# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/bilangan-kompleks/penjumlahan-bilangan-kompleks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/complex-number/addition-complex-numbers/id.mdx

Pelajari cara menjumlahkan bilangan kompleks secara bertahap dengan visualisasi geometris. Pahami penjumlahan bagian real dan imajiner lewat aturan jajar genjang dan contoh.

---

## Penjumlahan Dua Bilangan Kompleks

Bagaimana cara menjumlahkan dua bilangan kompleks?

Misalkan kita punya dua bilangan kompleks:

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 = x_1 + iy_1
```

```math
z_2 = x_2 + iy_2
```

Untuk menjumlahkannya ($$z_1 + z_2$$), kita tinggal jumlahkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Visible text: Untuk menjumlahkannya (), kita tinggal jumlahkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

```math
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)
```

### Contoh Penjumlahan

Misal $$z_1 = 2 + 3i$$ dan $$z_2 = 1 - i$$.

Visible text: Misal dan .

- Bagian real $$z_1$$ adalah $$2$$, bagian real $$z_2$$ adalah $$1$$.
- Bagian imajiner $$z_1$$ adalah $$3$$, bagian imajiner $$z_2$$ adalah $$-1$$.

Visible text: - Bagian real adalah , bagian real adalah .
- Bagian imajiner adalah , bagian imajiner adalah .

Maka penjumlahannya:

```math
z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(3 + (-1)) = 3 + i(2) = 3 + 2i
```

### Visualisasi Penjumlahan

Dengan aturan jajar genjang, penjumlahan bilangan kompleks bisa kita lihat secara geometris di bidang kompleks. Kalau kita gambarkan $$z_1$$ dan $$z_2$$ sebagai vektor (panah) dari titik asal $$(0, 0)$$, maka hasil penjumlahannya, $$z_1 + z_2$$, adalah vektor diagonal dari jajar genjang yang dibentuk oleh $$z_1$$ dan $$z_2$$.

Visible text: Dengan aturan jajar genjang, penjumlahan bilangan kompleks bisa kita lihat secara geometris di bidang kompleks. Kalau kita gambarkan dan sebagai vektor (panah) dari titik asal , maka hasil penjumlahannya, , adalah vektor diagonal dari jajar genjang yang dibentuk oleh dan .

Component: LineEquation
Props:
- title: Penjumlahan Bilangan Kompleks secara Geometris
- description: Visualisasi penjumlahan $$z_1 = 2+3i$$ dan{" "}
$$z_2 = 1-i$$ menggunakan aturan jajar genjang.
  Visible text: Visualisasi penjumlahan dan{" "}
 menggunakan aturan jajar genjang.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
// Vektor z1
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
],
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "z₁ = 2 + 3i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Vektor z2
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
],
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "z₂ = 1 - i", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Vektor hasil z1 + z2
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "z₁ + z₂ = 3 + 2i", at: 1, offset: [2, -1, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Garis bantu jajar genjang (dari ujung z1 ke ujung z1+z2)
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("EMERALD"),
},
// Garis bantu jajar genjang (dari ujung z2 ke ujung z1+z2)
{
points: [
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("SKY"),
},
]

## Operasi Terkait

Selain penjumlahan, ada operasi lain yang mirip cara kerjanya:

### Perkalian Skalar

Mengalikan bilangan kompleks $$z = x + iy$$ dengan bilangan real (skalar) $$c$$ itu mudah. Tinggal kalikan $$c$$ ke bagian real dan bagian imajinernya.

Visible text: Mengalikan bilangan kompleks dengan bilangan real (skalar) itu mudah. Tinggal kalikan ke bagian real dan bagian imajinernya.

```math
cz = c(x + iy) = cx + i(cy)
```

Secara geometris, ini seperti memperpanjang atau memperpendek vektor $$z$$ sebesar faktor $$c$$. Kalau $$c$$ negatif, arah vektornya jadi berlawanan.

Visible text: Secara geometris, ini seperti memperpanjang atau memperpendek vektor sebesar faktor . Kalau negatif, arah vektornya jadi berlawanan.

### Negatif dari Bilangan Kompleks

Negatif dari $$z = x + iy$$ adalah $$-z$$. Ini sama saja dengan perkalian skalar dengan $$c = -1$$.

Visible text: Negatif dari adalah . Ini sama saja dengan perkalian skalar dengan .

```math
-z = -(x + iy) = -x + i(-y) = -x - iy
```

Secara geometris, $$-z$$ adalah vektor dengan panjang yang sama dengan $$z$$, tapi arahnya berlawanan $$180^\circ$$.

Visible text: Secara geometris, adalah vektor dengan panjang yang sama dengan , tapi arahnya berlawanan .

### Pengurangan Dua Bilangan Kompleks

Mengurangkan $$z_2$$ dari $$z_1$$ ($$z_1 - z_2$$) sama artinya dengan menjumlahkan $$z_1$$ dengan negatif dari $$z_2$$ ($$z_1 + (-z_2)$$).

Visible text: Mengurangkan dari () sama artinya dengan menjumlahkan dengan negatif dari ().

