# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/bilangan-kompleks/sifat-argumen-utama-bilangan-kompleks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/complex-number/properties-principal-argument-complex-numbers/id.mdx

Pahami aturan argumen utama untuk perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk polar dengan penyesuaian rentang dan latihan terpecahkan.

---

## Sifat Argumen pada Operasi Bilangan Kompleks

Bagaimana argumen berperilaku ketika bilangan kompleks dikalikan atau dibagi?

Sifat-sifat ini sangat berguna, terutama saat bekerja dengan bentuk polar atau eksponensial.

Misalkan kita punya dua bilangan kompleks:

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)
```

```math
z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)
```

Di mana $$\theta_1$$ adalah salah satu argumen dari $$z_1$$ dan $$\theta_2$$ adalah salah satu argumen dari $$z_2$$.

Visible text: Di mana adalah salah satu argumen dari dan adalah salah satu argumen dari .

### Argumen Hasil Kali

Argumen dari hasil kali dua bilangan kompleks ($$z_1 \times z_2$$) adalah **jumlah** dari argumen masing-masing bilangan kompleks.

Visible text: Argumen dari hasil kali dua bilangan kompleks () adalah **jumlah** dari argumen masing-masing bilangan kompleks.

Secara matematis, hubungan antara himpunan argumennya adalah:

```math
\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)
```

Ini berarti jika $$\theta_1$$ adalah argumen $$z_1$$ dan $$\theta_2$$ adalah argumen $$z_2$$,

Visible text: Ini berarti jika adalah argumen dan adalah argumen ,

maka $$\theta_1 + \theta_2$$ adalah salah satu argumen dari $$z_1 z_2$$.

Visible text: maka adalah salah satu argumen dari .

**Untuk mencari Argumen Utama $$\text{Arg}(z_1 z_2)$$:**

Visible text: **Untuk mencari Argumen Utama :**

1.  Hitung $$\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2)$$.
2.  Jika hasilnya sudah berada dalam rentang $$[0^\circ, 360^\circ)$$ (atau $$[0, 2\pi)$$), itulah Argumen Utamanya.
3.  Jika hasilnya di luar rentang, tambahkan atau kurangkan kelipatan $$360^\circ$$ (atau $$2\pi$$) agar masuk ke dalam rentang tersebut.

Visible text: 1. Hitung .
2. Jika hasilnya sudah berada dalam rentang (atau ), itulah Argumen Utamanya.
3. Jika hasilnya di luar rentang, tambahkan atau kurangkan kelipatan (atau ) agar masuk ke dalam rentang tersebut.

### Argumen Hasil Bagi

Argumen dari hasil bagi dua bilangan kompleks ($$\frac{z_1}{z_2}$$, dengan $$z_2 \neq 0$$) adalah **selisih** dari argumen bilangan kompleks pembilang ($$z_1$$) dikurangi argumen bilangan kompleks penyebut ($$z_2$$).

Visible text: Argumen dari hasil bagi dua bilangan kompleks (, dengan ) adalah **selisih** dari argumen bilangan kompleks pembilang () dikurangi argumen bilangan kompleks penyebut ().

Hubungan antara himpunan argumennya:

```math
\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)
```

Ini berarti jika $$\theta_1$$ adalah argumen $$z_1$$ dan $$\theta_2$$ adalah argumen $$z_2$$,

Visible text: Ini berarti jika adalah argumen dan adalah argumen ,

maka $$\theta_1 - \theta_2$$ adalah salah satu argumen dari $$\frac{z_1}{z_2}$$.

Visible text: maka adalah salah satu argumen dari .

**Untuk mencari Argumen Utama $$\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$$:**

Visible text: **Untuk mencari Argumen Utama :**

1.  Hitung $$\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2)$$.
2.  Jika hasilnya sudah berada dalam rentang $$[0^\circ, 360^\circ)$$ (atau $$[0, 2\pi)$$), itulah Argumen Utamanya.
3.  Jika hasilnya di luar rentang, tambahkan atau kurangkan kelipatan $$360^\circ$$ (atau $$2\pi$$) agar masuk ke dalam rentang tersebut.

Visible text: 1. Hitung .
2. Jika hasilnya sudah berada dalam rentang (atau ), itulah Argumen Utamanya.
3. Jika hasilnya di luar rentang, tambahkan atau kurangkan kelipatan (atau ) agar masuk ke dalam rentang tersebut.

## Penggunaan Sifat Argumen

Diberikan dua bilangan kompleks:

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 = 2(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)
```

```math
z_2 = 3(\cos 95^\circ + i\sin 95^\circ)
```

