Pernahkah kamu membayangkan melipat selembar kertas sebanyak 42 kali? Jika mungkin dilakukan,
ketebalannya akan melebihi jarak bumi ke bulan! Ini karena setiap lipatan menghasilkan penggandaan
ketebalan kertas, inilah yang disebut pertumbuhan eksponensial.
Pertumbuhan eksponensial terjadi ketika sesuatu bertambah dengan faktor pengali tetap dalam setiap
interval waktu. Pada awal 2020, dunia mengalami contoh nyata pertumbuhan eksponensial melalui penyebaran
virus COVID-19. Satu orang terinfeksi dapat menularkan ke dua orang, kemudian empat, delapan, dan seterusnya.
Eksponen adalah cara singkat untuk menuliskan perkalian berulang. Bayangkan kamu sedang menghitung berapa
banyak orang yang tertular virus dalam kasus seperti COVID-19. Pada setiap fase penularan, jumlah orang
yang tertular akan bertambah dengan pola yang menarik:
1=202=214=2×2=228=2×2×2=2316=2×2×2×2=24
Pola ini terus berlanjut, sehingga pada fase ke-n, jumlah orang yang tertular dapat dinyatakan
sebagai m(n)=2n.
Misalnya, jika kamu ingin tahu berapa banyak orang yang tertular pada fase ke-5, kamu tinggal menghitung:
Untuk setiap bilangan real a dengan a=0 dan bilangan bulat positif n:
a−n=(a1)n=an1
Ini berarti pangkat negatif sama dengan satu dibagi bilangan pokok dengan pangkat yang sama (positif). Rumus ini diperoleh dari konsistensi sifat eksponen. Untuk menggunakan rumus ini, kamu cukup membalik bilangan pokok dan mengubah tanda pangkat. Contoh: 3−2=321=91=0,111...
Jika a adalah bilangan real dengan a=0 dan n bilangan bulat positif, maka:
an1=p
dimana p adalah bilangan real positif sedemikian sehingga pn=a.
Bilangan an1 juga sering disebut sebagai akar pangkat-n dari a. Rumus ini muncul sebagai kebalikan dari pemangkatan. Untuk menggunakannya, kamu perlu menemukan bilangan yang jika dipangkatkan sebanyak n kali akan menghasilkan a. Contoh: 1641=2 karena 24=16.
Jika a adalah bilangan real dengan a=0 dan m,n bilangan bulat positif, maka:
anm=(an1)m
Rumus ini diperoleh dengan mengombinasikan konsep akar dan pemangkatan. Untuk menghitungnya, kamu harus mencari akar pangkat-n dari a terlebih dahulu, kemudian memangkatkannya dengan m. Contoh: 832=(831)2=22=4.
Satu bakteri dapat membelah menjadi dua, kemudian empat, delapan, dan seterusnya.
Jika B0 adalah jumlah bakteri awal dan setiap bakteri membelah setiap jam, maka jumlah bakteri setelah t jam adalah:
B(t)=B0×2t
Rumus ini diperoleh karena populasi bakteri menjadi dua kali lipat pada setiap interval waktu.
Angka 2 mewakili faktor pertumbuhan. Untuk menggunakannya, kalikan jumlah awal dengan 2 pangkat jumlah interval yang telah berlalu.
Contoh: jika awalnya ada 100 bakteri dan mereka membelah setiap 30 menit, setelah 2 jam (4 interval)
akan ada 100×24=100×16=1.600 bakteri.
Pola penyebaran virus seperti COVID-19 juga sering mengikuti model eksponensial, terutama pada fase awal. Jika satu orang dapat menularkan virus ke rata-rata R orang baru (angka reproduksi), jumlah kasus setelah n siklus penularan bisa diperkirakan dengan:
C(n)=C0×Rn
dimana C0 adalah jumlah kasus awal.
Rumus ini mirip dengan pertumbuhan bakteri, tetapi dengan faktor pengali R yang bisa bervariasi.
Rumus ini diperoleh dengan mengalikan jumlah kasus dengan R pada setiap siklus penularan. Untuk menggunakannya,
kalikan jumlah kasus awal dengan R pangkat jumlah siklus yang telah berlalu. Contoh: jika R=2,5 dan ada 10 kasus awal,
setelah 3 siklus penularan akan ada 10×2,53=10×15,625=156,25≈156 kasus.
Untuk memprediksi jumlah penduduk di masa depan, model eksponensial dapat digunakan dengan rumus:
P(t)=P0×(1+r)t
dimana P0 adalah populasi awal, r adalah tingkat pertumbuhan,
dan t adalah waktu (biasanya dalam tahun).
Rumus ini diperoleh dengan menambahkan persentase pertumbuhan r ke populasi pada setiap interval waktu.
Faktor (1+r) menunjukkan pertumbuhan relatif. Untuk menggunakannya,
kalikan populasi awal dengan (1+r) pangkat jumlah interval waktu. Contoh: jika populasi
awal adalah 1 juta orang dengan pertumbuhan 2% per tahun, setelah 10 tahun populasinya
menjadi 1.000.000×(1+0,02)10=1.000.000×1,22=1.220.000 orang.
