# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/bilangan-kompleks/sifat-penjumlahan-bilangan-kompleks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/complex-number/properties-addition-complex-numbers/id.mdx

Pelajari sifat aljabar penjumlahan kompleks, termasuk komutatif, asosiatif, identitas, invers, dan perkalian skalar.

---

## Dasar Operasi

Operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada bilangan kompleks ternyata punya sifat-sifat menarik, mirip seperti pada bilangan real lho. Sifat-sifat ini membantu kita dalam melakukan perhitungan.

Misalkan $$z_1$$, $$z_2$$, dan $$z_3$$ adalah bilangan kompleks sembarang, serta $$c$$ dan $$d$$ adalah skalar (bilangan real) sembarang.

Visible text: Misalkan , , dan adalah bilangan kompleks sembarang, serta dan adalah skalar (bilangan real) sembarang.

## Penjumlahan

### Komutatif

Urutan penjumlahan tidak penting, hasilnya tetap sama.

```math
z_1 + z_2 = z_2 + z_1
```

Contoh: $$(2+i) + (1-3i) = (1-3i) + (2+i) = 3-2i$$

Visible text: Contoh:

### Asosiatif Penjumlahan

Saat menjumlahkan tiga bilangan kompleks, pengelompokan penjumlahannya tidak memengaruhi hasil.

```math
(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)
```

### Elemen Identitas

Ada bilangan kompleks $$0 = 0 + 0i$$ (nol) yang jika dijumlahkan dengan bilangan kompleks $$z_1$$ mana pun, hasilnya adalah $$z_1$$ itu sendiri.

Visible text: Ada bilangan kompleks (nol) yang jika dijumlahkan dengan bilangan kompleks mana pun, hasilnya adalah itu sendiri.

```math
z_1 + 0 = z_1
```

### Elemen Invers

Setiap bilangan kompleks $$z_1 = x + iy$$ punya invers penjumlahan (lawan), yaitu $$-z_1 = -x - iy$$, sehingga jika dijumlahkan hasilnya adalah elemen nol ($$0$$).

Visible text: Setiap bilangan kompleks punya invers penjumlahan (lawan), yaitu , sehingga jika dijumlahkan hasilnya adalah elemen nol ().

```math
z_1 + (-z_1) = 0
```

Contoh:

Jika $$z_1 = 5-2i$$, maka $$-z_1 = -5+2i$$.

Visible text: Jika , maka .

Maka $$(5-2i) + (-5+2i) = (5-5) + i(-2+2) = 0 + 0i = 0$$.

Visible text: Maka .

## Perkalian Skalar

### Asosiatif Perkalian

Pengelompokan perkalian skalar tidak memengaruhi hasil.

```math
c(dz_1) = (cd)z_1
```

### Distributif Skalar

Skalar bisa didistribusikan terhadap penjumlahan skalar.

```math
(c + d)z_1 = cz_1 + dz_1
```

### Distributif Kompleks

Skalar bisa didistribusikan terhadap penjumlahan bilangan kompleks.

```math
c(z_1 + z_2) = cz_1 + cz_2
```

### Identitas Skalar

Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar $$1$$ tidak mengubah bilangan kompleks tersebut.

Visible text: Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar tidak mengubah bilangan kompleks tersebut.

```math
1 z_1 = z_1
```

### Skalar Nol

Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar $$0$$ menghasilkan bilangan kompleks nol.

Visible text: Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar menghasilkan bilangan kompleks nol.

```math
0 z_1 = 0
```

## Penerapan Sifat

Sifat-sifat ini bisa kita gunakan untuk menyederhanakan atau membuktikan ekspresi yang melibatkan bilangan kompleks.

### Contoh Penerapan

Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan kompleks $$z$$, berlaku $$4z + (-4)z = 0$$.

Visible text: Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan kompleks , berlaku .

**Penyelesaian:**

Kita bisa gunakan sifat distributif skalar terhadap penjumlahan skalar (sifat f) dan sifat perkalian dengan skalar nol (sifat i).

Component: MathContainer
Children:

```math
4z + (-4)z = (4 + (-4))z \quad \text{(Sifat Distributif)}
```

```math
= (0)z \quad \text{(Penjumlahan skalar)}
```

```math
= 0 \quad \text{(Sifat Perkalian Skalar Nol)}
```

Jadi, terbukti bahwa $$4z + (-4)z = 0$$.

Visible text: Jadi, terbukti bahwa .

## Latihan

Dengan menggunakan sifat-sifat di atas, buktikan bahwa $$3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z$$ untuk sembarang bilangan kompleks $$z$$.

Visible text: Dengan menggunakan sifat-sifat di atas, buktikan bahwa untuk sembarang bilangan kompleks .

### Kunci Jawaban

Component: MathContainer
Children:

```math
3z - \frac{1}{2}(2z) = 3z + (-\frac{1}{2})(2z) \quad \text{(Definisi pengurangan)}
```

```math
= 3z + ((-\frac{1}{2}) \times 2)z \quad \text{(Sifat Asosiatif Perkalian Skalar)}
```

```math
= 3z + (-1)z \quad \text{(Perkalian skalar)}
```

```math
= (3 + (-1))z \quad \text{(Sifat Distributif)}
```

```math
= (2)z \quad \text{(Penjumlahan skalar)}
```

```math
= 2z
```

Jadi, terbukti bahwa $$3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z$$.

Visible text: Jadi, terbukti bahwa .