# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-dan-pemodelannya/fungsi-nilai-mutlak
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-modeling/absolute-value-function/id.mdx
Pelajari fungsi nilai mutlak dengan grafik interaktif, transformasi, dan solusi bertahap. Pahami sifat, persamaan, dan aplikasi nyata.
---
## Pengertian Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang menghasilkan nilai positif atau nol dari setiap input, tanpa memperhatikan tanda asli dari input tersebut. Secara geometris, nilai mutlak dapat dipahami sebagai jarak suatu bilangan dari titik nol pada garis bilangan.
### Definisi Matematika
Untuk sebarang bilangan real $$x$$, fungsi nilai mutlak didefinisikan sebagai:
Visible text: Untuk sebarang bilangan real , fungsi nilai mutlak didefinisikan sebagai:
```math
f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{jika } x \geq 0 \\ -x, & \text{jika } x < 0 \end{cases}
```
**Komponen fungsi nilai mutlak:**
- Simbol $$|x|$$ dibaca "nilai mutlak x"
- Hasil fungsi selalu non-negatif ($$|x| \geq 0$$)
- Fungsi ini bersifat genap: $$|-x| = |x|$$
Visible text: - Simbol dibaca "nilai mutlak x"
- Hasil fungsi selalu non-negatif ()
- Fungsi ini bersifat genap:
## Sifat-sifat Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi nilai mutlak memiliki beberapa sifat penting yang perlu dipahami:
**Sifat dasar:**
Component: MathContainer
Children:
```math
|x| \geq 0 \text{ untuk semua} x \in \mathbb{R}
```
```math
|-x| = |x|
```
```math
|x|^2 = x^2
```
```math
|xy| = |x| \cdot |y|
```
```math
\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}, \text{ dengan} y \neq 0
```
**Sifat ketidaksamaan segitiga:**
Component: MathContainer
Children:
```math
|x + y| \leq |x| + |y|
```
```math
||x| - |y|| \leq |x - y|
```
## Grafik Fungsi Nilai Mutlak
Berikut adalah visualisasi fungsi nilai mutlak dasar:
Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik Fungsi $$f(x) = |x|$$
Visible text: Grafik Fungsi
- description: Grafik menunjukkan bentuk karakteristik fungsi nilai mutlak yang membentuk
huruf V.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "f(x) = |x|", at: 15, offset: [1, -1, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
**Tabel nilai fungsi $$f(x) = |x|$$:**
Visible text: **Tabel nilai fungsi :**
| $$x$$ | $$-4$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ |
| ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- |
| $$f(x) = x$$ | $$x$$ | $$x$$ | $$x$$ | $$x$$ | $$x$$ | $$x$$ | $$x$$ | $$x$$ | $$x$$ |
Visible text: | | | | | | | | | | |
| ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- |
| | | | | | | | | | |
## Transformasi Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi nilai mutlak dapat ditransformasi dengan berbagai cara:
### Translasi Vertikal
Fungsi $$f(x) = |x| + k$$ menggeser grafik ke atas (jika $$k > 0$$) atau ke bawah (jika $$k < 0$$).
Visible text: Fungsi menggeser grafik ke atas (jika ) atau ke bawah (jika ).
Component: LineEquation
Props:
- title: Translasi Vertikal
- description: Perbandingan $$f(x) = |x|$$ dengan{" "}
$$g(x) = |x| + 2$$ dan{" "}
$$h(x) = |x| - 2$$.
Visible text: Perbandingan dengan{" "}
dan{" "}
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "f(x) = |x|", at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x) + 2, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "g(x) = |x| + 2", at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x) - 2, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "h(x) = |x| - 2", at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
### Translasi Horizontal
Fungsi $$f(x) = |x - h|$$ menggeser grafik ke kanan (jika $$h > 0$$) atau ke kiri (jika $$h < 0$$).
Visible text: Fungsi menggeser grafik ke kanan (jika ) atau ke kiri (jika ).
Component: LineEquation
Props:
- title: Translasi Horizontal
- description: Perbandingan $$f(x) = |x|$$ dengan{" "}
$$g(x) = |x - 3|$$ dan{" "}
$$h(x) = |x + 3|$$.
