Konsep Deret

Menjumlahkan Suku-suku dalam Barisan

Bagaimana suku-suku suatu barisan dapat diakumulasikan? Bentuk seperti $1+2+3+\cdots$ disebut deret.

Deret bilangan dibentuk dengan menjumlahkan suku-suku suatu barisan sesuai urutannya. Dua contoh yang umum adalah deret aritmetika, yang sukunya berasal dari barisan aritmetika, dan deret geometri, yang sukunya berasal dari barisan geometri.

Pada contoh jabat tangan di bawah, setiap orang baru menambahkan satu suku pada jumlah seluruh jabat tangan.

Jumlah Parsial Menghubungkan Barisan dan Deret

Untuk barisan $(U_n)$, jumlah $n$ suku pertamanya disebut jumlah parsial ke-$n$:

Soal berhingga meminta satu jumlah parsial tertentu. Untuk deret tak hingga, kita mengkaji apakah barisan $(S_n)$ mendekati satu limit berhingga ketika $n$ bertambah.

Banyaknya Jabat Tangan

Bayangkan ada beberapa orang dalam satu kelompok. Jika setiap orang berjabat tangan tepat satu kali dengan setiap orang lain di kelompok itu, berapa total jabat tangan yang terjadi?

Coba hitung:

• Jika ada $2 \text{ orang}$: Hanya ada $1 \text{ jabat tangan}$.
• Jika ada $3 \text{ orang}$: Orang pertama berjabat tangan dengan $2 \text{ orang}$ lainnya. Orang kedua sudah berjabat tangan dengan orang pertama, jadi tinggal berjabat tangan dengan orang ketiga. Total ada $2 + 1 = 3 \text{ jabat tangan}$.
• Jika ada $4 \text{ orang}$: Dengan pola yang sama, kita akan mendapatkan $3 + 2 + 1 = 6 \text{ jabat tangan}$.
• Jika ada $5 \text{ orang}$: Totalnya adalah $4 + 3 + 2 + 1 = 10 \text{ jabat tangan}$.

Perhatikan polanya! Banyaknya jabat tangan yang terjadi membentuk suatu penjumlahan berurutan dari bilangan asli.

Penjumlahan seperti $1+2+3+4$ ini adalah contoh deret bilangan. Dalam kasus ini, deret yang terbentuk berasal dari penjumlahan suku-suku barisan bilangan asli $(1, 2, 3, 4, ...)$.

Setiap pasangan harus dihitung tepat sekali. Jika jabat tangan setiap orang dihitung secara terpisah, setiap pasangan akan terhitung dua kali, satu kali dari sudut pandang masing-masing orang.

Cara Menghitung yang Kedua

Satu jabat tangan merupakan satu pasangan orang yang urutannya tidak diperhatikan. Banyak pasangan yang dapat dipilih dari $n$ orang adalah:

Untuk $n=5$, diperoleh $\binom52=10$, sama dengan hasil penjumlahan berurutan.

Pola Aritmetika dan Geometri

Jumlah jabat tangan $(1, 3, 6, 10, ...)$ membentuk barisan yang bukan aritmetika maupun geometri karena beda dan rasio antarsuku pada barisan tersebut tidak tetap ($3-1=2$, $6-3=3$, $10-6=4$).

Setiap bentuk $1$, $1+2$, $1+2+3$, dan $1+2+3+4$ adalah jumlah parsial dari barisan bilangan asli. Jumlah parsial tersebut menunjukkan cara sebuah deret dibentuk dari suku-suku barisan.

Latihan

Berapa banyak jabat tangan yang terjadi di antara $12 \text{ orang}$ jika setiap pasangan berjabat tangan tepat sekali?

Cara penjumlahan berurutan memberi:

Rumus banyak pasangan memberi hasil yang sama secara langsung:

Jadi, terdapat $66 \text{ jabat tangan}$.