# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/eksponen-dan-logaritma/merasionalkan-akar
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/rationalizing-radicals/id.mdx
Cara menghilangkan akar dari penyebut dengan perkalian sekawan pada bentuk monomial dan binomial.
---
## Konsep Dasar
Merasionalkan bentuk akar adalah proses mengubah ekspresi matematika yang memiliki akar di penyebut menjadi bentuk yang lebih sederhana tanpa akar di penyebut. Hal ini dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk yang sesuai.
- Merasionalkan Bentuk $$\frac{a}{\sqrt{b}}$$
Untuk merasionalkan bentuk $$\frac{a}{\sqrt{b}}$$, kita kalikan dengan sekawannya yaitu $$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$$:
```math
\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}
```
Contoh:
```math
\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}
```
- Merasionalkan Bentuk $$\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$
Untuk merasionalkan bentuk $$\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$, kita kalikan dengan sekawannya $$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$$:
```math
\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}
```
Contoh:
```math
\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}
```
- Merasionalkan Bentuk $$\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$$
Untuk merasionalkan bentuk $$\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$$, kita kalikan dengan sekawannya $$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$:
```math
\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}
```
Contoh:
```math
\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}
```
- Merasionalkan Bentuk $$\frac{c}{a + \sqrt{b}}$$
Untuk merasionalkan bentuk $$\frac{c}{a + \sqrt{b}}$$, kita kalikan dengan sekawannya $$\frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}}$$:
```math
\frac{c}{a + \sqrt{b}} = \frac{c}{a + \sqrt{b}} \times \frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{a^2 - b} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{a^2 - b}
```
Contoh:
```math
\frac{6}{4 + \sqrt{3}} = \frac{6}{4 + \sqrt{3}} \times \frac{4 - \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} = \frac{6(4 - \sqrt{3})}{16 - 3} = \frac{6(4 - \sqrt{3})}{13}
```
- Merasionalkan Bentuk $$\frac{c}{a - \sqrt{b}}$$
Untuk merasionalkan bentuk $$\frac{c}{a - \sqrt{b}}$$, kita kalikan dengan sekawannya $$\frac{a + \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}}$$:
```math
\frac{c}{a - \sqrt{b}} = \frac{c}{a - \sqrt{b}} \times \frac{a + \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}} = \frac{c(a + \sqrt{b})}{a^2 - b} = \frac{c(a + \sqrt{b})}{a^2 - b}
```
Contoh:
```math
\frac{3}{2 - \sqrt{5}} = \frac{3}{2 - \sqrt{5}} \times \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \frac{3(2 + \sqrt{5})}{4 - 5} = \frac{3(2 + \sqrt{5})}{-1} = -3(2 + \sqrt{5})
```
Visible text: - Merasionalkan Bentuk
Untuk merasionalkan bentuk , kita kalikan dengan sekawannya yaitu :
Contoh:
- Merasionalkan Bentuk
Untuk merasionalkan bentuk , kita kalikan dengan sekawannya :
Contoh:
- Merasionalkan Bentuk
Untuk merasionalkan bentuk , kita kalikan dengan sekawannya :
Contoh:
- Merasionalkan Bentuk
Untuk merasionalkan bentuk , kita kalikan dengan sekawannya :
Contoh:
- Merasionalkan Bentuk
Untuk merasionalkan bentuk , kita kalikan dengan sekawannya :
Contoh:
## Latihan Menyederhanakan
1. Sederhanakan bentuk berikut:
```math
\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-\frac{1}{4}}}\right)^{\frac{1}{2}}
```
2. Sederhanakan bentuk berikut:
```math
\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]{x}\right)
```
3. Sederhanakan bentuk berikut:
```math
