Pertumbuhan Eksponensial

Pertumbuhan dengan Faktor Tetap per Interval

Pertumbuhan eksponensial terjadi ketika suatu besaran positif dikalikan dengan faktor tetap yang lebih besar dari $1$ pada setiap interval yang sama. Model pertumbuhan berbentuk:

Pada model ini:

• $P_0>0$ adalah nilai awal
• $a>1$ adalah faktor pertumbuhan per interval
• $x$ adalah jumlah interval

Untuk peristiwa diskret seperti pembelahan sel yang telah selesai, $x$ adalah bilangan bulat tak negatif. Grafik kontinu memperluas rumus yang sama ke nilai real $x$ sebagai interpolasi model.

Membangun Model dari Tabel

Tabel nilai menunjukkan faktor pengulangannya secara langsung. Bagi setiap suku dengan suku sebelumnya untuk memastikan rasionya tetap sama pada setiap langkah. Jika rasio itu sama pada semua langkah, satu nilai awal dan satu faktor sudah cukup untuk menghitung suku berikutnya.

Pertumbuhan Bakteri Ideal

Anggap suatu kultur dimulai dengan $30$ bakteri dan setiap bakteri membelah menjadi dua setiap $30\text{ menit}$. Model ini mengabaikan kematian dan batas sumber daya agar kita dapat berfokus pada faktor berulangnya.

Misalkan $x$ menghitung interval tiga puluh menit yang telah selesai:

Setiap nilai adalah jumlah awal yang dikalikan dengan suatu pangkat dari $2$:

• $f(0)=30\cdot2^0=30$
• $f(1)=30\cdot2^1=60$

Jadi, modelnya adalah:

Menghubungkan Tabel dan Grafik

Tabel mencatat pembelahan yang telah selesai pada nilai bulat $x$. Kurva yang digambar memperluas $f(x)=30\cdot2^x$ ke nilai real $x$. Dalam model diskret ini, titik di antara dua bilangan bulat hanya menginterpolasi rumus dan tidak menunjukkan pembelahan tambahan yang telah selesai.

Setiap penggandaan menambah lebih banyak bakteri daripada penggandaan sebelumnya sehingga kemiringan kurva terus bertambah. Pada kultur bakteri yang sebenarnya, pola ini akhirnya berhenti karena ruang dan nutrisi terbatas.

Mengubah Waktu menjadi Interval

Lima jam memuat sepuluh interval tiga puluh menit:

Sekarang masukkan sepuluh interval tadi ke rumus pertumbuhan ideal:

Menurut model ideal, kultur tersebut berisi $30{.}720$ bakteri setelah $5\text{ jam}$.

Mengubah atau Menentukan Nilai Awal

Untuk faktor pertumbuhan tetap $a$, perubahan $P_0$ mengalikan setiap keluaran dengan skala yang sama:

Sebagai contoh, untuk faktor penggandaan:

• $P_0=50$ memberi $f(x)=50\cdot2^x$

Menentukan Nilai Awal yang Belum Diketahui

Anggap suatu kultur berisi $8{.}000$ bakteri setelah $2$ interval penggandaan. Misalkan $P_0$ adalah jumlah awal yang belum diketahui:

Kultur tersebut dimulai dengan $2{.}000$ bakteri.

Memperpanjang Model Interval yang Sama

Setelah $10$ interval penggandaan, kultur yang sama memiliki:

Waktu yang diwakili sepuluh interval tersebut bergantung pada panjang interval. Jika satu interval berlangsung tiga puluh menit, sepuluh interval sama dengan lima jam.

Latihan

Setiap soal memberi nilai awal dan selang waktu penggandaannya. Susun modelnya, lalu jawab pertanyaan pada selang yang diminta.

1. Suatu kultur bakteri ideal dimulai dengan $50$ sel dan menjadi dua kali lipat setiap $15\text{ menit}$.

   1. Buat tabel dan grafik dari interval $0$ hingga interval $5$.
   2. Tuliskan fungsi pertumbuhannya.
   3. Prediksi jumlahnya setelah $3\text{ jam}$ dan setelah .

Pembahasan

1. Nilai awalnya $50$ dan faktor pertumbuhannya $2$.

   1. Enam nilai pertamanya adalah:

      Interval	$0$	$1$

Batas Model

Pertumbuhan eksponensial muncul dalam bunga majemuk, model populasi ideal, model penularan awal, dan pertumbuhan laboratorium ketika sumber daya belum membatasi pertumbuhan. Selalu tentukan nilai awal, faktor, dan intervalnya. Dalam keadaan sebenarnya, laju pertumbuhan dapat berubah karena sumber daya terbatas atau muncul batas lain. Karena itu, aturan eksponensial hanya layak diperpanjang selama asumsinya masih masuk akal.