Bentuk Bilangan Kompleks

Bentuk Kartesius

Bilangan kompleks dapat ditulis sebagai $z = x + iy$. Pada bentuk ini, $x$ adalah bagian real dan $y$ adalah bagian imajiner. Bentuk tersebut disebut bentuk Kartesius atau bentuk persegi panjang.

• $x = \text{Re}(z)$ (Bagian Real)
• $y = \text{Im}(z)$ (Bagian Imajiner)

Bilangan kompleks $z = x + iy$ juga dapat dipandang sebagai pasangan terurut $(x, y)$. Bidang koordinat yang memuat pasangan ini disebut bidang kompleks atau diagram Argand.

• Sumbu horizontal (sumbu $x$) merepresentasikan bagian real.
• Sumbu vertikal (sumbu $y$) merepresentasikan bagian imajiner.

Visualisasi pada Bidang Kompleks

Setiap bilangan kompleks $z = x + iy$ dapat ditempatkan pada titik $(x, y)$ di bidang kompleks. Vektor posisi dari titik asal $(0, 0)$ ke titik tersebut mewakili bilangan yang sama secara geometris.

Bentuk Polar atau Kutub

Selain Kartesius, ada cara lain buat menyatakan bilangan kompleks, yaitu bentuk polar atau bentuk kutub. Bentuk ini menggunakan:

1. Modulus ($r$): Jarak dari titik asal $(0, 0)$ ke titik $(x, y)$ di bidang kompleks. Nilainya selalu non-negatif.
2. Argumen ($\theta$): Sudut yang dibentuk oleh garis dari titik asal ke titik $(x, y)$ dengan sumbu real positif. Sudut ini biasanya diukur dalam radian atau derajat.

Untuk $z=0$, modulusnya adalah $0$, tetapi arahnya tidak terdefinisi. Karena itu, nol tidak memiliki argumen dan harus diperlakukan terpisah ketika memakai bentuk polar atau eksponen.

Hubungan antara bentuk Kartesius ($x, y$) dan bentuk Polar ($r, \theta$) bisa kita lihat dari trigonometri dasar:

Dari sini, kita bisa cari $r$ dan $\theta$ jika $x$ dan $y$ diketahui:

Saat mencari $\theta$ dari $\tan \theta$, perhatikan kuadran tempat titik $(x, y)$ berada untuk menentukan sudut yang tepat.

Dengan substitusi $x$ dan $y$ ke bentuk Kartesius, kita dapatkan bentuk polar:

Kadang, bentuk $(\cos \theta + i \sin \theta)$ disingkat jadi $\text{cis } \theta$.

Contoh Konversi ke Bentuk Polar

Misal kita punya $z = 1 + i$.

• Bagian real $x = 1$.
• Bagian imajiner $y = 1$.

Cari $r$:

Cari $\theta$:

Karena $x$ dan $y$ positif, titik $(1, 1)$ ada di kuadran $I$. Sudut yang $\tan$-nya $1$ di kuadran $I$ adalah $45^\circ$ atau $\pi/4$ radian.

Jadi, bentuk polarnya:

Latihan Bentuk Polar

Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk polar:

1. $z = 1 + i\sqrt{3}$
2. $z = -i$

Pembahasan:

1. Untuk $z = 1 + i\sqrt{3}$:

   • Identifikasi $x = 1$ dan $y = \sqrt{3}$.

   • Hitung modulus $r$:

     $$\begin{aligned} r &= \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{1 + 3} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \end{aligned}$$

   • Hitung argumen $\theta$:

     $$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

     Karena $x$ dan $y$ positif, titik $(1, \sqrt{3})$ ada di kuadran $I$, jadi $\theta = 60^\circ$.

   • Bentuk Polar:

     $$z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$$

2. Untuk $z = -i$:

   • Identifikasi $x = 0$ dan $y = -1$.

   • Hitung modulus $r$:

     $$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$

   • Tentukan argumen $\theta$: Titik $(0, -1)$ berada pada sumbu imajiner negatif, sehingga Argumen Utamanya adalah $\theta = -90^\circ$.

   • Bentuk polar dengan Argumen Utama:

     $$z = 1(\cos (-90^\circ) + i \sin (-90^\circ))$$

     Sudut koterminal $270^\circ$ memberikan bentuk yang setara:

     $$z = 1(\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ)$$

Bentuk Eksponen

Bentuk eksponen berasal dari formula Euler:

Di sini, $e \approx 2{,}71828\ldots$ adalah bilangan Euler, yaitu basis logaritma natural.

