# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/busur-dan-juring-lingkaran/tembereng
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/circle-arc-sector/segment/id.mdx
Pahami tembereng lingkaran yang dibatasi tali busur dan busur. Pelajari jenis minor dan mayor, perhitungan luas metode juring-segitiga, dan aplikasi tangki.
---
## Konsep Dasar Tembereng
Tembereng adalah salah satu bagian dari lingkaran yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Bayangkan sebuah kue bundar yang dipotong dengan pisau lurus, bagian yang terpisah dari kue tersebut mirip dengan konsep tembereng dalam geometri lingkaran.
Tembereng merupakan daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur lingkaran yang berada di depan tali busur tersebut. Dengan kata lain, tembereng adalah bagian lingkaran yang "terpotong" oleh garis lurus yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran.
## Perbedaan Busur dan Tembereng
Sebelum membahas lebih lanjut, penting untuk memahami perbedaan mendasar antara busur dan tembereng:
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Busur Lingkaran
- description: Busur adalah garis lengkung di keliling lingkaran yang menghubungkan dua titik. Busur hanya memiliki panjang dalam satu dimensi dan tidak memiliki luas.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: createCircleOutlinePoints(4),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
points: createCircleChordPoints({
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
}),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "Tali Busur",
at: 1,
offset: [0, -0.8, 0],
},
],
},
createCircleArcLine({
color: getColor("ORANGE"),
lineWidth: 4,
label: {
text: "Busur (garis lengkung)",
offset: [0, 0.8, 0],
},
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
}),
]
Component: LineEquation
Props:
- title: Tembereng Lingkaran
- description: Tembereng adalah daerah (area) di dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Tembereng memiliki luas dalam dua dimensi dan dapat diisi warna.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: createCircleOutlinePoints(4),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
points: createCircleChordPoints({
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
}),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "Tali Busur",
at: 1,
offset: [0, -0.8, 0],
},
],
},
createCircleArcLine({
color: getColor("ORANGE"),
lineWidth: 2,
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
}),
...createCircleSegmentBoundaryLines({
color: getColor("LIME"),
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
label: {
text: "Tembereng (area/daerah)",
offset: [0, 0.8, 0],
},
}),
]
**Ringkasan Perbedaan:**
- **Busur**: Garis lengkung di keliling lingkaran (hanya panjang, tidak ada luas)
- **Tembereng**: Daerah yang dikelilingi busur dan tali busur (memiliki luas, dapat dihitung luasnya)
## Jenis Tembereng Berdasarkan Ukuran
Berdasarkan ukurannya, tembereng dapat dibedakan menjadi dua jenis yang memiliki karakteristik berbeda:
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Tembereng Minor (Sudut Pusat < $$180^\circ$$)
Visible text: Tembereng Minor (Sudut Pusat < )
- description: Tembereng yang luasnya lebih kecil dibandingkan setengah lingkaran, terbentuk ketika sudut pusat kurang dari $$180^\circ$$. Contoh ini menunjukkan tembereng dengan sudut pusat $$120^\circ$$.
Visible text: Tembereng yang luasnya lebih kecil dibandingkan setengah lingkaran, terbentuk ketika sudut pusat kurang dari . Contoh ini menunjukkan tembereng dengan sudut pusat .
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
// Lingkaran utama
{
points: createCircleOutlinePoints(4),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
// Titik pusat O
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: "O",
at: 0,
offset: [-0.4, -0.4, 0],
},
],
},
// Jari-jari OA
{
points: createCircleRadiusPoints({ radius: 4, degrees: 30 }),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "A",
at: 1,
offset: [0.4, 0.2, 0],
},
],
},
// Jari-jari OB
{
points: createCircleRadiusPoints({ radius: 4, degrees: 150 }),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "B",
at: 1,
offset: [-0.4, 0.2, 0],
},
],
},
// Arc sudut pusat untuk menunjukkan 120°
createCircleArcLine({
color: getColor("AMBER"),
lineWidth: 3,
label: {
text: "120°",
offset: [0, -0.5, 0],
},
radius: 1.5,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
}),
// Tali busur AB
{
points: createCircleChordPoints({
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
},
// Tembereng (area yang diarsir)
...createCircleSegmen ... [truncated; 1355 chars]
Component: LineEquation
Props:
- title: Tembereng Mayor (Sudut Pusat > $$180^\circ$$)
Visible text: Tembereng Mayor (Sudut Pusat > )
- description: Tembereng yang luasnya lebih besar dibandingkan setengah lingkaran, terbentuk ketika sudut pusat lebih dari $$180^\circ$$. Contoh ini menunjukkan tembereng dengan sudut pusat $$240^\circ$$.
