# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/bilangan-kompleks/sifat-operasi-modulus-bilangan-kompleks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/complex-number/properties-modulus-complex-numbers/id.mdx
Pelajari hukum modulus: |z₁×z₂|=|z₁|×|z₂|, ketaksamaan segitiga, |z|²=z×z̄. Sederhanakan perhitungan dengan sifat tanpa aritmetika kompleks.
---
## Sifat-sifat Operasi Modulus
Misalkan $$z_1$$ dan $$z_2$$ adalah bilangan kompleks.
Visible text: Misalkan dan adalah bilangan kompleks.
### Modulus Bilangan, Negatifnya, dan Konjugatnya
Modulus dari suatu bilangan kompleks sama dengan modulus dari negatifnya, dan juga sama dengan modulus dari konjugatnya.
```math
|z_1| = |-z_1| = |\bar{z_1}|
```
**Penjelasan:**
Ingat bahwa jika $$z_1 = x + iy$$, maka $$-z_1 = -x - iy$$ dan $$\bar{z_1} = x - iy$$.
Visible text: Ingat bahwa jika , maka dan .
- $$|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
- $$|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$$
- $$|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$$
Visible text: -
-
-
Ketiganya menghasilkan nilai yang sama.
### Modulus Selisih
Modulus dari selisih dua bilangan kompleks sama urutannya dibalik.
```math
|z_1 - z_2| = |z_2 - z_1|
```
**Penjelasan:**
Ini adalah akibat langsung dari sifat pertama. Kita tahu $$z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$$. Maka:
Visible text: Ini adalah akibat langsung dari sifat pertama. Kita tahu . Maka:
```math
|z_1 - z_2| = |-(z_2 - z_1)| = |z_2 - z_1|
```
### Kuadrat Modulus
Kuadrat dari modulus suatu bilangan kompleks sama dengan bilangan kompleks tersebut dikalikan dengan konjugatnya.
```math
|z_1|^2 = z_1 \times \bar{z_1}
```
**Penjelasan:**
Jika $$z_1 = x + iy$$, maka $$\bar{z_1} = x - iy$$.
Visible text: Jika , maka .
```math
z_1 \times \bar{z_1} = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2y^2 = x^2 - (-1)y^2 = x^2 + y^2
```
Kita juga tahu bahwa $$|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$$, sehingga $$|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$$. Jadi, kedua sisi sama.
Visible text: Kita juga tahu bahwa , sehingga . Jadi, kedua sisi sama.
### Modulus Hasil Kali
Modulus dari hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan hasil kali modulus masing-masing bilangan kompleks.
```math
|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|
```
### Modulus Hasil Bagi
Modulus dari hasil bagi dua bilangan kompleks sama dengan hasil bagi modulus masing-masing bilangan kompleks (dengan penyebut tidak nol).
```math
\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad \text{untuk } z_2 \neq 0
```
### Ketaksamaan Segitiga
Modulus dari jumlah dua bilangan kompleks kurang dari atau sama dengan jumlah modulus masing-masing bilangan kompleks.
```math
|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|
```
**Penjelasan:**
Secara geometris, jika kita menganggap $$z_1$$, $$z_2$$, dan $$z_1 + z_2$$ sebagai sisi-sisi segitiga pada bidang kompleks, sifat ini menyatakan bahwa panjang satu sisi ($$|z_1 + z_2|$$) tidak mungkin lebih besar dari jumlah panjang dua sisi lainnya ($$|z_1| + |z_2|$$).
Visible text: Secara geometris, jika kita menganggap , , dan sebagai sisi-sisi segitiga pada bidang kompleks, sifat ini menyatakan bahwa panjang satu sisi () tidak mungkin lebih besar dari jumlah panjang dua sisi lainnya ().
## Penggunaan Sifat Modulus
Misalkan diberikan bilangan kompleks $$z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$$. Tentukanlah $$|z|$$!
Visible text: Misalkan diberikan bilangan kompleks . Tentukanlah !
**Penyelesaian:**
Kita bisa memandang $$z = \frac{z_1}{z_2}$$ dengan $$z_1 = 1 - 2i$$ dan $$z_2 = 3 + 4i$$.
Visible text: Kita bisa memandang dengan dan .
Menggunakan sifat **Modulus Hasil Bagi**:
```math
|z| = \left| \frac{1 - 2i}{3 + 4i} \right| = \frac{|1 - 2i|}{|3 + 4i|}
```
Sekarang kita hitung modulus $$z_1$$ dan $$z_2$$:
Visible text: Sekarang kita hitung modulus dan :
Component: MathContainer
Children:
```math
|z_1| = |1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
```
```math
|z_2| = |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
```
Sehingga,
```math
|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}
```
Ini jauh lebih mudah daripada mengalikan dengan konjugat penyebut terlebih dahulu, baru menghitung modulusnya.
## Latihan
1. Jika $$z_1 = 6 + 8i$$ dan $$z_2 = 3 - i$$, hitunglah $$|z_1 \times z_2|$$ menggunakan sifat modulus.
2. Jika $$z = 5 - 12i$$, buktikan bahwa $$|z|^2 = z \times \bar{z}$$.
Visible text: 1. Jika dan , hitunglah menggunakan sifat modulus.
2. Jika , buktikan bahwa .
### Kunci Jawaban
1. Kita gunakan sifat $$|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$$.
Hitung modulus masing-masing:
```math
|z_1| = |6 + 8i| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
```
```math
|z_2| = |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
```
Maka:
```math
|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = 10 \times \sqrt{10} = 10\sqrt{10}
```
2. Diketahui $$z = 5 - 12i$$.
Hitung sisi kiri ($$|z|^2$$):
```math
|z| = |5 - 12i| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
```
```math
|z|^2 = 13^2 = 169
```
Hitung sisi kanan ($$z \times \bar{z}$$):
Konjugat dari $$z$$ adalah $$\bar{z} = 5 + 12i$$.
```math
z \times \bar{z} = (5 - 12i)(5 + 12i) = 5^2 - (12i)^2 = 25 - 144i^2 = 25 - 144(-1) = 25 + 144 = 169
```
Karena sisi kiri ($$169$$) sama dengan sisi kanan ($$169$$), maka terbukti $$|z|^2 = z \times \bar{z}$$.
Visible text: 1. Kita gunakan sifat .
Hitung modulus masing-masing:
Maka:
2. Diketahui .
Hitung sisi kiri ():
Hitung sisi kanan ():
Konjugat dari adalah .
Karena sisi kiri () sama dengan sisi kanan (), maka terbukti .