# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-dan-pemodelannya/fungsi-akar
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-modeling/square-root-function/id.mdx

Pelajari fungsi akar melalui grafik, domain, range, transformasi, persamaan, dan contoh masalah ketinggian roket.

---

## Pengertian Fungsi Akar

Fungsi akar merupakan salah satu jenis fungsi yang melibatkan operasi akar kuadrat. Fungsi ini memiliki bentuk umum $$f(x) = \sqrt{g(x)}$$ di mana $$g(x)$$ adalah fungsi di dalam tanda akar.

Visible text: Fungsi akar merupakan salah satu jenis fungsi yang melibatkan operasi akar kuadrat. Fungsi ini memiliki bentuk umum di mana adalah fungsi di dalam tanda akar.

Bentuk paling sederhana dari fungsi akar adalah $$f(x) = \sqrt{x}$$. Fungsi ini mengambil nilai input $$x$$ dan menghasilkan akar kuadrat dari nilai tersebut.

Visible text: Bentuk paling sederhana dari fungsi akar adalah . Fungsi ini mengambil nilai input dan menghasilkan akar kuadrat dari nilai tersebut.

### Karakteristik Fungsi Akar

Fungsi akar memiliki beberapa karakteristik khusus yang membedakannya dari fungsi lainnya:

1. **Domain terbatas**: Karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real, domain fungsi akar terbatas pada nilai-nilai yang membuat ekspresi di dalam akar bernilai non-negatif.

2. **Grafik berbentuk kurva**: Grafik fungsi akar berbentuk kurva yang dimulai dari suatu titik dan terus naik dengan kecepatan yang semakin lambat.

3. **Nilai selalu non-negatif**: Hasil dari fungsi akar selalu bernilai non-negatif ($$\geq 0$$).

Visible text: 1. **Domain terbatas**: Karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real, domain fungsi akar terbatas pada nilai-nilai yang membuat ekspresi di dalam akar bernilai non-negatif.

2. **Grafik berbentuk kurva**: Grafik fungsi akar berbentuk kurva yang dimulai dari suatu titik dan terus naik dengan kecepatan yang semakin lambat.

3. **Nilai selalu non-negatif**: Hasil dari fungsi akar selalu bernilai non-negatif ().

## Domain dan Range Fungsi Akar

Untuk memahami fungsi akar dengan baik, penting untuk menentukan domain dan range-nya.

### Menentukan Domain

Domain fungsi akar $$f(x) = \sqrt{g(x)}$$ adalah semua nilai $$x$$ yang membuat $$g(x) \geq 0$$.

Visible text: Domain fungsi akar adalah semua nilai yang membuat .

**Langkah-langkah menentukan domain:**

| Langkah | Penjelasan                                            | Contoh: $$f(x) = \sqrt{x-2}$$                   |
| ------- | ----------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------- |
| $$1$$ | Identifikasi ekspresi dalam akar                      | $$g(x) = x-2$$                                  |
| $$2$$ | Buat pertidaksamaan $$g(x) \geq 0$$ | $$x-2 \geq 0$$                                  |
| $$3$$ | Selesaikan pertidaksamaan                             | $$x \geq 2$$                                    |
| $$4$$ | Tuliskan domain                                       | $$D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$$ |

Visible text: | Langkah | Penjelasan | Contoh: |
| ------- | ----------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------- |
| | Identifikasi ekspresi dalam akar | |
| | Buat pertidaksamaan | |
| | Selesaikan pertidaksamaan | |
| | Tuliskan domain | |

### Menentukan Range

Range fungsi akar adalah semua nilai output yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut.

Untuk fungsi $$f(x) = \sqrt{x-2}$$, karena akar kuadrat selalu menghasilkan nilai non-negatif, maka:

Visible text: Untuk fungsi , karena akar kuadrat selalu menghasilkan nilai non-negatif, maka:

```math
R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}
```

## Grafik Fungsi Akar Dasar

Mari kita visualisasikan fungsi akar dasar $$f(x) = \sqrt{x}$$.

