# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-dan-pemodelannya/grafik-fungsi-trigonometri
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-modeling/trigonometric-function-graph/id.mdx

Pelajari grafik fungsi trigonometri dengan visualisasi interaktif. Pahami grafik sin, cos, tan, amplitudo, periode, transformasi & konversi sudut.

---

## Memahami Grafik Fungsi Trigonometri

Pernahkah kalian melihat gelombang air laut? Gerakan naik-turunnya membentuk pola yang berulang secara teratur. Ternyata, pola ini dapat dimodelkan dengan fungsi trigonometri.

Untuk membaca grafik fungsi trigonometri, kita perlu memahami ukuran sudut dalam radian. Dalam kehidupan sehari-hari, kita terbiasa menggunakan derajat. Namun dalam matematika tingkat lanjut, radian lebih sering digunakan.

## Konversi Derajat dan Radian

Satu putaran penuh lingkaran adalah $$360^\circ$$ atau $$2\pi$$ radian. Hubungan ini memberikan kita rumus konversi:

Visible text: Satu putaran penuh lingkaran adalah atau radian. Hubungan ini memberikan kita rumus konversi:

Component: MathContainer
Children:

```math
180^\circ = \pi \text{ radian}
```

```math
1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ radian}
```

```math
1 \text{ radian} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ
```

### Contoh Konversi

Mengubah derajat ke radian:

Component: MathContainer
Children:

```math
90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ radian}
```

```math
60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ radian}
```

```math
45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \text{ radian}
```

Mengubah radian ke derajat:

Component: MathContainer
Children:

```math
\frac{\pi}{6} \text{ radian} = \frac{\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 30^\circ
```

```math
\frac{3\pi}{4} \text{ radian} = \frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 135^\circ
```

## Apa itu Amplitudo dan Periode?

Dua konsep kunci pada grafik fungsi trigonometri adalah **amplitudo** dan **periode**.

### Amplitudo

Amplitudo adalah jarak maksimum dari garis tengah (sumbu $$x$$) ke puncak atau lembah grafik. Untuk fungsi $$y = A \sin x$$ atau $$y = A \cos x$$, amplitudo adalah $$|A|$$.

Visible text: Amplitudo adalah jarak maksimum dari garis tengah (sumbu ) ke puncak atau lembah grafik. Untuk fungsi atau , amplitudo adalah .

Component: LineEquation
Props:
- title: Konsep Amplitudo
- description: Amplitudo menentukan 'tinggi' gelombang. Perhatikan jarak dari sumbu $$x$$ ke puncak.
  Visible text: Amplitudo menentukan 'tinggi' gelombang. Perhatikan jarak dari sumbu ke puncak.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "Amplitudo = 2", at: 25, offset: [0, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: Math.PI / 2, y: 0, z: 0 },
{ x: Math.PI / 2, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

### Periode

Periode adalah panjang interval yang diperlukan untuk satu siklus lengkap. Untuk fungsi $$y = \sin(Bx)$$ atau $$y = \cos(Bx)$$, periode adalah $$\frac{2\pi}{|B|}$$.

Visible text: Periode adalah panjang interval yang diperlukan untuk satu siklus lengkap. Untuk fungsi atau , periode adalah .

Component: LineEquation
Props:
- title: Konsep Periode
- description: Periode adalah jarak horizontal untuk satu gelombang penuh.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "Periode = 2π", at: 25, offset: [0, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -1.2, z: 0 },
{ x: 2 * Math.PI, y: -1.2, z: 0 },
],
color: getColor("PURPLE"),
lineWidth: 2,
showPoints: false,
cone: { position: "both" },
labels: [
{
text: "← 2π →",
at: 1,
offset: [-3, -0.5, 0],
color: getColor("PURPLE"),
},
],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 18]
- showZAxis: false

### Rumus Umum

Untuk fungsi trigonometri dalam bentuk:

