segi empat, dapat diletakkan $4$ kursi di sekeliling meja tersebut.

Jika $2 \text{ meja}$ disatukan, maka dapat diletakkan $6$ kursi di sekeliling meja gabungan tersebut.

Kita dapat membuat tabel untuk mengamati polanya:

Banyak meja	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Banyak kursi	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$

Tabel menunjukkan tiga pasangan pertama:

Saat ada $1 \text{ meja}$ , terdapat $4$ kursi
Saat ada $2 \text{ meja}$ , terdapat $6$ kursi
Saat ada $3 \text{ meja}$ , terdapat $8$ kursi

Setiap tambahan $1 \text{ meja}$ menambah $2$ kursi. Hubungan antara banyak meja dan kursi mengikuti rumus:

U_n = 2n + 2

Pada rumus ini:

$U_n$ adalah banyak kursi
$n$ adalah banyak meja

Pola yang sama dapat ditulis secara rekursif:

U_1=4

Memakai Aturan untuk Menjawab Pertanyaan Kursi

Aturan barisan bisa menjawab pertanyaan menghitung secara langsung. Pada contoh berikut, aturan itu mengubah jumlah orang menjadi jumlah meja. Masukkan jumlah orang ke dalam aturan, lalu periksa apakah hasilnya sesuai dengan susunan meja yang dijelaskan.

Menentukan Jumlah Kursi dan Meja

Aturan barisan tersebut dapat digunakan untuk menjawab pertanyaan seperti:

Jika terdapat $20 \text{ orang}$ yang akan duduk di kursi, berapa meja yang perlu disatukan?

Kita bisa menggunakan rumus $U_n = 2n + 2$ dan menetapkan $U_n = 20$ , sehingga:

20 = 2n + 2

Jadi, diperlukan $9 \text{ meja}$ yang disatukan untuk menampung $20 \text{ orang}$ .

Berbagai Jenis Barisan

Berdasarkan polanya, barisan bilangan dapat dibedakan menjadi beberapa jenis. Dua jenis yang paling sering muncul menambah selisih tetap atau mengalikan dengan rasio tetap, dan keduanya punya rumus sendiri.

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika memiliki selisih tetap antara setiap dua suku berurutan. Selisih ini disebut beda ( $b$ ). Pada barisan $2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ bedanya $2$ karena setiap suku bertambah dua dari suku sebelumnya.

Barisan Geometri

Barisan geometri memiliki rasio tetap antara setiap dua suku berurutan. Nilai tetap ini disebut rasio ( $r$ ). Pada barisan $2, 6, 18, 54, \ldots$ rasionya $3$ karena setiap suku sama dengan tiga kali suku sebelumnya.

Barisan Lainnya

Selain barisan aritmetika dan geometri, terdapat banyak jenis barisan lain seperti barisan Fibonacci, barisan kuadrat, dan barisan kubik. Barisan Fibonacci dimulai dari $0$ dan $1$ , lalu setiap suku berikutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya, sehingga polanya tidak dapat ditulis sebagai beda atau rasio tetap.

Beberapa Suku Awal Tidak Menentukan Satu Aturan Tunggal

Daftar suku yang pendek dapat memberi petunjuk tentang pola yang masuk akal, tetapi tidak memaksa hanya satu kelanjutan. Awalan $1,2,4$ dapat dilanjutkan menjadi $8,16,\ldots$ jika setiap suku dikalikan dua. Aturan lain dapat cocok dengan tiga suku pertama lalu berubah mulai suku keempat.

Agar semua suku dalam barisan dapat ditentukan, kita memerlukan aturan yang jelas atau syarat yang cukup. Menebak pola menghasilkan dugaan. Pembuktian memerlukan aturan yang menentukan semua suku.

Menemukan Pola

Untuk menentukan pola suatu barisan:

Perhatikan selisih antar suku berurutan
Cek apakah selisihnya tetap (barisan aritmetika)
Jika tidak, cek apakah rasionya tetap (barisan geometri)
Jika tidak keduanya, cek kemungkinan pola lainnya

Barisan memasangkan setiap indeks dengan satu suku. Aturannya dapat diberikan secara eksplisit, rekursif, atau dengan cara lain.

Latihan

Diberikan $V_n=n^2-n$ :

Tentukan lima suku pertama.
Berikan aturan rekursif untuk barisan tersebut.

V_1,V_2,V_3,V_4,V_5=0,2,6,12,20

Pertambahan rekursifnya adalah $2n$ karena:

\begin{aligned} &V_{n+1}-V_n \\ &=((n+1)^2-(n+1))-(n^2-n) \\ &=2n \end{aligned}