Kalau kita substitusi Formula Euler ke bentuk polar $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, kita dapatkan bentuk eksponen:

Untuk faktor-faktor tak nol, bentuk ini mengubah perkalian menjadi perkalian modulus dan penjumlahan argumen. Pembagian memakai hasil bagi modulus dan selisih argumen yang bersesuaian.

Contoh Konversi ke Bentuk Eksponen

Ambil contoh sebelumnya:

1. Untuk $z = 1 + i$, kita sudah punya bentuk polar $\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)$.

   • Modulus $r = \sqrt{2}$.

   • Argumen $\theta = 45^\circ = \pi/4$ radian.

   • Bentuk Eksponen:

     $$z = r e^{i\theta} = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$$

2. Untuk $z = \sqrt{2}(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ)$:

   • Modulus $r = \sqrt{2}$.

   • Argumen $\theta = 315^\circ$. Kita ubah ke radian:

     $$\begin{aligned} 315^\circ &= 315 \times \frac{\pi}{180} \\ &= \frac{7 \times 45 \times \pi}{4 \times 45} \\ &= \frac{7\pi}{4} \end{aligned}$$

     Atau bisa juga pakai sudut negatif $315^\circ - 360^\circ = -45^\circ = -\pi/4$ radian.

   • Bentuk Eksponen (pilih salah satu sudut):

     $$z = \sqrt{2} e^{i 7\pi/4}$$

     atau

     $$z = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$$

Latihan Bentuk Eksponen

Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk eksponen (gunakan sudut radian):

1. $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$
2. $z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$

Pembahasan:

1. Untuk $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$:

   • Modulus $r = 2$.

   • Argumen $\theta = 60^\circ$. Ubah ke radian:

     $$\theta = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$$

   • Bentuk Eksponen:

     $$z = 2 e^{i \pi/3}$$

2. Untuk $z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$:

   • Modulus $r = 1$ (karena tidak ada koefisien di depan $\cos$ dan $\sin$).

   • Argumen $\theta = 15^\circ$. Ubah ke radian:

     $$\theta = 15^\circ = 15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}$$

   • Bentuk Eksponen:

     $$z = e^{i \pi/12}$$

Memilih Bentuk yang Tepat

Bentuk Kartesius biasanya paling jelas untuk penjumlahan dan pengurangan. Bentuk polar atau eksponen memudahkan perkalian, pembagian, perpangkatan, dan penarikan akar karena modulus dan argumen dapat digabungkan secara langsung.

Untuk kembali dari bentuk polar ke bentuk Kartesius, hitung nilai sinus dan kosinusnya. Sebagai contoh:

Jadi, mengganti bentuk merupakan pilihan strategi untuk mempermudah soal. Bilangan kompleksnya tetap sama.

Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

Dua bilangan kompleks $z_1 = x_1 + iy_1$ dan $z_2 = x_2 + iy_2$ dikatakan sama jika dan hanya jika bagian real keduanya sama DAN bagian imajiner keduanya juga sama.

Contoh Kesamaan

Contoh berikut membandingkan dua bilangan dengan bagian real berbeda tetapi besar bagian imajiner yang sama, sehingga tanda bagian imajinernya yang menentukan jawabannya.

• $z_1 = 3 - 2i$ dan $z_2 = 4 + 2i$ adalah berbeda.

  karena $\text{Re}(z_1) = 3 \neq \text{Re}(z_2) = 4$ (walaupun $|\text{Im}(z_1)| = |-2| = 2 = |\text{Im}(z_2)| = |2|$, tanda imajinernya berbeda).

• $z_1 = -1 + i$ dan $z_2 = i - 1$ adalah sama.

  karena $\text{Re}(z_1) = -1 = \text{Re}(z_2) = -1$ dan $\text{Im}(z_1) = 1 = \text{Im}(z_2) = 1$.

Latihan Kesamaan

Tentukan apakah pasangan bilangan kompleks berikut sama atau berbeda:

1. $z_1 = 4 - (-2i)$ dan $z_2 = 4 + 2i$
2. $z_1 = i$ dan $z_2 = 1 - i$
3. $z_1 = -1 + i$ dan $z_2 = i + 1$

Pembahasan:

1. $z_1 = 4 - (-2i) = 4 + 2i$.