Tentukan Argumen Utama dari $$z_1 \times z_2$$ dan $$\frac{z_1}{z_2}$$.

Visible text: Tentukan Argumen Utama dari dan .

**Penyelesaian:**

Kita tahu Argumen Utama dari masing-masing adalah:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Arg}(z_1) = 45^\circ
```

```math
\text{Arg}(z_2) = 95^\circ
```

1. **Argumen Hasil Kali ($$z_1 \times z_2$$):**

   Jumlah Argumen Utama:

   
   
   ```math
   \text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2) = 45^\circ + 95^\circ = 140^\circ
   ```

   Karena $$140^\circ$$ sudah berada dalam rentang $$[0^\circ, 360^\circ)$$, maka:

   
   
   ```math
   \text{Arg}(z_1 \times z_2) = 140^\circ
   ```

   Himpunan semua argumennya adalah $$\{140^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$$

2. **Argumen Hasil Bagi ($$\frac{z_1}{z_2}$$):**

   Selisih Argumen Utama:

   
   
   ```math
   \text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2) = 45^\circ - 95^\circ = -50^\circ
   ```

   Karena $$-50^\circ$$ berada di luar rentang $$[0^\circ, 360^\circ)$$, kita perlu menambahkan $$360^\circ$$:

   
   
   ```math
   -50^\circ + 360^\circ = 310^\circ
   ```

   Maka:

   
   
   ```math
   \text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 310^\circ
   ```

   Himpunan semua argumennya adalah $$\{-50^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$$, yang sama dengan $$\{310^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$$.

Visible text: 1. **Argumen Hasil Kali ():**

 Jumlah Argumen Utama:

 
 

 Karena sudah berada dalam rentang , maka:

 
 

 Himpunan semua argumennya adalah 

2. **Argumen Hasil Bagi ():**

 Selisih Argumen Utama:

 
 

 Karena berada di luar rentang , kita perlu menambahkan :

 
 

 Maka:

 
 

 Himpunan semua argumennya adalah , yang sama dengan .

## Latihan

Diketahui $$z_a = 4(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$$ dan $$z_b = 2(\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ)$$. Tentukan:

Visible text: Diketahui dan . Tentukan:

1.  $$\text{Arg}(z_a \times z_b)$$
2.  $$\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right)$$

Visible text: 1. 
2.

### Kunci Jawaban

Diketahui $$\text{Arg}(z_a) = 120^\circ$$ dan $$\text{Arg}(z_b) = 50^\circ$$.

Visible text: Diketahui dan .

1.  **Argumen Hasil Kali:**

    
    
    ```math
    \text{Arg}(z_a) + \text{Arg}(z_b) = 120^\circ + 50^\circ = 170^\circ
    ```

    Karena $$170^\circ \in [0^\circ, 360^\circ)$$, maka $$\text{Arg}(z_a z_b) = 170^\circ$$.

2.  **Argumen Hasil Bagi:**

    
    
    ```math
    \text{Arg}(z_a) - \text{Arg}(z_b) = 120^\circ - 50^\circ = 70^\circ
    ```

    Karena $$70^\circ \in [0^\circ, 360^\circ)$$, maka $$\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right) = 70^\circ$$.

Visible text: 1. **Argumen Hasil Kali:**

 
 

 Karena , maka .

2. **Argumen Hasil Bagi:**

 
 

 Karena , maka .