Visible text: Tembereng yang luasnya l ... [truncated; 3624 chars]
**Perbedaan Kunci:**
- **Tembereng Minor**: sudut pusat $$\lt 180^\circ$$, luas tembereng $$\lt$$ luas setengah lingkaran
- **Tembereng Mayor**: sudut pusat $$\gt 180^\circ$$, luas tembereng $$\gt$$ luas setengah lingkaran
Visible text: - **Tembereng Minor**: sudut pusat , luas tembereng luas setengah lingkaran
- **Tembereng Mayor**: sudut pusat , luas tembereng luas setengah lingkaran
## Rumus Luas Tembereng
Untuk menghitung luas tembereng, kita perlu memahami bahwa tembereng terbentuk dari juring yang dikurangi dengan segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur.
**Mengapa berbeda dengan rumus panjang busur?**
- **Panjang Busur** adalah $$\frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r$$ (satuan: cm, m, dll.)
- **Luas Tembereng** $$\neq$$ Panjang Busur (karena tembereng adalah area $$2\text{D}$$, bukan garis $$1\text{D}$$)
```math
\text{Luas Tembereng} = \text{Luas Juring} - \text{Luas Segitiga}
```
Secara lebih rinci, rumus tersebut dapat ditulis sebagai:
```math
\text{Luas Tembereng} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha
```
Di mana $$\alpha$$ adalah sudut pusat dalam derajat dan $$r$$ adalah jari-jari lingkaran.
Visible text: - **Panjang Busur** adalah (satuan: cm, m, dll.)
- **Luas Tembereng** Panjang Busur (karena tembereng adalah area , bukan garis )
Secara lebih rinci, rumus tersebut dapat ditulis sebagai:
Di mana adalah sudut pusat dalam derajat dan adalah jari-jari lingkaran.
**Perhatikan perbedaan satuan:**
- Panjang busur: $$\text{cm}$$, $$\text{m}$$ (satuan panjang)
- Luas tembereng: $$\text{cm}^2$$, $$\text{m}^2$$ (satuan luas)
Visible text: - Panjang busur: , (satuan panjang)
- Luas tembereng: , (satuan luas)
## Visualisasi Pembentukan Tembereng
Mari kita lihat bagaimana tembereng terbentuk dari komponen-komponennya:
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Komponen Pembentuk Tembereng
- description: Tembereng dibentuk dari juring $$AOB$$ dikurangi dengan
segitiga $$AOB$$, dengan sudut pusat{" "}
$$90^\circ$$ dan jari-jari{" "}
$$4 \text{ satuan}$$.
Visible text: Tembereng dibentuk dari juring dikurangi dengan
segitiga , dengan sudut pusat{" "}
dan jari-jari{" "}
.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: createCircleOutlinePoints(4),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
points: createCircleRadiusPoints({ radius: 4, degrees: 0 }),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "O",
at: 0,
offset: [-0.3, -0.3, 0],
},
{
text: "A",
at: 1,
offset: [0.3, -0.3, 0],
},
],
},
{
points: createCircleRadiusPoints({ radius: 4, degrees: 90 }),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "B",
at: 1,
offset: [-0.3, 0.3, 0],
},
],
},
{
points: createCircleChordPoints({
radius: 4,
startDegrees: 0,
sweepDegrees: 90,
}),
color: getColor("LIME"),
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: "Tali Busur AB",
at: 1,
offset: [2.5, 0.5, 0],
},
],
},
createCircleArcLine({
color: getColor("FUCHSIA"),
lineWidth: 4,
label: {
text: "Busur AB (90°)",
offset: [2, 0.5, 0],
},
radius: 4,
startDegrees: 0,
sweepDegrees: 90,
}),
]
## Perhitungan Luas Tembereng
Untuk memahami cara menghitung luas tembereng, mari kita gunakan contoh dengan sudut pusat $$90^\circ$$ dan jari-jari $$r = 10 \text{ cm}$$, sesuai dengan visualisasi komponen pembentuk tembereng di atas.
