# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/busur-dan-juring-lingkaran/busur-lingkaran
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/circle-arc-sector/circle-arc/id.mdx

Pelajari hubungan busur-tali busur, perhitungan sagita, dan persamaan parametrik. Terapkan rumus trigonometri lanjutan untuk desain teknik dan arsitektur.

---

## Hubungan Busur dengan Tali Busur

Setiap busur lingkaran memiliki hubungan erat dengan tali busur yang menghubungkan kedua ujungnya. Tali busur adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik ujung busur, sedangkan busur adalah jalur melengkung di sepanjang keliling lingkaran. Bayangkan seperti busur panah, dimana tali adalah garis lurus dan busur adalah lengkungan kayu.

Hubungan ini sangat penting dalam berbagai aplikasi teknik dan arsitektur. Semakin panjang busur, semakin panjang pula tali busur yang menghubungkannya, namun hubungan ini tidak bersifat linear.

Component: LineEquation
Props:
- title: Hubungan Busur dan Tali Busur
- description: Perbandingan busur dengan tali busur pada berbagai sudut pusat.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = i * (Math.PI / 3) / 20;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("VIOLET"),
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Busur 60°", at: 10, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
lineWidth: 3,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Tali Busur 60°", at: 0.5, offset: [0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "A", at: 0, offset: [0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B", at: 0, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI + (i * (2 * Math.PI / 3) / 30);
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("ROSE"),
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Busur 120°", at: 15, offset: [-1.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -5, y: 0, z: 0 },
{ x: 5 * ... [truncated; 2131 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 14]
- showZAxis: false

## Rumus Panjang Tali Busur

Panjang tali busur dapat dihitung menggunakan rumus trigonometri yang melibatkan sudut pusat dan jari-jari lingkaran:

```math
c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
```

Dimana:

- $$c$$ = panjang tali busur
- $$r$$ = jari-jari lingkaran
- $$\theta$$ = sudut pusat dalam radian

Visible text: - = panjang tali busur
- = jari-jari lingkaran
- = sudut pusat dalam radian

Rumus ini sangat berguna dalam perhitungan teknik, terutama dalam desain struktur lengkung dan analisis kekuatan material.

## Tinggi Busur dan Sagita

Tinggi busur atau sagita adalah jarak tegak lurus dari titik tengah tali busur ke titik tertinggi busur. Konsep ini sangat penting dalam desain jembatan lengkung dan struktur arsitektur.

```math
h = r - r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = r\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)
```

Dimana:

- $$h$$ = tinggi busur (sagita)
- $$r$$ = jari-jari lingkaran
- $$\theta$$ = sudut pusat dalam radian

Visible text: - = tinggi busur (sagita)
- = jari-jari lingkaran
- = sudut pusat dalam radian

Perhatikan visualisasi berikut:

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Tinggi Busur
- description: Tinggi busur (sagita) pada berbagai sudut pusat.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const angle = (-Math.PI / 6) + (i * (Math.PI / 3) / 30);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("VIOLET"),
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Busur 60°", at: 15, offset: [1.5, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(-Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(-Math.PI / 6), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
lineWidth: 3,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Tali Busur", at: 0.5, offset: [0, -0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: (4 * Math.cos(-Math.PI / 6) + 4 * Math.cos(Math.PI / 6)) / 2, y: (4 * Math.sin(-Math.PI / 6) + 4 * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2, z: 0 },
],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "M (Titik Tengah)", at: 0, offset: [1.2, -1.2, 0] }],
},
{
points: [
{ x: (4 * Math.cos(-Math.PI / 6) + 4 * Math.cos(Math.PI / 6)) / 2, y: (4 * Math.sin(-Math.PI / 6) + 4 * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(0), y: 4 * Math.sin(0), z: 0 },
],
color: getColor("ROSE"),
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Tinggi Busur (h)", offset: [0.8, -0.5, 0] }],
},
{
point ... [truncated; 2406 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Busur dalam Sistem Koordinat

Dalam sistem koordinat Cartesian, busur dapat direpresentasikan menggunakan persamaan parametrik:

Component: MathContainer
Children:

```math
x = r\cos(t)
```

```math
y = r\sin(t)
```

Dimana $$t$$ adalah parameter yang bervariasi dari sudut awal hingga sudut akhir busur.

Visible text: Dimana adalah parameter yang bervariasi dari sudut awal hingga sudut akhir busur.

Component: LineEquation
Props:
- title: Busur dalam Koordinat Cartesian
- description: Representasi busur menggunakan persamaan parametrik.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const t = (Math.PI / 4) + (i * (Math.PI / 2) / 40);
return {
x: 3 * Math.cos(t),
y: 3 * Math.sin(t),
z: 0,
};
}),
color: getColor("VIOLET"),
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Busur Parametrik", at: 20, offset: [1.5, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "t₁ = π/4 (45°)", at: 0, offset: [2, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3 * Math.cos(3 * Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(3 * Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "t₂ = 3π/4 (135°)", at: 0, offset: [-2, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: "r = 3", at: 0.5, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(3 * Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(3 * Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: "r = 3", at: 0.5, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y ... [truncated; 1568 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Contoh Perhitungan Teknik

Mari kita terapkan konsep ini dalam perhitungan teknik. Misalkan kita merancang jembatan lengkung dengan jari-jari $$25 \text{ meter}$$ dan sudut pusat $$120^\circ$$.