Visible text: Mari kita visualisasikan fungsi akar dasar .

Component: LineEquation
Props:
- title: Fungsi Akar Dasar: $$f(x) = \sqrt{x}$$
  Visible text: Fungsi Akar Dasar:
- description: Grafik fungsi akar dasar dimulai dari titik $$(0,0)$$ dan naik dengan kecepatan yang semakin lambat.
  Visible text: Grafik fungsi akar dasar dimulai dari titik dan naik dengan kecepatan yang semakin lambat.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "f(x) = √x", at: 5, offset: [0, 1, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]

## Transformasi Fungsi Akar

Fungsi akar dapat mengalami berbagai transformasi yang mengubah bentuk dan posisi grafiknya.

### Translasi Horizontal

Fungsi $$f(x) = \sqrt{x-h}$$ menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh $$h \text{ satuan}$$ ke kanan (jika $$h > 0$$) atau ke kiri (jika $$h < 0$$).

Visible text: Fungsi menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh ke kanan (jika ) atau ke kiri (jika ).

Component: LineEquation
Props:
- title: Translasi Horizontal Fungsi Akar
- description: Perbandingan $$f(x) = \sqrt{x}$$,{" "}
$$g(x) = \sqrt{x-2}$$, dan{" "}
$$h(x) = \sqrt{x+2}$$.
  Visible text: Perbandingan ,{" "}
, dan{" "}
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "√x", at: 5, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x - 2), z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "√(x-2)", at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x + 2), z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "√(x+2)", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]

### Translasi Vertikal

Fungsi $$f(x) = \sqrt{x} + k$$ menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh $$k \text{ satuan}$$ ke atas (jika $$k > 0$$) atau ke bawah (jika $$k < 0$$).

Visible text: Fungsi menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh ke atas (jika ) atau ke bawah (jika ).

| Fungsi                                    | Transformasi            | Domain                         | Range                           |
| ----------------------------------------- | ----------------------- | ------------------------------ | ------------------------------- |
| $$f(x) = \sqrt{x}$$     | Fungsi dasar            | $$x \geq 0$$ | $$y \geq 0$$  |
| $$f(x) = \sqrt{x} + 2$$ | Geser $$2 \text{ satuan}$$ ke atas  | $$x \geq 0$$ | $$y \geq 2$$  |
| $$f(x) = \sqrt{x} - 3$$ | Geser $$3 \text{ satuan}$$ ke bawah | $$x \geq 0$$ | $$y \geq -3$$ |

Visible text: | Fungsi | Transformasi | Domain | Range |
| ----------------------------------------- | ----------------------- | ------------------------------ | ------------------------------- |
| | Fungsi dasar | | |
| | Geser ke atas | | |
| | Geser ke bawah | | |

### Dilatasi

Fungsi $$f(x) = a\sqrt{x}$$ dengan $$a > 0$$ menyebabkan dilatasi vertikal pada grafik fungsi akar.

Visible text: Fungsi dengan menyebabkan dilatasi vertikal pada grafik fungsi akar.

Component: LineEquation
Props:
- title: Dilatasi Vertikal Fungsi Akar
- description: Perbandingan $$f(x) = \sqrt{x}$$,{" "}
$$g(x) = 2\sqrt{x}$$, dan{" "}
$$h(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}$$.
  Visible text: Perbandingan ,{" "}
, dan{" "}
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "√x", at: 5, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: 2 * Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "2√x", at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: 0.5 * Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "½√x", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]

## Fungsi Akar Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi akar yang mengalami transformasi adalah:

```math
f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k
```

Di mana:

- $$a$$ menentukan dilatasi vertikal dan refleksi (jika $$a < 0$$
  )
- $$b$$ menentukan dilatasi horizontal
- $$h$$ menentukan translasi horizontal
- $$k$$ menentukan translasi vertikal

Visible text: - menentukan dilatasi vertikal dan refleksi (jika 
 )
- menentukan dilatasi horizontal
- menentukan translasi horizontal
- menentukan translasi vertikal

