# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/bilangan-kompleks/sifat-perkalian-bilangan-kompleks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/complex-number/properties-multiplication-complex-numbers/id.mdx

Pelajari sifat komutatif, asosiatif, distributif dan invers perkalian bilangan kompleks dengan contoh bertahap dan pembuktian aljabar.

---

## Sifat-Sifat Operasi Perkalian

Sama seperti operasi hitung pada bilangan real, operasi perkalian pada bilangan kompleks juga memiliki beberapa sifat penting. Misalkan $$z_1, z_2,$$ dan $$z_3$$ adalah sembarang bilangan kompleks.

Visible text: Sama seperti operasi hitung pada bilangan real, operasi perkalian pada bilangan kompleks juga memiliki beberapa sifat penting. Misalkan dan adalah sembarang bilangan kompleks.

### Komutatif

Sifat komutatif berarti urutan dalam perkalian dua bilangan kompleks tidak mempengaruhi hasilnya.

```math
z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1
```

**Contoh:**

Misal $$z_1 = 1+2i$$ dan $$z_2 = 3-i$$.

Visible text: Misal dan .

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times z_2 = (1+2i)(3-i) = 1(3-i) + 2i(3-i) = 3-i+6i-2i^2 = 3+5i-2(-1) = 5+5i
```

```math
z_2 \times z_1 = (3-i)(1+2i) = 3(1+2i) - i(1+2i) = 3+6i-i-2i^2 = 3+5i-2(-1) = 5+5i
```

Terbukti hasilnya sama.

### Asosiatif

Sifat asosiatif menyatakan bahwa saat mengalikan tiga bilangan kompleks atau lebih, pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil.

```math
(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)
```

**Contoh:**

Misal $$z_1 = i$$, $$z_2 = 2$$, dan $$z_3 = 3-i$$.

Visible text: Misal , , dan .

Component: MathContainer
Children:

```math
(z_1 \times z_2) \times z_3 = (i \times 2) \times (3-i) = 2i(3-i) = 6i - 2i^2 = 6i - 2(-1) = 2+6i
```

```math
z_1 \times (z_2 \times z_3) = i \times (2 \times (3-i)) = i \times (6-2i) = 6i - 2i^2 = 6i - 2(-1) = 2+6i
```

Terbukti hasilnya sama.

### Identitas Perkalian

Bilangan kompleks $$1 = 1+0i$$ adalah elemen identitas untuk perkalian. Artinya, bilangan kompleks apapun yang dikalikan dengan $$1$$ hasilnya adalah bilangan kompleks itu sendiri.

Visible text: Bilangan kompleks adalah elemen identitas untuk perkalian. Artinya, bilangan kompleks apapun yang dikalikan dengan hasilnya adalah bilangan kompleks itu sendiri.

```math
z \times 1 = z = 1 \times z
```

**Contoh:**

Misal $$z = 4-7i$$.

Visible text: Misal .

Component: MathContainer
Children:

```math
z \times 1 = (4-7i)(1+0i) = 4(1) - (-7)(0) + i(4(0) + (-7)(1)) = 4 - 7i = z
```

```math
1 \times z = (1+0i)(4-7i) = 1(4) - (0)(-7) + i(1(-7) + 0(4)) = 4 - 7i = z
```

### Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

Sifat ini menghubungkan operasi perkalian dan penjumlahan bilangan kompleks.

```math
z_1 \times (z_2 + z_3) = (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)
```

**Contoh:**

Misal $$z_1=2$$, $$z_2 = 1+i$$, $$z_3 = 3-2i$$.

Visible text: Misal , , .

**Ruas kiri:** $$z_1 \times (z_2 + z_3)$$

Visible text: **Ruas kiri:**

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times (z_2 + z_3) = 2 \times ((1+i) + (3-2i))
```

```math
= 2 \times (1+3 + i-2i)
```

```math
= 2 \times (4-i)
```

```math
= 8-2i
```

**Ruas kanan:** $$(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)$$

Visible text: **Ruas kanan:**

Component: MathContainer
Children:

```math
(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) = (2(1+i)) + (2(3-2i))
```

```math
= (2+2i) + (6-4i)
```

```math
= (2+6) + (2i-4i)
```

```math
= 8-2i
```

Terbukti hasilnya sama.

## Contoh Pembuktian Menggunakan Sifat

Kita bisa membuktikan beberapa identitas aljabar menggunakan sifat-sifat ini. Mari kita buktikan bahwa $$(z_1 + z_2)^2 = z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2$$ untuk sembarang $$z_1, z_2$$.

Visible text: Kita bisa membuktikan beberapa identitas aljabar menggunakan sifat-sifat ini. Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang .

Component: MathContainer
Children:

```math
(z_1 + z_2)^2 = (z_1 + z_2)(z_1 + z_2) \quad \text{(Definisi kuadrat)}
```

```math
= z_1(z_1 + z_2) + z_2(z_1 + z_2) \quad \text{(Sifat Distributif)}
```

```math
= (z_1z_1 + z_1z_2) + (z_2z_1 + z_2z_2) \quad \text{(Sifat Distributif)}
```

```math
= z_1^2 + z_1z_2 + z_2z_1 + z_2^2 \quad \text{(Definisi kuadrat)}
```

```math
= z_1^2 + z_1z_2 + z_1z_2 + z_2^2 \quad \text{(Sifat Komutatif: } z_2z_1 = z_1z_2)
```

```math
= z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2 \quad \text{(Penggabungan suku sejenis)}
```

## Invers Perkalian

Setiap bilangan kompleks $$z = x + iy \neq 0$$ memiliki invers perkalian, dinotasikan sebagai $$z^{-1}$$ atau $$1/z$$, sedemikian sehingga $$z \times z^{-1} = 1$$.

Visible text: Setiap bilangan kompleks memiliki invers perkalian, dinotasikan sebagai atau , sedemikian sehingga .

Misalkan $$z^{-1} = u + iv$$. Maka:

Visible text: Misalkan . Maka:

Component: MathContainer
Children:

```math
z \times z^{-1} = 1
```

```math
(x+iy)(u+iv) = 1 + 0i
```

```math
(xu - yv) + i(xv + uy) = 1 + 0i
```

Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, kita peroleh sistem persamaan:

1.  $$xu - yv = 1$$
2.  $$xv + uy = 0$$

Visible text: 1. 
2.

Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini (misalnya dengan mengalikan persamaan $$1$$ dengan $$x$$, persamaan $$2$$ dengan $$y$$, lalu menjumlahkannya, dan metode substitusi), kita akan dapatkan:

Visible text: Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini (misalnya dengan mengalikan persamaan dengan , persamaan dengan , lalu menjumlahkannya, dan metode substitusi), kita akan dapatkan:

Component: MathContainer
Children:

```math
u = \frac{x}{x^2+y^2}
```

```math
v = -\frac{y}{x^2+y^2}
```

Jadi, invers perkalian dari $$z = x+iy$$ adalah:

Visible text: Jadi, invers perkalian dari adalah:

```math
z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}
```

Perhatikan bahwa $$x^2+y^2 = |z|^2$$ dan $$x-iy = \bar{z}$$. Maka rumus invers bisa juga ditulis sebagai:

Visible text: Perhatikan bahwa dan . Maka rumus invers bisa juga ditulis sebagai:

```math
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}
```