\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{p^{\frac{1}{4}}q^{-\frac{1}{2}}}{p^{-\frac{1}{2}}q^{-\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}
```
Visible text: 1. Sederhanakan bentuk berikut:
2. Sederhanakan bentuk berikut:
3. Sederhanakan bentuk berikut:
### Kunci Jawaban Menyederhanakan
1. Jawaban:
```math
\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-\frac{1}{4}}}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{\left(2^3\right)^{\frac{1}{2}}\left(x^5\right)^{\frac{1}{2}}\left(y^{-4}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(2^4\right)^{\frac{1}{2}}\left(y^{-\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}}
```
```math
= \frac{\left(2\right)^{\frac{3}{2}}\left(x\right)^{\frac{5}{2}}\left(y\right)^{-2}}{2^2\left(y\right)^{-\frac{1}{8}}}
```
```math
= \left(2\right)^{\frac{3}{2}-2}\left(x\right)^{\frac{5}{2}}\left(y\right)^{-2+\frac{1}{8}}
```
```math
= \frac{\left(x\right)^{\frac{5}{2}}}{\left(2\right)^{\frac{1}{2}}\left(y\right)^{\frac{15}{8}}}
```
2. Jawaban:
```math
\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]{x}\right) = \left(5x^{\frac{5}{2}}\right)\left(3x^{\frac{1}{3}}\right)
```
```math
= 15x^{\frac{5}{2}+\frac{1}{3}}
```
```math
= 15x^{\frac{15+2}{6}}
```
```math
= 15x^{\frac{17}{6}}
```
```math
= 15x^{2\frac{5}{6}}
```
```math
= 15x^2\sqrt[6]{x^5}
```
3. Jawaban:
```math
\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{p^{\frac{1}{4}}q^{-\frac{1}{2}}}{p^{-\frac{1}{2}}q^{-\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{p^{5-5}q^{-10-(-4)}}{1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{p^{\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2})}q^{-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}}{1}\right)^{\frac{1}{2}}
```
```math
= \left(p^0q^{-6}\right)^{\frac{1}{2}}\left(p^{\frac{3}{4}}q^0\right)^{\frac{1}{2}}
```
```math
= \left(p^0q^{-3}\right)\left(p^{\frac{3}{8}}\cdot 1\right)
```
```math
= \left(1 \cdot q^{-3}\right)\left(p^{\frac{3}{8}} \cdot 1\right)
```
```math
= \frac{p^{\frac{3}{8}}}{q^3}
```
```math
= \frac{\sqrt[8]{p^3}}{q^3}
```
Visible text: 1. Jawaban:
2. Jawaban:
3. Jawaban:
## Latihan Merasionalkan
1. Merasionalkan bentuk berikut:
```math
\frac{2}{\sqrt{b^3}}
```
2. Merasionalkan bentuk berikut:
```math
\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}
```
3. Merasionalkan bentuk berikut:
```math
\frac{m}{\sqrt{m} + n}
```
Visible text: 1. Merasionalkan bentuk berikut:
2. Merasionalkan bentuk berikut:
3. Merasionalkan bentuk berikut:
### Kunci Jawaban Merasionalkan
1. Jawaban:
```math
\frac{2}{\sqrt{b^3}} = \frac{2}{\sqrt{b^3}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}
```
```math
= \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{b^4}}
```
```math
= \frac{2\sqrt{b}}{b^2}
```
2. Jawaban:
```math
\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}
```
```math
= \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}
```
```math
= \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5}
```
```math
= \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{-2}
```
```math
= -(\sqrt{3} - \sqrt{5})
```
```math
= \sqrt{5} - \sqrt{3}
```
3. Jawaban:
```math
\frac{m}{\sqrt{m} + n} = \frac{m}{\sqrt{m} + n} \times \frac{\sqrt{m} - n}{\sqrt{m} - n}
```
```math
= \frac{m(\sqrt{m} - n)}{(\sqrt{m})^2 - n^2}
```
```math
= \frac{m(\sqrt{m} - n)}{m - n^2}
```
Visible text: 1. Jawaban:
2. Jawaban:
3. Jawaban:
## Manfaat Merasionalkan Bentuk Akar
Merasionalkan bentuk akar memiliki beberapa manfaat:
1. Menyederhanakan bentuk ekspresi matematika
2. Memudahkan perhitungan nilai pendekatan
3. Menghilangkan bentuk akar di penyebut untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan