# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/eksponen-dan-logaritma/sifat-logaritma
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/logarithm-properties/id.mdx

Temukan 8 sifat penting logaritma: perkalian, pembagian, pangkat, dan perubahan basis. Gunakan sifat itu untuk menyelesaikan persamaan logaritma.

---

## Sifat Dasar Logaritma

Seperti halnya eksponen, logaritma juga memiliki beberapa sifat penting yang perlu dipahami. Sifat-sifat ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai persoalan logaritma.

Misalkan $$a > 0$$ dan $$a \neq 1$$, $$b > 0$$, $$c > 0$$, $$m > 0$$, $$m \neq 1$$, di mana $$a, b, c, m, n$$ adalah bilangan real $$(a, b, c, m, n \in \mathbb{R})$$. Berikut adalah **sifat-sifat logaritma**:

Visible text: Misalkan dan , , , , , di mana adalah bilangan real . Berikut adalah **sifat-sifat logaritma**:

1. $$^a\log a = 1$$
2. $$^a\log 1 = 0$$
3. $$^a\log a^n = n$$
4. $$^a\log (b \times c) = ^a\log b + ^a\log c$$
5. $$^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log b - ^a\log c$$
6. $$^a\log b^n = n \cdot ^a\log b$$
7. $$^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a} = \frac{1}{^b\log a}$$
8. $$^a\log b \times ^b\log c = ^a\log c$$

Visible text: 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8.

## Pembuktian Sifat Logaritma

### Logaritma Perkalian

**Sifat** $$4$$: $$^a\log (b \times c) = ^a\log b + ^a\log c$$

Visible text: **Sifat** :

Bukti: Misalkan $$^a\log b = m$$ dan $$^a\log c = n$$

Visible text: Bukti: Misalkan dan

Ini berarti:

$$b = a^m$$ dan $$c = a^n$$

Visible text: dan

Menggunakan sifat eksponen:

```math
b \times c = a^m \times a^n = a^{m+n}
```

Dengan demikian:

```math
^a\log (b \times c) = ^a\log (a^{m+n}) = m + n = ^a\log b + ^a\log c
```

### Logaritma Pembagian

**Sifat** $$5$$: $$^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log b - ^a\log c$$

Visible text: **Sifat** :

Bukti: Misalkan $$^a\log b = m$$ dan $$^a\log c = n$$

Visible text: Bukti: Misalkan dan

Maka $$b = a^m$$ dan $$c = a^n$$

Visible text: Maka dan

Ingat bahwa $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$, sehingga:

Visible text: Ingat bahwa , sehingga:

```math
\frac{b}{c} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
```

Oleh karena itu:

```math
^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log (a^{m-n}) = m - n = ^a\log b - ^a\log c
```

### Logaritma Pangkat

**Sifat** $$6$$: $$^a\log b^n = n \cdot ^a\log b$$

Visible text: **Sifat** :

Bukti: Misalkan $$^a\log b = m$$

Visible text: Bukti: Misalkan

$$^a\log b^n$$ artinya logaritma dari $$b$$ pangkat $$n$$

Visible text: artinya logaritma dari pangkat

$$^a\log b^n = ^a\log (\underbrace{b \times b \times b \times \ldots \times b}_{n \text{ faktor}})$$

Menggunakan sifat $$4$$ berulang kali:

Visible text: Menggunakan sifat berulang kali:

```math
^a\log b^n = \underbrace{^a\log b + ^a\log b + ^a\log b + \ldots + ^a\log b}_{n \text{ faktor}} = n \cdot ^a\log b
```

### Perubahan Basis Logaritma

**Sifat** $$7$$: $$^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a} = \frac{1}{^b\log a}$$

Visible text: **Sifat** :

Bukti:
Berdasarkan definisi logaritma, $$^a\log b = c$$ jika dan hanya jika $$b = a^c$$

Visible text: Bukti:
Berdasarkan definisi logaritma, jika dan hanya jika

Misalkan kita menggunakan basis $$m$$ untuk logaritma $$b$$:

Visible text: Misalkan kita menggunakan basis untuk logaritma :

```math
^m\log b = ^m\log a^c
```

Menggunakan sifat $$6$$:

Visible text: Menggunakan sifat :

```math
^m\log b = c \cdot ^m\log a
```

Karena $$c = ^a\log b$$, maka:

Visible text: Karena , maka:

```math
^m\log b = ^a\log b \cdot ^m\log a
```

Sehingga:

```math
^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a}
```

Jika $$m = b$$, maka:

Visible text: Jika , maka:

```math
^a\log b = \frac{^b\log b}{^b\log a} = \frac{1}{^b\log a}
```

### Logaritma Berantai

**Sifat** $$8$$: $$^a\log b \times ^b\log c = ^a\log c$$

Visible text: **Sifat** :

Bukti:
Berdasarkan definisi:

Component: MathContainer
Children:

```math
^a\log b = m \Leftrightarrow b = a^m
```

```math
^b\log c = n \Leftrightarrow c = b^n
```

Substitusi nilai $$b$$ ke persamaan $$c$$:

Visible text: Substitusi nilai ke persamaan :

```math
c = b^n = (a^m)^n = a^{mn}
```

Karena $$c = a^{mn}$$, maka:

Visible text: Karena , maka:

```math
^a\log c = ^a\log (a^{mn}) = mn = ^a\log b \times ^b\log c
```

## Contoh Penerapan

Misalkan kita ingin menghitung $$^5\log 125$$.

Visible text: Misalkan kita ingin menghitung .

Menggunakan **sifat** $$6$$:

Visible text: Menggunakan **sifat** :

```math
^5\log 125 = ^5\log 5^3 = 3 \cdot ^5\log 5 = 3 \cdot 1 = 3
```

## Latihan

1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini.

    1. $$^9\log 81$$

    2. $$^2\log 64 - ^2\log 16$$

    3. $$^4\log 16^{10}$$

2. Jika $$^5\log 4 = m$$, $$^4\log 3 = n$$, nyatakan $$^{12}\log 100$$ dalam $$m$$ dan $$n$$.

3. Penduduk kota $$A$$ pada tahun $$2010$$ sebanyak $$300.000 \text{ jiwa}$$. Pertumbuhan penduduk kota $$A$$ rata-rata per tahun adalah $$6\%$$. Jika diasumsikan pertumbuhan penduduk setiap tahun sama, dalam berapa tahun penduduk kota $$A$$ menjadi $$1 \text{ juta jiwa}$$?

4. Berapa waktu yang dibutuhkan sehingga uang Dini yang tadinya $$\text{Rp}2.000.000{,}00$$ dapat menjadi $$\text{Rp}6.500.000{,}00$$ jika dia menabung di suatu bank yang memberinya bunga sebesar $$12\%$$?

Visible text: 1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini.

 1. 

 2. 

 3. 

2. Jika , , nyatakan dalam dan .

3. Penduduk kota pada tahun sebanyak . Pertumbuhan penduduk kota rata-rata per tahun adalah . Jika diasumsikan pertumbuhan penduduk setiap tahun sama, dalam berapa tahun penduduk kota menjadi ?

4. Berapa waktu yang dibutuhkan sehingga uang Dini yang tadinya dapat menjadi jika dia menabung di suatu bank yang memberinya bunga sebesar ?

### Kunci Jawaban

1. Menentukan nilai logaritma

    1. Jawaban:

        <MathContainer>
          
       
       ```math
       ^9\log 81 = ^9\log 9^2
       ```

          
       
       ```math
       ^9\log 81 = 2 \cdot ^9\log 9
       ```

          
       
       ```math
       ^9\log 81 = 2 \cdot 1 = 2
       ```

        </MathContainer>

    2. Jawaban:

        <MathContainer>
          
       
       ```math
       ^2\log 64 - ^2\log 16 = ^2\log \frac{64}{16}
       ```

          
       
       ```math
       ^2\log 64 - ^2\log 16 = ^2\log 4
       ```

          
       
       ```math
       ^2\log 64 - ^2\log 16 = 2
       ```

        </MathContainer>

    3. Jawaban:

        <MathContainer>
          
       
       ```math
       ^4\log 16^{10} = ^4\log (4^2)^{10}
       ```

          
       