Visible text: Untuk memahami cara menghitung luas tembereng, mari kita gunakan contoh dengan sudut pusat dan jari-jari , sesuai dengan visualisasi komponen pembentuk tembereng di atas.
**Langkah** $$1$$: Menghitung Luas Juring
Visible text: **Langkah** : Menghitung Luas Juring
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Luas Juring} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2
```
```math
= \frac{1}{4} \times \pi \times 10^2
```
```math
= \frac{1}{4} \times \pi \times 100
```
```math
= 25\pi \text{ cm}^2 = 78{,}5398 \text{ cm}^2
```
**Langkah** $$2$$: Menghitung Luas Segitiga
Visible text: **Langkah** : Menghitung Luas Segitiga
Untuk sudut $$90^\circ$$, segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku dengan kedua sisi tegak berupa jari-jari:
Visible text: Untuk sudut , segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku dengan kedua sisi tegak berupa jari-jari:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin 90^\circ
```
```math
= \frac{1}{2} \times 10^2 \times 1
```
```math
= \frac{1}{2} \times 100 \times 1
```
```math
= 50 \text{ cm}^2
```
**Langkah** $$3$$: Menghitung Luas Tembereng
Visible text: **Langkah** : Menghitung Luas Tembereng
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Luas Tembereng} = \text{Luas Juring} - \text{Luas Segitiga}
```
```math
= 25\pi - 50
```
```math
= 78{,}5398 - 50
```
```math
= 28{,}5398 \text{ cm}^2
```
## Latihan
1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $$7 \text{ cm}$$. Jika terdapat tembereng dengan sudut pusat $$60^\circ$$, tentukan luas tembereng tersebut.
2. Diketahui sebuah tembereng memiliki luas $$15{,}7 \text{ cm}^2$$ pada lingkaran dengan jari-jari $$5 \text{ cm}$$. Tentukan besar sudut pusat yang membentuk tembereng tersebut.
3. Sebuah tangki berbentuk silinder dengan jari-jari $$2 \text{ meter}$$ berisi air hingga kedalaman $$1{,}5 \text{ meter}$$ dari dasar tangki. Tentukan luas permukaan air yang terlihat dari atas.
Visible text: 1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari . Jika terdapat tembereng dengan sudut pusat , tentukan luas tembereng tersebut.
2. Diketahui sebuah tembereng memiliki luas pada lingkaran dengan jari-jari . Tentukan besar sudut pusat yang membentuk tembereng tersebut.
3. Sebuah tangki berbentuk silinder dengan jari-jari berisi air hingga kedalaman dari dasar tangki. Tentukan luas permukaan air yang terlihat dari atas.