```math
z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) = (x_1 + (-x_2)) + i(y_1 + (-y_2)) = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)
```

Jadi, kita kurangkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Secara geometris, $$z_1 - z_2$$ adalah vektor dari ujung $$z_2$$ ke ujung $$z_1$$.

Visible text: Secara geometris, adalah vektor dari ujung ke ujung .

### Contoh Operasi Gabungan

Misal kita punya:

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 = 2 + \frac{1}{2}i
```

```math
z_2 = -3 + \sqrt{2}i
```

Mari hitung beberapa operasi:

1.  **$$2z_1$$ (Perkalian Skalar):**

    
    
    ```math
    2z_1 = 2(2 + \frac{1}{2}i) = 2(2) + i(2 \times \frac{1}{2}) = 4 + i
    ```

2.  **$$z_1 + 3z_2$$ (Penjumlahan dan Perkalian Skalar):**

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    z_1 + 3z_2 = (2 + \frac{1}{2}i) + 3(-3 + \sqrt{2}i)
    ```

      
    
    ```math
    = (2 + \frac{1}{2}i) + (3(-3) + i(3\sqrt{2}))
    ```

      
    
    ```math
    = (2 + \frac{1}{2}i) + (-9 + 3\sqrt{2}i)
    ```

      
    
    ```math
    = (2 - 9) + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})
    ```

      
    
    ```math
    = -7 + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})
    ```

    </MathContainer>

3.  **$$2z_1 - z_2$$ (Pengurangan dan Perkalian Skalar):**

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    2z_1 - z_2 = (4 + i) - (-3 + \sqrt{2}i)
    ```

      
    
    ```math
    = (4 - (-3)) + i(1 - \sqrt{2})
    ```

      
    
    ```math
    = (4 + 3) + i(1 - \sqrt{2})
    ```

      
    
    ```math
    = 7 + i(1 - \sqrt{2})
    ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. ** (Perkalian Skalar):**

 
 

2. ** (Penjumlahan dan Perkalian Skalar):**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. ** (Pengurangan dan Perkalian Skalar):**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

## Latihan

Jika $$z_1 = 1 + 2i$$ dan $$z_2 = 3 - i$$. Tentukan:

Visible text: Jika dan . Tentukan:

1.  $$z_1 + z_2$$
2.  $$z_1 - z_2$$
3.  Jika $$z_3 = z_1 + z_2$$, gambarkan $$z_1$$, $$z_2$$, dan $$z_3$$ pada bidang kompleks.

Visible text: 1. 
2. 
3. Jika , gambarkan , , dan pada bidang kompleks.

### Kunci Jawaban

1.  $$z_1 + z_2 = (1+3) + i(2+(-1)) = 4 + i$$
2.  $$z_1 - z_2 = (1-3) + i(2-(-1)) = -2 + i(3) = -2 + 3i$$
3.  Buat visualisasi $$z_1$$, $$z_2$$, dan $$z_3 = z_1 + z_2$$ pada bidang kompleks menggunakan aturan jajar genjang:

    <LineEquation
      title="Penjumlahan Bilangan Kompleks"
      description={
        <>
          Visualisasi $$z_1$$, $$z_2$$, dan{" "}
          $$z_3 = z_1 + z_2$$ pada bidang kompleks menggunakan
          aturan jajar genjang.
        </>
      }
      cameraPosition={[0, 0, 12]}
      showZAxis={false}
      data={[
        {
          points: [
            { x: 0, y: 0, z: 0 },
            { x: 1, y: 2, z: 0 },
          ],
          color: getColor("SKY"),
          labels: [{ text: "z₁ = 1 + 2i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
          cone: { position: "end" },
        },
        {
          points: [
            { x: 0, y: 0, z: 0 },
            { x: 3, y: -1, z: 0 },
          ],
          color: getColor("EMERALD"),
          labels: [{ text: "z₂ = 3 - i", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
          cone: { position: "end" },
        },
        {
          points: [
            { x: 0, y: 0, z: 0 },
            { x: 4, y: 1, z: 0 }, // z3 = z1 + z2
          ],
          color: getColor("ROSE"),
          labels: [{ text: "z₃ = 4 + i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
          cone: { position: "end" },
        },
        // Garis bantu jajar genjang
        {
          points: [
            { x: 1, y: 2, z: 0 }, // ujung z1
            { x: 4, y: 1, z: 0 }, // ujung z3
          ],
          color: getColor("EMERALD"),
        },
        {
          points: [
            { x: 3, y: -1, z: 0 }, // ujung z2
            { x: 4, y: 1, z: 0 }, // ujung z3
          ],
          color: getColor("SKY"),
        },
      ]}
    />

Visible text: 1. 
2. 
3. Buat visualisasi , , dan pada bidang kompleks menggunakan aturan jajar genjang:

 <LineEquation
 title="Penjumlahan Bilangan Kompleks"
 description={
 <>
 Visualisasi , , dan{" "}
 pada bidang kompleks menggunakan
 aturan jajar genjang.
 </>
 }
 cameraPosition={[0, 0, 12]}
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: [
 { x: 0, y: 0, z: 0 },
 { x: 1, y: 2, z: 0 },
 ],
 color: getColor("SKY"),
 labels: [{ text: "z₁ = 1 + 2i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
 cone: { position: "end" },
 },
 {
 points: [
 { x: 0, y: 0, z: 0 },
 { x: 3, y: -1, z: 0 },
 ],
 color: getColor("EMERALD"),
 labels: [{ text: "z₂ = 3 - i", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
 cone: { position: "end" },
 },
 {
 points: [
 { x: 0, y: 0, z: 0 },
 { x: 4, y: 1, z: 0 }, // z3 = z1 + z2
 ],
 color: getColor("ROSE"),
 labels: [{ text: "z₃ = 4 + i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
 cone: { position: "end" },
 },
 // Garis bantu jajar genjang
 {
 points: [
 { x: 1, y: 2, z: 0 }, // ujung z1
 { x: 4, y: 1, z: 0 }, // ujung z3
 ],
 color: getColor("EMERALD"),
 },
 {
 points: [
 { x: 3, y: -1, z: 0 }, // ujung z2
 { x: 4, y: 1, z: 0 }, // ujung z3
 ],
 color: getColor("SKY"),
 },
 ]}
 />