- $$y = A \sin(Bx)$$ dan $$y = A \cos(Bx)$$:

  <MathContainer>
    
  
  ```math
  y = A \sin(Bx)
  ```

    
  
  ```math
  y = A \cos(Bx)
  ```

  </MathContainer>

- $$y = A \tan(Bx)$$:

  <MathContainer>
    
  
  ```math
  y = A \tan(Bx)
  ```

    
  
  ```math
  \text{Amplitudo} = \text{tidak terdefinisi (tak terbatas)}
  ```

    
  
  ```math
  \text{Periode} = \frac{\pi}{|B|}
  ```

  </MathContainer>

Visible text: - dan :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

- :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

## Grafik Fungsi Sinus

Fungsi $$y = \sin x$$ adalah fungsi periodik dengan periode $$2\pi$$. Artinya, pola grafiknya berulang setiap interval $$2\pi$$.

Visible text: Fungsi adalah fungsi periodik dengan periode . Artinya, pola grafiknya berulang setiap interval .

Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$y = \sin x$$
  Visible text: Grafik
- description: Perhatikan bagaimana grafik membentuk gelombang yang berulang secara teratur.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "y = sin x", at: 25, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

**Karakteristik grafik** $$y = \sin x$$:

Visible text: **Karakteristik grafik** :

- **Periode**: $$2\pi$$ (grafik berulang setiap $$2\pi \text{ satuan}$$)
- **Amplitudo**: $$1$$ (nilai maksimum dikurangi nilai minimum, lalu dibagi $$2$$)
- **Domain**: Semua bilangan real
- **Range**: $$[-1, 1]$$
- **Titik potong sumbu $$x$$**: $$x = n\pi$$ untuk $$n$$ bilangan bulat
- **Nilai maksimum**: $$1$$ pada $$x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$$
- **Nilai minimum**: $$-1$$ pada $$x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$$

Visible text: - **Periode**: (grafik berulang setiap )
- **Amplitudo**: (nilai maksimum dikurangi nilai minimum, lalu dibagi )
- **Domain**: Semua bilangan real
- **Range**: 
- **Titik potong sumbu **: untuk bilangan bulat
- **Nilai maksimum**: pada 
- **Nilai minimum**: pada

## Grafik Fungsi Kosinus

Fungsi $$y = \cos x$$ memiliki bentuk yang mirip dengan sinus, tetapi bergeser $$\frac{\pi}{2}$$ ke kiri.

Visible text: Fungsi memiliki bentuk yang mirip dengan sinus, tetapi bergeser ke kiri.

Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$y = \cos x$$
  Visible text: Grafik
- description: Bandingkan dengan grafik $$\sin$$. Perhatikan pergeserannya.
  Visible text: Bandingkan dengan grafik . Perhatikan pergeserannya.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.cos(x), z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "y = cos x", at: 25, offset: [0.3, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

**Karakteristik grafik** $$y = \cos x$$:

Visible text: **Karakteristik grafik** :

- **Periode**: $$2\pi$$
- **Amplitudo**: $$1$$
- **Domain**: Semua bilangan real
- **Range**: $$[-1, 1]$$
- **Titik potong sumbu $$x$$**: $$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$
- **Nilai maksimum**: $$1$$ pada $$x = 2n\pi$$
- **Nilai minimum**: $$-1$$ pada $$x = \pi + 2n\pi$$

Visible text: - **Periode**: 
- **Amplitudo**: 
- **Domain**: Semua bilangan real
- **Range**: 
- **Titik potong sumbu **: 
- **Nilai maksimum**: pada 
- **Nilai minimum**: pada

### Perbandingan Sin dan Cos

Component: LineEquation
Props:
- title: Perbandingan Grafik $$\sin$$ dan $$\cos$$
  Visible text: Perbandingan Grafik dan
- description: Perhatikan bahwa $$\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$$.
  Visible text: Perhatikan bahwa .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "y = sin x", at: 25, offset: [1.5, -1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.cos(x), z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "y = cos x", at: 75, offset: [1.5, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

## Grafik Fungsi Tangen

Fungsi $$y = \tan x$$ berbeda dengan $$\sin$$ dan $$\cos$$ karena memiliki asimtot vertikal.