Visible text: Mari kita terapkan konsep ini dalam perhitungan teknik. Misalkan kita merancang jembatan lengkung dengan jari-jari dan sudut pusat .

**Menghitung panjang tali busur:**

Component: MathContainer
Children:

```math
c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
```

```math
c = 2 \times 25 \times \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right)
```

```math
c = 50 \times \sin(60^\circ)
```

```math
c = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \text{ meter}
```

**Menghitung tinggi busur:**

Component: MathContainer
Children:

```math
h = r\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)
```

```math
h = 25\left(1 - \cos(60^\circ)\right)
```

```math
h = 25\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 12.5 \text{ meter}
```

## Latihan

1. Sebuah jembatan lengkung memiliki jari-jari $$30 \text{ meter}$$ dan sudut pusat $$90^\circ$$. Hitunglah panjang tali busur dan tinggi busur jembatan tersebut.

2. Dalam desain kubah masjid, diketahui tinggi busur adalah $$8 \text{ meter}$$ dan jari-jari lingkaran adalah $$15 \text{ meter}$$. Tentukan sudut pusat busur tersebut.

3. Sebuah busur lingkaran memiliki panjang tali busur $$24 \text{ meter}$$ dan jari-jari $$15 \text{ meter}$$. Hitunglah sudut pusat dan tinggi busur.

4. Dalam sistem koordinat, sebuah busur dimulai dari titik $$(4, 0)$$ dan berakhir di titik $$(0, 4)$$ pada lingkaran dengan pusat di origin. Tentukan persamaan parametrik busur tersebut.

Visible text: 1. Sebuah jembatan lengkung memiliki jari-jari dan sudut pusat . Hitunglah panjang tali busur dan tinggi busur jembatan tersebut.

2. Dalam desain kubah masjid, diketahui tinggi busur adalah dan jari-jari lingkaran adalah . Tentukan sudut pusat busur tersebut.

3. Sebuah busur lingkaran memiliki panjang tali busur dan jari-jari . Hitunglah sudut pusat dan tinggi busur.

4. Dalam sistem koordinat, sebuah busur dimulai dari titik dan berakhir di titik pada lingkaran dengan pusat di origin. Tentukan persamaan parametrik busur tersebut.

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian:**

   Diketahui: $$r = 30 \text{ m}$$ dan $$\theta = 90^\circ$$

   **Panjang tali busur:**

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \times 30 \times \sin(45^\circ)
   ```

   
   
   ```math
   c = 60 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \text{ m} \approx 42.43 \text{ m}
   ```

   </MathContainer>

   **Tinggi busur:**

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   h = r\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) = 30\left(1 - \cos(45^\circ)\right)
   ```

   
   
   ```math
   h = 30\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 8.79 \text{ m}
   ```

   </MathContainer>

2. **Penyelesaian:**

   Diketahui: $$h = 8 \text{ m}$$ dan $$r = 15 \text{ m}$$

   **Langkah** $$1$$: Gunakan rumus tinggi busur

   
   
   ```math
   8 = 15\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)
   ```

   **Langkah** $$2$$: Isolasi $$\cos$$

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   \frac{8}{15} = 1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
   ```

   
   
   ```math
   \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}
   ```

   </MathContainer>

   **Langkah** $$3$$: Hitung sudut

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   \frac{\theta}{2} = \arccos\left(\frac{7}{15}\right) \approx 62.18^\circ
   ```

   
   
   ```math
   \theta \approx 124.36^\circ
   ```

   </MathContainer>

3. **Penyelesaian:**

   Diketahui: $$c = 24 \text{ m}$$ dan $$r = 15 \text{ m}$$

   **Langkah** $$1$$: Gunakan rumus tali busur

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   24 = 2 \times 15 \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
   ```

   
   
   ```math
   \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{24}{30} = 0.8
   ```

   </MathContainer>

   **Langkah** $$2$$: Hitung sudut pusat

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   \frac{\theta}{2} = \arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ
   ```

   
   
   ```math
   \theta \approx 106.26^\circ
   ```

   </MathContainer>

   **Langkah** $$3$$: Hitung tinggi busur

   
   
   ```math
   h = 15\left(1 - \cos(53.13^\circ)\right) = 15(1 - 0.6) = 6 \text{ m}
   ```

4. **Penyelesaian:**

   - Titik awal: $$(4, 0)$$ → $$t_1 = 0^\circ$$
   - Titik akhir: $$(0, 4)$$ → $$t_2 = 90^\circ$$
   - Jari-jari: $$r = 4$$

   **Persamaan parametrik:**

   <MathContainer>
   
     
     ```math
     x = 4\cos(t)
     ```

   
     
     ```math
     y = 4\sin(t)
     ```

   
     
     ```math
     0^\circ \leq t \leq 90^\circ
     ```

   </MathContainer>

Visible text: 1. **Penyelesaian:**

 Diketahui: dan 

 **Panjang tali busur:**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Tinggi busur:**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

2. **Penyelesaian:**

 Diketahui: dan 

 **Langkah** : Gunakan rumus tinggi busur

 
 

 **Langkah** : Isolasi 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Langkah** : Hitung sudut

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

3. **Penyelesaian:**

 Diketahui: dan 

 **Langkah** : Gunakan rumus tali busur

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Langkah** : Hitung sudut pusat

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Langkah** : Hitung tinggi busur

 
 

4. **Penyelesaian:**

 - Titik awal: → 
 - Titik akhir: → 
 - Jari-jari: 

 **Persamaan parametrik:**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>