### Kunci Jawaban
1. **Langkah Penyelesaian:**
Diketahui: $$r = 7 \text{ cm}$$, $$\alpha = 60^\circ$$
Menghitung luas juring:
```math
\text{Luas Juring} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2
```
```math
= \frac{1}{6} \times \pi \times 49
```
```math
= \frac{49\pi}{6} \text{ cm}^2
```
Menghitung luas segitiga:
```math
\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} r^2 \sin 60^\circ
```
```math
= \frac{1}{2} \times 49 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
```
```math
= \frac{49\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2
```
Menghitung luas tembereng:
```math
\text{Luas Tembereng} = \frac{49\pi}{6} - \frac{49\sqrt{3}}{4}
```
```math
= 25{,}6563 - 21{,}2176 = 4{,}4387 \text{ cm}^2
```
2. **Langkah Penyelesaian:**
Diketahui: luas tembereng = $$15{,}7 \text{ cm}^2$$, $$r = 5 \text{ cm}$$
Menggunakan rumus: $$\text{Luas Tembereng} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha$$
Dengan trial dan pendekatan numerik atau menggunakan kalkulator grafik, diperoleh:
$$\alpha \approx 120^\circ$$
Verifikasi:
```math
\text{Luas Juring} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 25 = \frac{25\pi}{3}
```
```math
\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} \times 25 \times \sin 120^\circ = \frac{25\sqrt{3}}{4}
```
```math
\text{Luas Tembereng} = \frac{25\pi}{3} - \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 26{,}1799 - 10{,}8253 = 15{,}3546 \text{ cm}^2
```
Hasil perhitungan ($$15{,}3546 \text{ cm}^2$$) sedikit berbeda dengan yang diberikan di soal ($$15{,}7 \text{ cm}^2$$). Perbedaan ini disebabkan oleh presisi nilai $$\pi$$ dan $$\sqrt{3}$$ yang digunakan. Dalam matematika, hasil perhitungan $$15{,}3546 \text{ cm}^2$$ adalah yang paling akurat.
3. **Langkah Penyelesaian:**
Diketahui: jari-jari tangki = $$2 \text{ m}$$, kedalaman air = $$1{,}5 \text{ m}$$
Karena kedalaman air ($$1{,}5 \text{ m}$$) kurang dari jari-jari ($$2 \text{ m}$$), permukaan air berbentuk tembereng.
Untuk tangki silinder horizontal, kita menggunakan rumus khusus tembereng dengan tinggi tertentu.
Menentukan tinggi tembereng dari dasar tangki:
```math
h = 1{,}5 \text{ m (tinggi air dari dasar)}
```
Menggunakan rumus luas tembereng untuk segmen air pada tangki horizontal:
```math
\text{Luas} = r^2 \times \left[\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) - \frac{r-h}{r} \times \sqrt{1-\left(\frac{r-h}{r}\right)^2}\right]
```
Substitusi nilai:
```math
\frac{r-h}{r} = \frac{2-1{,}5}{2} = 0{,}25
```
```math
\arccos(0{,}25) = 1{,}3181 \text{ radian}
```
```math
\sqrt{1-0{,}25^2} = \sqrt{0{,}9375} = 0{,}9682
```
Menghitung luas permukaan air:
```math
\text{Luas} = 4 \times [1{,}3181 - 0{,}25 \times 0{,}9682]
```
```math
= 4 \times [1{,}3181 - 0{,}2421]
```
```math
= 4 \times 1{,}0760 = 4{,}3040 \text{ m}^2
```
Visible text: 1. **Langkah Penyelesaian:**
Diketahui: ,
Menghitung luas juring:
Menghitung luas segitiga:
Menghitung luas tembereng:
2. **Langkah Penyelesaian:**
Diketahui: luas tembereng = ,
Menggunakan rumus:
Dengan trial dan pendekatan numerik atau menggunakan kalkulator grafik, diperoleh:
Verifikasi:
Hasil perhitungan () sedikit berbeda dengan yang diberikan di soal (). Perbedaan ini disebabkan oleh presisi nilai dan yang digunakan. Dalam matematika, hasil perhitungan adalah yang paling akurat.
3. **Langkah Penyelesaian:**
Diketahui: jari-jari tangki = , kedalaman air =
Karena kedalaman air () kurang dari jari-jari (), permukaan air berbentuk tembereng.
Untuk tangki silinder horizontal, kita menggunakan rumus khusus tembereng dengan tinggi tertentu.
Menentukan tinggi tembereng dari dasar tangki:
Menggunakan rumus luas tembereng untuk segmen air pada tangki horizontal:
Substitusi nilai:
Menghitung luas permukaan air: