# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/bilangan-kompleks/invers-bilangan-kompleks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/complex-number/inverse-complex-numbers/id.mdx

Hitung invers bilangan kompleks menggunakan rumus konjugat dan modulus. Pelajari z⁻¹ = z̄/|z|² untuk pembagian dan operasi kebalikan dengan contoh.

---

## Apa itu Invers Bilangan Kompleks?

Setiap bilangan kompleks **tak nol** $$z = x + iy$$ memiliki teman "kebalikan" yang disebut **invers perkalian** (atau invers saja), yang kita tulis sebagai $$z^{-1}$$ atau $$1/z$$.

Visible text: Setiap bilangan kompleks **tak nol** memiliki teman "kebalikan" yang disebut **invers perkalian** (atau invers saja), yang kita tulis sebagai atau .

Ciri khas dari invers perkalian adalah jika kita kalikan bilangan kompleks $$z$$ dengan inversnya $$z^{-1}$$, hasilnya adalah $$1$$ (elemen identitas perkalian).

Visible text: Ciri khas dari invers perkalian adalah jika kita kalikan bilangan kompleks dengan inversnya , hasilnya adalah (elemen identitas perkalian).

```math
z \times z^{-1} = 1
```

## Menemukan Rumus Invers

Kita sudah tahu dari materi [sifat perkalian bilangan kompleks](/id/materi/matematika/bilangan-kompleks/sifat-perkalian-bilangan-kompleks#invers-perkalian) bahwa untuk $$z = x + iy$$, inversnya adalah:

Visible text: Kita sudah tahu dari materi [sifat perkalian bilangan kompleks](/id/materi/matematika/bilangan-kompleks/sifat-perkalian-bilangan-kompleks#invers-perkalian) bahwa untuk , inversnya adalah:

```math
z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}
```

Rumus ini bisa juga ditulis sebagai pasangan terurut:

```math
z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{y}{x^2+y^2} \right)
```

Ingat juga bentuk lain yang sering berguna, menggunakan konjugat ($$\bar{z} = x-iy$$) dan modulus ($$|z|^2 = x^2+y^2$$):

Visible text: Ingat juga bentuk lain yang sering berguna, menggunakan konjugat () dan modulus ():

```math
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}
```

## Contoh Perhitungan Invers

Misalkan diberikan bilangan kompleks $$z = 1 - i$$. Tentukan inversnya!

Visible text: Misalkan diberikan bilangan kompleks . Tentukan inversnya!

**Penyelesaian:**

Di sini, $$x=1$$ dan $$y=-1$$.

Visible text: Di sini, dan .

Menggunakan rumus pertama:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2+y^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2
```

```math
z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}
```

```math
= \frac{1}{2} - i\frac{-1}{2}
```

```math
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i
```

Menggunakan rumus konjugat dan modulus:

Component: MathContainer
Children:

```math
\bar{z} = 1 - (-1)i = 1+i
```

```math
|z|^2 = x^2+y^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2
```

```math
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i
```

Hasilnya sama, yaitu:

Component: ContentStack
Children:

```math
z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \text{ atau} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)
```

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi $$z$$ dan $$z^{-1}$$
  Visible text: Visualisasi dan
- description: Visualisasi dari $$z = 1-i$$ dan inversnya{" "}
$$z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$$. Perhatikan
bagaimana posisi mereka relatif terhadap titik asal.
  Visible text: Visualisasi dari dan inversnya{" "}
. Perhatikan
bagaimana posisi mereka relatif terhadap titik asal.
- cameraPosition: [0, 0, 8]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
],
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "z = 1-i", at: 1, offset: [0.5, -0.3, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0.5, y: 0.5, z: 0 },
],
color: getColor("LIME"),
labels: [
{
text: "z^{-1} = 1/2 + i/2",
at: 1,
offset: [1, 0.5, 0],
},
],
cone: { position: "end" },
},
]

## Latihan

Diberikan bilangan kompleks $$z_1 = 1-i$$ dan $$z_2 = 2+3i$$. Tentukan invers dari $$z_1 + z_2$$.

Visible text: Diberikan bilangan kompleks dan . Tentukan invers dari .

### Kunci Jawaban

Langkah $$1$$: Cari $$z_1 + z_2$$.

Visible text: Langkah : Cari .

```math
z = z_1 + z_2 = (1-i) + (2+3i) = (1+2) + (-1+3)i = 3+2i
```

Langkah $$2$$: Cari invers dari $$z = 3+2i$$.
Di sini $$x=3$$ dan $$y=2$$.
Kita gunakan rumus $$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$$.

Visible text: Langkah : Cari invers dari .
Di sini dan .
Kita gunakan rumus .

Component: MathContainer
Children:

```math
\bar{z} = 3-2i
```

```math
|z|^2 = x^2+y^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
```

```math
z^{-1} = \frac{3-2i}{13} = \frac{3}{13} - \frac{2}{13}i
```

Jadi, invers dari $$z_1 + z_2$$ adalah $$\frac{3}{13} - \frac{2}{13}i$$.

Visible text: Jadi, invers dari adalah .