**Langkah-langkah menggambar grafik:**

| Langkah | Tindakan            | Contoh: $$f(x) = 2\sqrt{x-1} + 3$$                                           |
| ------- | ------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $$1$$ | Tentukan titik awal | $$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$$, $$f(1) = 3$$, Titik: $$(1, 3)$$ |
| $$2$$ | Tentukan domain     | $$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$                                          |
| $$3$$ | Buat tabel nilai    | Pilih beberapa nilai $$x \geq 1$$                                            |
| $$4$$ | Hitung nilai fungsi | Untuk $$x = 2$$: $$f(2) = 2\sqrt{1} + 3 = 5$$              |
| $$5$$ | Plot titik-titik    | Plot $$(1,3)$$, $$(2,5)$$, $$(5,7)$$, dst. |
| $$6$$ | Hubungkan titik     | Buat kurva mulus melalui titik-titik                                                           |

Visible text: | Langkah | Tindakan | Contoh: |
| ------- | ------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------- |
| | Tentukan titik awal | , , Titik: |
| | Tentukan domain | |
| | Buat tabel nilai | Pilih beberapa nilai |
| | Hitung nilai fungsi | Untuk : |
| | Plot titik-titik | Plot , , , dst. |
| | Hubungkan titik | Buat kurva mulus melalui titik-titik |

## Persamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan fungsi akar, ikuti langkah-langkah berikut:

| Langkah | Penjelasan            | Contoh: $$\sqrt{2x+3} = 5$$          |
| ------- | --------------------- | ------------------------------------------------------ |
| $$1$$ | Isolasi akar          | Sudah terisolasi                                       |
| $$2$$ | Kuadratkan kedua ruas | $$(\sqrt{2x+3})^2 = 5^2$$            |
| $$3$$ | Sederhanakan          | $$2x+3 = 25$$                        |
| $$4$$ | Selesaikan            | $$2x = 22 \Rightarrow x = 11$$       |
| $$5$$ | Verifikasi            | $$\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5$$ ✓ |

Visible text: | Langkah | Penjelasan | Contoh: |
| ------- | --------------------- | ------------------------------------------------------ |
| | Isolasi akar | Sudah terisolasi |
| | Kuadratkan kedua ruas | |
| | Sederhanakan | |
| | Selesaikan | |
| | Verifikasi | ✓ |

## Pertidaksamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan fungsi akar, perhatikan domain dan sifat fungsi akar.

**Contoh:** Selesaikan $$\sqrt{x-1} < 3$$

Visible text: **Contoh:** Selesaikan

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Syarat: } x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1
```