Visible text: Fungsi berbeda dengan dan karena memiliki asimtot vertikal.

Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$y = \tan x$$
  Visible text: Grafik
- description: Perhatikan garis putus-putus yang menunjukkan asimtot vertikal.
- data: [
// Fungsi tangen
...Array.from({ length: 3 }, (_, periodIndex) => {
const offset = (periodIndex - 1) * Math.PI;
return {
points: Array.from({ length: 50 }, (_, i) => {
const x = offset + (i / 49) * Math.PI * 0.9 - Math.PI * 0.45;
return { x, y: Math.tan(x), z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels:
periodIndex === 1
? [{ text: "y = tan x", at: 25, offset: [2, 0.5, 0] }]
: [],
showPoints: false,
};
}),
// Asimtot vertikal
...Array.from({ length: 3 }, (_, i) => {
const x = (i - 1) * Math.PI + Math.PI / 2;
return {
points: [
{ x, y: -5, z: 0 },
{ x, y: 5, z: 0 },
],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
labels:
i === 1 ? [{ text: `x = π/2`, at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }] : [],
};
}),
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

**Karakteristik grafik** $$y = \tan x$$:

Visible text: **Karakteristik grafik** :

- **Periode**: $$\pi$$ (lebih pendek dari $$\sin$$ dan $$\cos$$)
- **Amplitudo**: Tidak terdefinisi
- **Domain**: $$x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$$
- **Range**: Semua bilangan real
- **Asimtot vertikal**: $$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$
- **Titik potong sumbu $$x$$**: $$x = n\pi$$

Visible text: - **Periode**: (lebih pendek dari dan )
- **Amplitudo**: Tidak terdefinisi
- **Domain**: 
- **Range**: Semua bilangan real
- **Asimtot vertikal**: 
- **Titik potong sumbu **:

## Transformasi Fungsi Trigonometri

### Perubahan Amplitudo

Fungsi $$y = A \sin x$$ mengubah amplitudo menjadi $$|A|$$.

Visible text: Fungsi mengubah amplitudo menjadi .

Component: LineEquation
Props:
- title: Pengaruh Amplitudo
- description: Perhatikan bagaimana nilai $$A$$ mempengaruhi tinggi
gelombang.
  Visible text: Perhatikan bagaimana nilai mempengaruhi tinggi
gelombang.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "y = sin x", at: 25, offset: [1.5, -2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "y = 2 sin x", at: 25, offset: [1.25, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 0.5 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "y = 0.5 sin x", at: 25, offset: [1, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

### Perubahan Periode

Fungsi $$y = \sin(Bx)$$ mengubah periode menjadi $$\frac{2\pi}{|B|}$$.

Visible text: Fungsi mengubah periode menjadi .

Component: LineEquation
Props:
- title: Pengaruh Periode
- description: Nilai $$B$$ mempengaruhi seberapa cepat fungsi berulang.
  Visible text: Nilai mempengaruhi seberapa cepat fungsi berulang.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "y = sin x", at: 25, offset: [1.5, -2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(2 * x), z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "y = sin 2x", at: 60, offset: [1.25, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(0.5 * x), z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [{ text: "y = sin 0.5x", at: 25, offset: [1, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

### Pergeseran Vertikal dan Horizontal

Bentuk umum:

```math
y = A \sin(B(x - C)) + D
```

- $$A$$: Amplitudo
- $$B$$: Mempengaruhi periode (
  $$\text{periode} = \frac{2\pi}{|B|}$$)
- $$C$$: Pergeseran horizontal (fase)
- $$D$$: Pergeseran vertikal