   Jadi, $z_1$ sama dengan $z_2 = 4 + 2i$.

2. $z_1 = 0 + 1i$ dan $z_2 = 1 - 1i$.

   Bagian real berbeda ($0 \neq 1$) dan bagian imajiner berbeda ($1 \neq -1$).

   Jadi, $z_1$ berbeda dengan $z_2$.

3. $z_1 = -1 + 1i$ dan $z_2 = 1 + 1i$.

   Bagian real berbeda ($-1 \neq 1$).

   Jadi, $z_1$ berbeda dengan $z_2$.

Latihan

Setiap butir meminta kamu menerima atau menolak pernyataan tentang ketiga bentuk baku, jadi sebutkan dulu bentuk yang dimaksud sebelum memutuskan.

1. Benar atau Salah. Setiap bilangan real adalah bilangan kompleks.
2. Benar atau Salah. Tiga bentuk baku yang digunakan di sini adalah bentuk Kartesius, eksponen, dan logaritma.
3. Benar atau Salah. Bilangan kompleks $z = 1 - 3i$ jika digambarkan pada bidang kompleks, maka berada di kuadran III.
4. Nyatakan bilangan kompleks $2+2i$ dalam bentuk polar dan eksponen.
5. Tentukan bilangan $x$ dan $y$ dengan $z_1 = x + 3i$ dan $z_2 = 3 - yi$ agar $z_1 = z_2$.
6. Tentukan solusi dari persamaan kuadrat $x^2 - 2x + 6 = 0$.
7. Tentukan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi $x_1 = 1 + i$ dan $x_2 = 1 - i$.

Pembahasan

1. Benar. Bilangan real $a$ dapat ditulis sebagai $a + 0i$.

2. Salah. Tiga bentuk baku yang digunakan di sini adalah bentuk Kartesius, polar, dan eksponen. Logaritma merupakan operasi yang diterapkan pada bilangan kompleks. Logaritma tidak termasuk ketiga bentuk tersebut.

3. Salah. $z = 1 - 3i$ memiliki bagian real positif ($x=1$) dan bagian imajiner negatif ($y=-3$). Titik $(1, -3)$ berada di Kuadran IV.

4. Untuk $z = 2 + 2i$:

   • Hitung modulus $r$:

     $$\begin{aligned} r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{2^2+2^2} \\ &= \sqrt{4+4} \\ &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$

   • Hitung argumen $\theta$:

     $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1$$

     Karena $x=2$ dan $y=2$ (keduanya positif), titik berada di Kuadran I. Maka, $\theta = 45^\circ$ atau $\pi/4$ radian.

   • Bentuk Polar:

     $$\begin{aligned} z &= r(\cos \theta + i \sin \theta) \\ &= 2\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \end{aligned}$$

   • Bentuk Eksponen:

     $$z = r e^{i\theta} = 2\sqrt{2} e^{i \pi/4}$$

5. Agar $z_1 = x + 3i$ sama dengan $z_2 = 3 - yi$, bagian real harus sama dan bagian imajiner harus sama:

   • Bagian Real: $x = 3$
   • Bagian Imajiner: $3 = -y \implies y = -3$ Jadi, $x=3$ dan $y=-3$.

6. Untuk menyelesaikan $x^2 - 2x + 6 = 0$, gunakan rumus kuadratik (rumus ABC):

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

   dengan $a=1, b=-2, c=6$:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}$$

   $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm i\sqrt{20}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}i}{2}$$

   $$x = 1 \pm i\sqrt{5}$$

   Solusinya adalah $x_1 = 1 + i\sqrt{5}$ dan $x_2 = 1 - i\sqrt{5}$.

7. Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah $x_1 = 1 + i$ dan $x_2 = 1 - i$, persamaan dapat dibentuk dari $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ atau $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 x_2) = 0$.

   • Hitung jumlah akar:

     $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= (1+i) + (1-i) \\ &= 1 + i + 1 - i \\ &= 2 \end{aligned}$$

   • Hitung hasil kali akar:

     $$\begin{aligned} x_1 x_2 &= (1+i)(1-i) \\ &= 1^2 - i^2 \\ &= 1 - (-1) \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}$$

   • Susun persamaan kuadrat:

     $$x^2 - (2)x + (2) = 0$$

     $$x^2 - 2x + 2 = 0$$