Visible text: Perbandingan dengan{" "}
dan{" "}
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "f(x) = |x|", at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x - 3), z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "g(x) = |x - 3|", at: 12, offset: [3, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x + 3), z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "h(x) = |x + 3|", at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
### Peregangan dan Penyusutan
Fungsi $$f(x) = a|x|$$ mengubah kemiringan grafik:
Visible text: Fungsi mengubah kemiringan grafik:
- Jika $$a > 1$$: grafik menjadi lebih curam
- Jika $$0 < a < 1$$: grafik menjadi lebih landai
- Jika $$a < 0$$: grafik terbalik (refleksi terhadap sumbu $$x$$)
Visible text: - Jika : grafik menjadi lebih curam
- Jika : grafik menjadi lebih landai
- Jika : grafik terbalik (refleksi terhadap sumbu )
Supaya lebih mudah dipahami, mari kita lihat contoh berikut:
Component: LineEquation
Props:
- title: Peregangan dan Penyusutan
- description: Perbandingan $$f(x) = |x|$$ dengan{" "}
$$g(x) = 2|x|$$ dan $$h(x) = 0.5|x|$$.
Visible text: Perbandingan dengan{" "}
dan .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "f(x) = |x|", at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: 2 * Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "g(x) = 2|x|", at: 12, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: 0.5 * Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "h(x) = 0.5|x|", at: 12, offset: [3, 0.2, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
## Bentuk Umum Fungsi Nilai Mutlak
Bentuk umum fungsi nilai mutlak adalah:
```math
f(x) = a|x - h| + k
```
dengan:
- $$a$$: faktor peregangan/penyusutan dan refleksi
- $$h$$: translasi horizontal
- $$k$$: translasi vertikal
- Titik puncak (vertex) berada di $$(h, k)$$
Visible text: - : faktor peregangan/penyusutan dan refleksi
- : translasi horizontal
- : translasi vertikal
- Titik puncak (vertex) berada di
**Tabel transformasi:**
| Parameter | Nilai | Efek pada Grafik |
| ------------------------------- | ----------- | ------------------- |
| $$a > 1$$ | Positif, $$> 1$$ | Grafik lebih curam |
| $$0 < a < 1$$ | Positif, $$< 1$$ | Grafik lebih landai |
| $$a < 0$$ | Negatif | Grafik terbalik |
| $$h > 0$$ | Positif | Geser ke kanan |
| $$h < 0$$ | Negatif | Geser ke kiri |
| $$k > 0$$ | Positif | Geser ke atas |
| $$k < 0$$ | Negatif | Geser ke bawah |
Visible text: | Parameter | Nilai | Efek pada Grafik |
| ------------------------------- | ----------- | ------------------- |
| | Positif, | Grafik lebih curam |
| | Positif, | Grafik lebih landai |
| | Negatif | Grafik terbalik |
| | Positif | Geser ke kanan |
| | Negatif | Geser ke kiri |
| | Positif | Geser ke atas |
| | Negatif | Geser ke bawah |
## Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
**Menyelesaikan persamaan nilai mutlak:**
Untuk menyelesaikan $$|x| = a$$ dengan $$a \geq 0$$:
Visible text: Untuk menyelesaikan dengan :
Component: MathContainer
Children:
```math
|x| = a \Rightarrow x = a \text{ atau} x = -a
```
**Contoh:** Selesaikan $$|x - 3| = 5$$
Visible text: **Contoh:** Selesaikan
Component: MathContainer
Children:
```math
|x - 3| = 5
```
```math
x - 3 = 5 \text{ atau} x - 3 = -5
```
```math
x = 8 \text{ atau} x = -2
```
**Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:**
Untuk $$|x| < a$$ dengan $$a > 0$$:
Visible text: Untuk dengan :
```math
|x| < a \Rightarrow -a < x < a
```
Untuk $$|x| > a$$ dengan $$a > 0$$:
Visible text: Untuk dengan :
```math
|x| > a \Rightarrow x < -a \text{ atau} x > a
```
## Latihan
1. Tentukan nilai dari $$f(x) = |2x - 6|$$ untuk $$x = -1, 0, 3, 5$$
2. Selesaikan persamaan $$|3x + 1| = 7$$
3. Selesaikan pertidaksamaan $$|x - 2| < 4$$
4. Tentukan titik puncak dari fungsi $$f(x) = 2|x - 3| + 1$$
5. Jarak antara dua kota adalah $$150 \text{ km}$$. Jika kota $$A$$ berada di koordinat $$-50 \text{ km}$$, di mana letak kota $$B$$?