       ```math
       ^4\log 16^{10} = ^4\log 4^{20}
       ```

          
       
       ```math
       ^4\log 16^{10} = 20
       ```

        </MathContainer>

2. Dinyatakan bahwa $$^5\log 4 = m$$, $$^4\log 3 = n$$

   Maka:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   ^{12}\log 100 = \frac{^4\log 100}{^4\log 12}
   ```

     
   
   ```math
   = \frac{^4\log(4 \times 25)}{^4\log(4 \times 3)}
   ```

     
   
   ```math
   = \frac{^4\log 4 + ^4\log 25}{^4\log 4 + ^4\log 3}
   ```

     
   
   ```math
   = \frac{^4\log 4 + 2 \cdot ^4\log 5}{^4\log 4 + ^4\log 3}
   ```

     
   
   ```math
   = \frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{m}}{1 + n}
   ```

     
   
   ```math
   = \frac{1 + \frac{2}{m}}{1 + n}
   ```

   </MathContainer>

3. Jumlah penduduk awal adalah $$300.000 \text{ jiwa}$$

   Pertumbuhan penduduk per tahun $$6\%$$.

   Fungsi yang tepat untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk dalam $$x \text{ tahun}$$ adalah:

   
   
   ```math
   f(x) = 300.000(1 + 0{,}06)^x
   ```

   Untuk jumlah penduduk $$1.000.000 \text{ jiwa}$$:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   1.000.000 = 300.000(1 + 0{,}06)^x
   ```

     
   
   ```math
   1.000.000 = 300.000(1{,}06)^x
   ```

     
   
   ```math
   \frac{1.000.000}{300.000} = (1{,}06)^x
   ```

     
   
   ```math
   3{,}33 = (1{,}06)^x
   ```

     
   
   ```math
   x = ^{1{,}06}\log 3{,}33
   ```

     
   
   ```math
   x = 20{,}645
   ```

   </MathContainer>

   Jadi penduduk akan mencapai $$1.000.000 \text{ jiwa}$$ dalam waktu $$20$$ atau $$21 \text{ tahun}$$.

4. Tabungan awal adalah $$\text{Rp}2.000.000{,}00$$

   Tabungan akhir adalah $$\text{Rp}6.500.000{,}00$$

   Bunga adalah $$12\%$$

   Fungsi yang tepat untuk menggambarkan tabungan Dini dalam $$x \text{ tahun}$$ adalah:

   
   
   ```math
   f(x) = 2.000.000(1 + 0{,}12)^x
   ```

   Untuk tabungan akhir sebesar $$\text{Rp}6.500.000{,}00$$:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   6.500.000 = 2.000.000(1 + 0{,}12)^x
   ```

     
   
   ```math
   6.500.000 = 2.000.000(1{,}12)^x
   ```

     
   
   ```math
   \frac{6.500.000}{2.000.000} = (1{,}12)^x
   ```

     
   
   ```math
   3{,}25 = (1{,}12)^x
   ```

     
   
   ```math
   x = ^{1{,}12}\log 3{,}25
   ```

     
   
   ```math
   x = 10{,}4
   ```

   </MathContainer>

   Jadi, tabungan Dini akan mencapai $$\text{Rp}6.500.000{,}00$$ dalam waktu $$10 \text{ tahun}$$.

Visible text: 1. Menentukan nilai logaritma

 1. Jawaban:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 2. Jawaban:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 3. Jawaban:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

2. Dinyatakan bahwa , 

 Maka:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. Jumlah penduduk awal adalah 

 Pertumbuhan penduduk per tahun .

 Fungsi yang tepat untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk dalam adalah:

 
 

 Untuk jumlah penduduk :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Jadi penduduk akan mencapai dalam waktu atau .

4. Tabungan awal adalah 

 Tabungan akhir adalah 

 Bunga adalah 

 Fungsi yang tepat untuk menggambarkan tabungan Dini dalam adalah:

 
 

 Untuk tabungan akhir sebesar :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Jadi, tabungan Dini akan mencapai dalam waktu .