Visible text: - : Amplitudo
- : Mempengaruhi periode (
 )
- : Pergeseran horizontal (fase)
- : Pergeseran vertikal

Perhatikan pergeseran horizontal dan vertikal dari grafik:

Component: LineEquation
Props:
- title: Transformasi Lengkap
- description: Grafik $$y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 1$$ menunjukkan
semua transformasi.
  Visible text: Grafik menunjukkan
semua transformasi.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "y = sin x (dasar)", at: 25, offset: [0.5, -2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x - Math.PI / 4) + 1, z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
labels: [
{ text: "y = 2sin(x - π/4) + 1", at: 25, offset: [0.5, 1.5, 0] },
],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

## Latihan

1. Konversikan sudut berikut:

   - $$120^\circ$$ ke radian
   - $$\frac{5\pi}{6}$$ radian ke derajat

2. Tentukan periode dan amplitudo dari:

   - $$y = 3 \sin(2x)$$
   - $$y = -2 \cos(\frac{x}{3})$$

3. Sketsakan grafik $$y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$$. Tentukan:

   - Amplitudo
   - Periode
   - Pergeseran fase
   - Pergeseran vertikal

4. Jika tinggi air pasang surut dimodelkan dengan $$h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5 \text{ meter}$$, dimana t dalam jam:

   - Berapa tinggi air maksimum dan minimum?
   - Berapa periode pasang surut?

5. Tentukan persamaan fungsi trigonometri yang memiliki:

   - Amplitudo $$3$$
   - Periode $$\pi$$
   - Bergeser $$\frac{\pi}{4}$$ ke kanan
   - Bergeser $$2 \text{ satuan}$$ ke atas

Visible text: 1. Konversikan sudut berikut:

 - ke radian
 - radian ke derajat

2. Tentukan periode dan amplitudo dari:

 - 
 - 

3. Sketsakan grafik . Tentukan:

 - Amplitudo
 - Periode
 - Pergeseran fase
 - Pergeseran vertikal

4. Jika tinggi air pasang surut dimodelkan dengan , dimana t dalam jam:

 - Berapa tinggi air maksimum dan minimum?
 - Berapa periode pasang surut?

5. Tentukan persamaan fungsi trigonometri yang memiliki:

 - Amplitudo 
 - Periode 
 - Bergeser ke kanan
 - Bergeser ke atas

### Kunci Jawaban

1. Konversi sudut:

   - $$120^\circ = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$$ radian
   - $$\frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 150^\circ$$

2. Periode dan amplitudo:

   - $$y = 3 \sin(2x)$$: amplitudo $$3$$, periode $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$
   - $$y = -2 \cos(\frac{x}{3})$$: amplitudo $$2$$, periode $$\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$$

3. Untuk $$y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$$:

   - Amplitudo: $$2$$
   - Periode: $$2\pi$$
   - Pergeseran fase: $$\frac{\pi}{3}$$ ke kiri
   - Pergeseran vertikal: $$1 \text{ satuan}$$ ke bawah

4. Untuk $$h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5$$:

   - Tinggi maksimum: $$5 + 2 = 7 \text{ meter}$$
   - Tinggi minimum: $$5 - 2 = 3 \text{ meter}$$
   - Periode: $$\frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \text{ jam}$$

5. Persamaan yang memenuhi syarat:

   
   
   ```math
   y = 3 \sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 2
   ```

   atau

   
   
   ```math
   y = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{2}) + 2
   ```

Visible text: 1. Konversi sudut:

 - radian
 - 

2. Periode dan amplitudo:

 - : amplitudo , periode 
 - : amplitudo , periode 

3. Untuk :

 - Amplitudo: 
 - Periode: 
 - Pergeseran fase: ke kiri
 - Pergeseran vertikal: ke bawah

4. Untuk :

 - Tinggi maksimum: 
 - Tinggi minimum: 
 - Periode: 

5. Persamaan yang memenuhi syarat:

 
 

 atau