# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-dan-pemodelannya/fungsi-rasional
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-modeling/rational-function/id.mdx

Pelajari fungsi rasional dengan contoh nyata, cara mencari domain, teknik penyederhanaan, dan operasi. Pahami melalui masalah praktis seperti desain kandang ayam.

---

## Apa itu Fungsi Rasional?

Pernahkah kamu melihat pecahan dalam matematika? Nah, fungsi rasional itu mirip dengan pecahan, tapi lebih menarik karena melibatkan variabel!

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan, di mana pembilang dan penyebutnya adalah fungsi polinomial. Secara sederhana, fungsi rasional bisa ditulis sebagai:

```math
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
```

Di mana:

- $$P(x)$$ adalah polinomial di pembilang
- $$Q(x)$$ adalah polinomial di penyebut
- $$Q(x) \neq 0$$ (penyebut tidak boleh nol)

Visible text: - adalah polinomial di pembilang
- adalah polinomial di penyebut
- (penyebut tidak boleh nol)

## Contoh Fungsi Rasional dalam Kehidupan

Mari kita lihat contoh nyata untuk memahami fungsi rasional lebih baik.

**Masalah Kandang Ayam:**

Pak Budi ingin membuat kandang ayam berbentuk persegi panjang dengan luas $$100 \text{ m}^2$$. Dia ingin tahu hubungan antara panjang dan lebar kandang.

Visible text: Pak Budi ingin membuat kandang ayam berbentuk persegi panjang dengan luas . Dia ingin tahu hubungan antara panjang dan lebar kandang.

Jika panjang kandang adalah $$x \text{ meter}$$, maka:

Visible text: Jika panjang kandang adalah , maka:

- $$\text{Luas} = \text{panjang} \times \text{lebar} = 100$$
- $$x \times \text{lebar} = 100$$
- Lebar adalah $$\frac{100}{x}$$

Visible text: - 
- 
- Lebar adalah

Fungsi $$f(x) = \frac{100}{x}$$ adalah contoh fungsi rasional!

Visible text: Fungsi adalah contoh fungsi rasional!

## Bentuk-bentuk Fungsi Rasional

### Fungsi Rasional Sederhana

Bentuk paling sederhana dari fungsi rasional:

```math
f(x) = \frac{k}{x}
```

Di mana $$k$$ adalah konstanta. Contoh: $$f(x) = \frac{5}{x}$$

Visible text: Di mana adalah konstanta. Contoh:

### Fungsi Rasional Linear

Pembilang dan penyebutnya adalah fungsi linear:

```math
f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}
```

Contoh: $$f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$$

Visible text: Contoh:

### Fungsi Rasional Kuadrat

Melibatkan fungsi kuadrat di pembilang atau penyebut:

```math
f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 3}
```

## Domain Fungsi Rasional

Domain fungsi rasional adalah semua nilai $$x$$ yang membuat fungsi terdefinisi. Ingat, penyebut tidak boleh nol!

Visible text: Domain fungsi rasional adalah semua nilai yang membuat fungsi terdefinisi. Ingat, penyebut tidak boleh nol!

**Cara mencari domain:**

1. Cari nilai $$x$$ yang membuat penyebut $$= 0$$
2. Domain adalah semua bilangan real kecuali nilai-nilai tersebut

Visible text: 1. Cari nilai yang membuat penyebut 
2. Domain adalah semua bilangan real kecuali nilai-nilai tersebut

**Contoh:** Tentukan domain dari $$f(x) = \frac{x + 2}{x - 3}$$

Visible text: **Contoh:** Tentukan domain dari

**Penyelesaian:**

- Penyebut nol ketika: $$x - 3 = 0$$
- Jadi: $$x = 3$$
- Domain: $$D_f = \{x | x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}$$

Visible text: - Penyebut nol ketika: 
- Jadi: 
- Domain:

## Menyederhanakan Fungsi Rasional

Fungsi rasional bisa disederhanakan dengan mencari faktor persekutuan pembilang dan penyebut.

### Tanpa Pemfaktoran

Sederhanakan: $$f(x) = \frac{6x^2}{3x}$$

Visible text: Sederhanakan:

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
f(x) = \frac{6x^2}{3x}
```

```math
= \frac{6x \cdot x}{3x}
```

```math
= \frac{6x}{3} \cdot \frac{x}{x}
```

```math
= 2x
```

### Dengan Pemfaktoran

Sederhanakan: $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

Visible text: Sederhanakan:

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}
```

```math
= \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}
```

```math
= x + 2
```

Catatan: $$x \neq 2$$ (dari domain awal)

Visible text: Catatan: (dari domain awal)

## Operasi pada Fungsi Rasional

### Penjumlahan dan Pengurangan

Sama seperti pecahan biasa, kita perlu samakan penyebutnya dulu!

**Contoh:** $$\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$$

Visible text: **Contoh:**

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}
```

```math
= \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{3x}{x(x + 1)}
```

```math
= \frac{2(x + 1) + 3x}{x(x + 1)}
```

```math
= \frac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)}
```

```math
= \frac{5x + 2}{x(x + 1)}
```

### Perkalian

Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut:

```math
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}
```

**Contoh:** $$\frac{x + 1}{x} \times \frac{2x}{x - 1}$$

Visible text: **Contoh:**

**Penyelesaian:**

```math
\frac{x + 1}{x} \times \frac{2x}{x - 1} = \frac{2x(x + 1)}{x(x - 1)} = \frac{2(x + 1)}{x - 1}
```

### Pembagian

Ingat, membagi berarti mengalikan dengan kebalikannya:

```math
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}
```

## Latihan

1. Tentukan domain dari $$f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$$

2. Sederhanakan $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$$

3. Hitung $$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}$$

4. Sebuah mobil menempuh jarak $$300 \text{ km}$$. Jika kecepatan rata-rata $$v \text{ km/jam}$$, tuliskan fungsi waktu tempuh dalam $$v$$.

Visible text: 1. Tentukan domain dari 

2. Sederhanakan 

3. Hitung 

4. Sebuah mobil menempuh jarak . Jika kecepatan rata-rata , tuliskan fungsi waktu tempuh dalam .

### Kunci Jawaban

**Jawaban** $$1$$:

Visible text: **Jawaban** :

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 - 9 = 0
```

```math
(x + 3)(x - 3) = 0
```

```math
x = -3 \text{ atau} x = 3
```

Domain: $$D_f = \{x | x \neq -3, x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}$$

Visible text: Domain:

**Jawaban** $$2$$:

Visible text: **Jawaban** :

Component: MathContainer
Children:

```math
f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}
```

```math
= \frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 1}
```

```math
= x - 1
```

Dengan syarat $$x \neq -1$$

Visible text: Dengan syarat

**Jawaban** $$3$$:

Visible text: **Jawaban** :

Component: MathContainer
Children:

```math
\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}
```

```math
= \frac{(x + 1) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}
```

```math
= \frac{x + 1 - 2x + 2}{(x - 1)(x + 1)}
```

```math
= \frac{-x + 3}{(x - 1)(x + 1)}
```

**Jawaban** $$4$$:

Visible text: **Jawaban** :

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Waktu} = \frac{\text{Jarak}}{\text{Kecepatan}}
```

```math
t(v) = \frac{300}{v}
```