Model Fungsi Eksponensial

Pohon Penularan Ideal

Bayangkan pada awalnya ada satu orang yang terinfeksi. Orang tersebut kemudian menulari tepat $3$ orang lain. Pada fase berikutnya, masing-masing dari ketiga orang itu menulari $3$ orang lagi. Agar polanya mudah dihitung, kita anggap setiap orang yang baru terinfeksi selalu menulari tepat $3$ orang lain, tidak ada satu orang pun yang tertular dari dua sumber, dan belum ada yang pulih.

Dengan aturan sederhana tadi, jumlah orang yang baru terinfeksi pada setiap fase menjadi tiga kali jumlah pada fase sebelumnya. Contoh ini hanya dipakai untuk mempelajari fungsi eksponensial. Saat wabah benar-benar terjadi, seseorang bisa tertular dari lebih dari satu sumber, sebagian orang akan pulih, dan laju penularan dapat terus berubah.

Orang yang Baru Terinfeksi pada Setiap Fase

Jumlah berikut menghitung orang yang baru terinfeksi pada fase tersebut. Untuk mengetahui jumlahnya selama beberapa fase, kita menjumlahkan semua fase yang sudah selesai:

• Fase $1$: $3=3^1$ orang yang baru terinfeksi
• Fase $2$: $9=3^2$ orang yang baru terinfeksi

Jika $N(x)$ adalah jumlah orang yang baru terinfeksi pada fase $x$, maka:

Jumlah orang yang baru terinfeksi dari fase pertama hingga fase $x$ merupakan jumlah geometri:

Memisahkan kedua besaran ini mencegah kesalahan pemodelan yang umum: $N(x)$ menjelaskan satu fase, sedangkan $S(x)$ menjumlahkan semua fase yang telah selesai.

Membandingkan Tiga Jenis Fungsi

Grafik membandingkan tiga rumus pada nilai fase yang sama:

1. Eksponensial: $y=3^x$
2. Linear: $y=3x$
3. Logaritmik: $y=20\ln(x+1)$

Hanya kurva eksponensial yang mengikuti aturan “dikalikan tiga pada setiap fase.” Dua kurva lainnya hanya menjadi pembanding bentuk dan tidak menggambarkan cara penularan lain.

Pembahasan Pertanyaan

1. Berapa banyak orang yang baru terinfeksi menurut contoh ini pada fase $20$?

   $$N(20)=3^{20}=3{.}486{.}784{.}401$$

2. Jika jumlah pada semua fase dijumlahkan, berapa banyak orang yang baru terinfeksi dari fase hingga fase ?

Pada fase $20$, contoh ini menghasilkan $3{.}486{.}784{.}401$ orang yang baru terinfeksi. Jika fase $1$ sampai fase $20$ dijumlahkan, hasilnya adalah $5{.}230{.}176{.}600$ orang yang baru terinfeksi selama dua puluh fase tersebut. Jumlah kedua ini belum memasukkan satu orang yang sudah terinfeksi sebelum fase pertama dimulai. Perhitungannya menganggap setiap orang yang baru terinfeksi menulari tiga orang lain, tidak ada seorang pun yang tertular dari dua sumber, dan belum ada yang pulih. Semua angka ini hanya berlaku pada contoh penularan sederhana tadi. Angka-angka tersebut tidak dapat digunakan untuk memprediksi jumlah orang yang akan tertular saat wabah berlangsung.

Sifat Fungsi Eksponensial

Untuk $f(x)=a^x$ dengan $a>0$ dan $a\neq1$:

1. Domain fungsi adalah $\mathbb{R}$ dan daerah hasil fungsi adalah $(0,\infty)$.
2. Grafik melalui $(0,1)$ karena $a^0=1$.

Tempat Model Eksponensial Digunakan

Fungsi eksponensial dapat memodelkan bunga majemuk, peluruhan radioaktif, penggandaan berulang, serta fase singkat perubahan populasi atau penularan. Sebelum menggunakannya, tentukan apakah proses tersebut memang menerapkan faktor yang kurang lebih tetap pada interval yang sama. Jika laju, sumber daya, atau interaksi berubah, modelnya juga harus berubah.