```math
\sqrt{x-1} < 3
```

```math
x-1 < 9
```

```math
x < 10
```

Dengan menggabungkan syarat domain: $$1 \leq x < 10$$

Visible text: Dengan menggabungkan syarat domain:

## Latihan Soal

1. Tentukan domain dan range dari fungsi $$f(x) = \sqrt{3x-6}$$

2. Gambarkan grafik fungsi $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$

3. Selesaikan persamaan $$\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$$

4. Sebuah roket diluncurkan vertikal. Ketinggiannya setelah $$t \text{ detik}$$ diberikan oleh $$h(t) = 100\sqrt{t} \text{ meter}$$. Berapa ketinggian roket setelah $$9 \text{ detik}$$?

5. Tentukan nilai $$x$$ yang memenuhi $$2\sqrt{x-3} \geq 6$$

Visible text: 1. Tentukan domain dan range dari fungsi 

2. Gambarkan grafik fungsi 

3. Selesaikan persamaan 

4. Sebuah roket diluncurkan vertikal. Ketinggiannya setelah diberikan oleh . Berapa ketinggian roket setelah ?

5. Tentukan nilai yang memenuhi

### Kunci Jawaban

1. Domain: $$D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$$

   Range: $$R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}$$

2. **Menggambar grafik** $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$

   **Langkah-langkah menggambar:**

   | Langkah | Penjelasan                | Detail untuk $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$                                                                                                             |
   | ------- | ------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
   | $$1$$ | Identifikasi transformasi | $$a = -1$$ (refleksi terhadap sumbu $$x$$), $$h = -4$$ (geser $$4 \text{ satuan}$$ ke kiri), $$k = 2$$ (geser $$2 \text{ satuan}$$ ke atas) |
| $$2$$ | Tentukan titik awal       | $$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$$, $$g(-4) = 0 + 2 = 2$$, Titik awal: $$(-4, 2)$$ |
   | $$3$$ | Tentukan domain           | $$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$$                                                                                                                |
   | $$4$$ | Tentukan range            | Karena $$a = -1 < 0$$, grafik turun dari titik awal, sehingga $$y \leq 2$$                                                        |
   | $$5$$ | Buat tabel nilai          | Pilih nilai $$x \geq -4$$                                                                                                                           |

   **Tabel nilai:**

   | $$x$$ | $$x+4$$ | $$\sqrt{x+4}$$ | $$-\sqrt{x+4}$$ | $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$ |
   | ----------------------- | ------------------------- | -------------------------------- | --------------------------------- | -------------------------------------------- |
   | $$-4$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$2$$ |
   | $$-3$$ | $$1$$ | $$1$$ | $$-1$$ | $$1$$ |
   | $$0$$ | $$4$$ | $$2$$ | $$-2$$ | $$0$$ |
   | $$5$$ | $$9$$ | $$3$$ | $$-3$$ | $$-1$$ |
   | $$12$$ | $$16$$ | $$4$$ | $$-4$$ | $$-2$$ |

   <LineEquation
     title={
       <>
         Grafik $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$
       </>
     }
     description={<>Grafik fungsi akar yang mengalami refleksi terhadap sumbu $$x$$ dan translasi.</>}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = -4 + i * 0.8;
           const y = -Math.sqrt(x + 4) + 2;
           return { x, y, z: 0 };
         }),
         color: getColor("VIOLET"),
         showPoints: false,
         labels: [
           { text: "g(x) = -√(x+4) + 2", at: 8, offset: [0, -1, 0] },
           { text: "(-4, 2)", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
         ],
       },
     ]}
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[10, 6, 10]}
   />

3. $$x = 4$$ (Misalkan $$u = \sqrt{x}$$ dan $$v = \sqrt{x+5}$$
   )

4. $$h(9) = 100\sqrt{9} = 100 \times 3 = 300 \text{ meter}$$

5. $$x \geq 12$$ (dari $$\sqrt{x-3} \geq 3$$ dan
   syarat $$x \geq 3$$)

Visible text: 1. Domain: 

 Range: 

2. **Menggambar grafik** 

 **Langkah-langkah menggambar:**

 | Langkah | Penjelasan | Detail untuk |
 | ------- | ------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
 | | Identifikasi transformasi | (refleksi terhadap sumbu ), (geser ke kiri), (geser ke atas) |
| | Tentukan titik awal | , , Titik awal: |
 | | Tentukan domain | |
 | | Tentukan range | Karena , grafik turun dari titik awal, sehingga |
 | | Buat tabel nilai | Pilih nilai |

 **Tabel nilai:**

 | | | | | |
 | ----------------------- | ------------------------- | -------------------------------- | --------------------------------- | -------------------------------------------- |
 | | | | | |
 | | | | | |
 | | | | | |
 | | | | | |
 | | | | | |

 <LineEquation
 title={
 <>
 Grafik 
 </>
 }
 description={<>Grafik fungsi akar yang mengalami refleksi terhadap sumbu dan translasi.</>}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = -4 + i * 0.8;
 const y = -Math.sqrt(x + 4) + 2;
 return { x, y, z: 0 };
 }),
 color: getColor("VIOLET"),
 showPoints: false,
 labels: [
 { text: "g(x) = -√(x+4) + 2", at: 8, offset: [0, -1, 0] },
 { text: "(-4, 2)", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
 ],
 },
 ]}
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[10, 6, 10]}
 />

3. (Misalkan dan 
 )

4. 

5. (dari dan
 syarat )