Memahami Eksponen

Dari Lipatan Kertas ke Model Pertumbuhan

Anggap selembar kertas mula-mula memiliki tebal sekitar $0{,}1\text{ mm}$ . Dalam model ideal, setiap lipatan menggandakan ketebalannya. Setelah $42$ lipatan, model tersebut memberi:

0{,}1\text{ mm}\times 2^{42}\approx 439{.}805\text{ km}

Nilai itu melampaui jarak rata-rata Bumi ke Bulan. Kertas sungguhan tidak mungkin dilipat sebanyak itu, sehingga perhitungan ini hanya berupa model ideal. Setiap lipatan mengalikan ketebalan dengan $2$ . Perkalian berulang dengan faktor yang sama menghasilkan pertumbuhan eksponensial.

Kita juga bisa menemukan pola yang sama saat membayangkan penyebaran wabah. Misalnya, pada awalnya ada satu orang yang terinfeksi. Orang itu menulari dua orang. Pada tahap berikutnya, masing-masing dari kedua orang tersebut menulari dua orang lagi. Jika pola ini terus berulang, jumlah orang yang baru terinfeksi pada setiap tahap membentuk urutan $1,2,4,8,\ldots$ . Kondisinya bisa terus berubah sehingga jumlah orang yang baru terinfeksi tidak selalu menjadi dua kali lipat. Urutan ini hanya menjelaskan pola pada contoh penularan tadi. Urutan ini tidak bisa digunakan untuk memprediksi jumlah orang yang akan tertular saat wabah berlangsung.

Definisi Eksponen

Eksponen adalah cara ringkas untuk menulis perkalian berulang. Untuk pola yang selalu menggandakan jumlah, beberapa tahap pertamanya adalah:

\begin{aligned} &1 = 2^0 \\ &2 = 2^1 \\ &4 = 2 \times 2 = 2^2 \\ &8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \\ &16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 \end{aligned}

Jika tahap ke- $n$ kita tulis sebagai $m(n)$ , polanya menjadi $m(n)=2^n$ . Sebagai contoh:

$m(5)=2^5=32$ .

Makna Notasi Eksponen

Ekspresi seperti $a^n$ memiliki dua bagian:

a^n

$a$ adalah bilangan pokok, yaitu bilangan yang dikalikan
$n$ adalah pangkat, yaitu banyaknya faktor yang sama

Jika $a$ bilangan real dan $n$ bilangan bulat positif, maka:

a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ faktor}}

Pangkat Nol Negatif dan Pecahan

Pangkat nol, pangkat negatif, dan pangkat pecahan muncul karena aturan perkalian pangkat harus tetap berlaku, sehingga aturan yang sama juga mencakup ketiganya tanpa definisi baru.

Pangkat Nol

Untuk setiap bilangan real tak nol $a$ :

a^0=1

Nilai pangkat nol mengikuti sifat pembagian pangkat. Membagi $a^n$ dengan dirinya sendiri menghasilkan $1$ , sedangkan pengurangan pangkat menghasilkan $a^{n-n}=a^0$ . Jadi, $a^0=1$ .

\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1

Pangkat Negatif

Untuk setiap bilangan real tak nol $a$ dan bilangan bulat positif $n$ :

a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n

Alasannya, $a^n a^{-n}=a^0=1$ . Jadi, pangkat negatif menyatakan kebalikan dari pangkat positif yang bersesuaian. Sebagai contoh:

$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}=0{,}111\ldots$ .

Pangkat Pecahan

Untuk akar bernilai real, ambil $a>0$ dan bilangan bulat positif $n$ . Maka:

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}=p

Di sini, $p$ adalah satu-satunya bilangan real positif yang memenuhi $p^n=a$ . Sebagai contoh, $16^{\frac14}=2$ karena $2^4=16$ .

Akar berindeks ganjil juga dapat menerima bilangan real negatif, misalnya $(-8)^{\frac13}=-2$ . Akar berindeks genap dari bilangan negatif bukan bilangan real. Domain perlu disebutkan karena notasi ini tidak memiliki makna real yang sama untuk setiap bilangan pokok.

Pangkat Pecahan Umum

Jika $a>0$ dan $m,n$ bilangan bulat positif, maka:

a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Ambil akar pangkat $n$ terlebih dahulu, lalu pangkatkan hasilnya dengan $m$ . Sebagai contoh:

$8^{\frac23}=\left(8^{\frac13}\right)^2=2^2=4$ .

Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial berbentuk $f(x)=a^x$ dengan $a>0$ dan $a\neq1$ :

Jika $a>1$ , nilai fungsi naik ketika $x$ bertambah
Jika $0<a<1$ , nilai fungsi turun ketika $x$ bertambah

Kasus pertama memodelkan pertumbuhan, sedangkan kasus kedua memodelkan peluruhan. Model ini berguna selama faktor dan interval waktunya masih sesuai dengan situasi yang dikaji.

Contoh Model Pertumbuhan Eksponensial

Setiap contoh di bawah mengulang satu perkalian pada selang tetap. Nilai awal menentukan titik berangkatnya, faktor pertumbuhan menentukan seberapa cepat nilainya berubah, dan keduanya sudah cukup untuk membaca nilai pada selang berikutnya.

Pertumbuhan Bakteri

Dalam model kultur ideal, anggap setiap bakteri membelah menjadi dua pada setiap interval, tanpa kematian atau batas sumber daya. Jika $B_0$ adalah jumlah awal bakteri, maka setelah $t$ interval:

B(t)=B_0\times2^t

Bilangan pokok $2$ adalah faktor pertumbuhan. Jika kultur dimulai dengan $100$ bakteri dan membelah setiap $30\text{ menit}$ , maka $2\text{ jam}$ memuat $4$ interval:

B(4)=100\times2^4=1{.}600

Pertumbuhan Bakteri Ideal

100 Bakteri

Penyebaran Virus

Model penularan fase awal yang disederhanakan menggunakan faktor rata-rata $R$ :

C(n)=C_0\times R^n

Di sini, $C_0$ adalah jumlah orang yang sudah terinfeksi pada titik awal, sebelum siklus penularan pertama dimulai. Angka $n$ menunjukkan berapa siklus yang sudah berlalu, sedangkan $C(n)$ adalah jumlah orang yang terinfeksi pada siklus ke- $n$ . Jadi, $C(0)=C_0$ . Jika $C_0=10$ , $R=2{,}5$ , dan $n=3$ , maka:

C(3)=10\times2{,}5^3=156{,}25\approx156

Hasil perhitungan dapat berupa desimal karena rumus memakai nilai rata-rata. Jumlah orang akhirnya tetap berupa bilangan bulat. Nilai $R$ juga dapat berubah karena perilaku, kekebalan, upaya pencegahan, dan cara pengukuran. Perhitungan ini hanya menunjukkan pola pada keadaan yang sudah ditetapkan.

Pertumbuhan Populasi

Jika suatu populasi tumbuh dengan tingkat relatif $r$ yang sama pada setiap interval, maka:

P(t)=P_0(1+r)^t

Faktor $1+r$ mencakup populasi semula dan pertumbuhan barunya. Untuk populasi awal $1{.}000{.}000$ dengan tingkat pertumbuhan tahunan tetap $2\%$ :

\begin{aligned} P(10) &=1{.}000{.}000(1{,}02)^{10} \\ &\approx1{.}218{.}994 \end{aligned}

Perhitungan ini mengulang pertumbuhan $2\%$ pada setiap tahun. Tingkat pertumbuhan penduduk sebenarnya dapat berubah dari tahun ke tahun.