Visible text: 1. Tentukan nilai dari untuk
2. Selesaikan persamaan
3. Selesaikan pertidaksamaan
4. Tentukan titik puncak dari fungsi
5. Jarak antara dua kota adalah . Jika kota berada di koordinat , di mana letak kota ?
### Kunci Jawaban
1. **Menghitung nilai fungsi untuk berbagai input:**
Substitusi setiap nilai $$x$$ ke dalam fungsi $$f(x) = |2x - 6|$$:
```math
f(-1) = |2(-1) - 6| = |-2 - 6| = |-8| = 8
```
```math
f(0) = |2(0) - 6| = |0 - 6| = |-6| = 6
```
```math
f(3) = |2(3) - 6| = |6 - 6| = |0| = 0
```
```math
f(5) = |2(5) - 6| = |10 - 6| = |4| = 4
```
2. **Menyelesaikan persamaan nilai mutlak:**
Untuk persamaan $$|3x + 1| = 7$$, kita gunakan definisi nilai mutlak yang menghasilkan dua kemungkinan:
```math
3x + 1 = 7 \quad \text{atau} \quad 3x + 1 = -7
```
```math
3x = 6 \quad \text{atau} \quad 3x = -8
```
```math
x = 2 \quad \text{atau} \quad x = -\frac{8}{3}
```
3. **Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:**
Untuk $$|x - 2| < 4$$, kita gunakan sifat bahwa $$|a| < b$$ ekuivalen dengan $$-b < a < b$$:
```math
-4 < x - 2 < 4
```
```math
-4 + 2 < x < 4 + 2
```
```math
-2 < x < 6
```
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $$x \in (-2, 6)$$.
4. **Menentukan titik puncak (vertex):**
Dari fungsi $$f(x) = 2|x - 3| + 1$$, kita dapat mengidentifikasi parameter:
- $$a = 2$$ (faktor peregangan)
- $$h = 3$$ (translasi horizontal)
- $$k = 1$$ (translasi vertikal)
Titik puncak berada di $$(h, k) = (3, 1)$$.
5. **Menghitung posisi berdasarkan jarak:**
Diketahui jarak antara kota $$A$$ dan $$B$$ adalah $$150 \text{ km}$$, dengan kota $$A$$ di koordinat $$-50 \text{ km}$$. Misalkan kota $$B$$ berada di koordinat $$x_B$$:
```math
|-50 - x_B| = 150
```
```math
-50 - x_B = 150 \quad \text{atau} \quad -50 - x_B = -150
```
```math
x_B = -50 - 150 = -200 \quad \text{atau} \quad x_B = -50 + 150 = 100
```
Jadi kota $$B$$ dapat berada di koordinat $$100 \text{ km}$$ atau $$-200 \text{ km}$$.
Visible text: 1. **Menghitung nilai fungsi untuk berbagai input:**
Substitusi setiap nilai ke dalam fungsi :
2. **Menyelesaikan persamaan nilai mutlak:**
Untuk persamaan , kita gunakan definisi nilai mutlak yang menghasilkan dua kemungkinan:
3. **Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:**
Untuk , kita gunakan sifat bahwa ekuivalen dengan :
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah .
4. **Menentukan titik puncak (vertex):**
Dari fungsi , kita dapat mengidentifikasi parameter:
- (faktor peregangan)
- (translasi horizontal)
- (translasi vertikal)
Titik puncak berada di .
5. **Menghitung posisi berdasarkan jarak:**
Diketahui jarak antara kota dan adalah , dengan kota di koordinat . Misalkan kota berada di koordinat :
Jadi kota dapat berada di koordinat atau .