# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/eksponen-dan-logaritma/pembuktian-sifat
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/proof-properties/id.mdx
Pelajari pembuktian ketat 7 sifat eksponen dengan demonstrasi bertahap. Pelajari aturan perkalian, pembagian, dan pangkat melalui contoh.
---
## Sifat Eksponen dan Pembuktiannya
Kita akan membahas sifat-sifat eksponen dan pembuktiannya. Sifat-sifat ini sangat penting untuk dipahami karena menjadi dasar dalam menyelesaikan berbagai persoalan eksponen dan logaritma.
### Sifat Pertama
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Untuk setiap $$a \neq 0$$ dan $$m, n$$ bilangan real.
Visible text: Untuk setiap dan bilangan real.
### Sifat Kedua
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
Untuk setiap $$a \neq 0$$ dan $$m, n$$ bilangan real.
Visible text: Untuk setiap dan bilangan real.
### Sifat Ketiga
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Untuk setiap $$a \neq 0$$ dan $$m, n$$ bilangan real.
Visible text: Untuk setiap dan bilangan real.
### Sifat Keempat
$$(ab)^m = a^m \cdot b^m$$
Untuk setiap $$a, b \neq 0$$ dan $$m$$ bilangan bulat.
Visible text: Untuk setiap dan bilangan bulat.
**Pembuktian:**
_Metode pertama:_
Component: MathContainer
Children:
```math
(ab)^m = \underbrace{ab \times ab \times ab \times \ldots \times ab}_{m\text{ faktor}}
```
```math
(ab)^m = \underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{m\text{ faktor}} \times \underbrace{b \times b \times b \times \ldots \times b}_{m\text{ faktor}}
```
```math
(ab)^m = a^m \times b^m
```
_Metode kedua:_
Kita dapat mengambil beberapa contoh dengan nilai $$m, a$$ dan $$b$$ tertentu
untuk melihat pola yang terbentuk. Misalnya dengan $$m=2, a=3, b=4$$:
Visible text: Kita dapat mengambil beberapa contoh dengan nilai dan tertentu
untuk melihat pola yang terbentuk. Misalnya dengan :
Component: MathContainer
Children:
```math
(3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144
```
```math
3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144
```
### Sifat Kelima
$$\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$$
Untuk setiap $$a \neq 0, b \neq 0$$ dan $$m$$ bilangan bulat.
Visible text: Untuk setiap dan bilangan bulat.
**Pembuktian:**
Component: MathContainer
Children:
```math
\left(\frac{a}{b}\right)^m = \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \ldots \times \frac{a}{b}}_{m\text{ faktor}}
```
```math
\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{\underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{m\text{ faktor}}}{\underbrace{b \times b \times b \times \ldots \times b}_{m\text{ faktor}}}
```
```math
\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}
```
### Sifat Keenam
$$(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m+p}{n}}$$
Untuk setiap $$a > 0$$, $$\frac{m}{n}$$ dan $$\frac{p}{n}$$ bilangan rasional dengan $$n \neq 0$$.
Visible text: Untuk setiap , dan bilangan rasional dengan .
**Pembuktian:**
Dengan menggunakan Sifat $$1$$, kita memperoleh:
Visible text: Dengan menggunakan Sifat , kita memperoleh:
Component: MathContainer
Children:
```math
(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{n}}
```
```math
(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m+p}{n}}
```
### Sifat Ketujuh
$$(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{mq + pn}{nq}}$$
Untuk setiap $$a > 0$$, $$\frac{m}{n}$$ dan $$\frac{p}{q}$$ bilangan rasional dengan $$n, q \neq 0$$.
Visible text: Untuk setiap , dan bilangan rasional dengan .
**Pembuktian:**
Dengan menggunakan Sifat $$1$$, kita perlu menyamakan penyebut dari pangkat:
Visible text: Dengan menggunakan Sifat , kita perlu menyamakan penyebut dari pangkat:
Component: MathContainer
Children:
```math
(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}
```
```math
(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{mq}{nq} + \frac{pn}{nq}}
```
```math
(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{mq + pn}{nq}}
```
## Contoh Soal
### Menentukan Nilai dan Pembuktian
1. $$(3^4)^2 = 3^p$$
Solusi: Menggunakan Sifat $$3$$, $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
```math
(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8
```
```math
p = 8
```
2. $$b^4 \cdot b^5 = b^9$$
Solusi: Menggunakan Sifat $$1$$, $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
```math
b^4 \cdot b^5 = b^{4+5} = b^9
```
```math
\text{Sehingga persamaan terbukti benar.}
```
3. $$(3\pi)^p = 27\pi^3$$
Solusi: Mengubah $$27\pi^3$$ menjadi $$3^3 \cdot \pi^3$$
```math
27\pi^3 = 3^3 \cdot \pi^3 = (3\pi)^3
```
```math
p = 3
```
Visible text: 1.
Solusi: Menggunakan Sifat ,
2.
Solusi: Menggunakan Sifat ,
3.
Solusi: Mengubah menjadi
### Menyederhanakan
1. $$\left(\frac{2^4 \times 3^6}{2^3 \times 3^2}\right)^3$$
```math
\left(\frac{2^4 \times 3^6}{2^3 \times 3^2}\right)^3 = \left(2^{4-3} \times 3^{6-2}\right)^3
```
```math
= \left(2^1 \times 3^4\right)^3
```
```math
= 2^{1 \cdot 3} \times 3^{4 \cdot 3}
```
```math
= 2^3 \times 3^{12}
```
2. $$(3u^3v^5)(9u^4v)$$
```math
(3u^3v^5)(9u^4v) = 3 \cdot 9 \cdot u^{3+4} \cdot v^{5+1}
```
```math
= 3^1 \cdot 3^2 \cdot u^7 \cdot v^6
```
```math
= 3^{1+2} \cdot u^7 \cdot v^6
```
```math
= 3^3 \cdot u^7 \cdot v^6
```
```math
= 27u^7v^6
```
3. $$\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2$$
```math
\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2 = \left(\frac{n^{-1}r^4}{5} \cdot \frac{1}{n^{-6}r^{-4}}\right)^2
```
```math
= \left(\frac{n^{-1}r^4}{5} \cdot n^6r^4\right)^2
```
```math
= \left(\frac{n^{-1+6}r^{4+4}}{5}\right)^2
```
```math
= \left(\frac{n^5r^8}{5}\right)^2
```
```math
= \frac{n^{10}r^{16}}{25}
```
Visible text: 1.
2.
3.