Grafik Fungsi Trigonometri

Gerak Berulang dalam Grafik Trigonometri

Gelombang air laut bergerak naik dan turun dengan pola yang berulang. Fungsi trigonometri dapat memodelkan gerak periodik seperti ini.

Untuk membaca grafik fungsi trigonometri, kita perlu memahami ukuran sudut dalam radian. Dalam kehidupan sehari-hari, kita terbiasa menggunakan derajat. Namun dalam matematika tingkat lanjut, radian lebih sering digunakan.

Konversi Derajat dan Radian

Satu putaran penuh lingkaran adalah $360^\circ$ atau $2\pi$ radian. Dari hubungan ini, kita memperoleh rumus konversi berikut:

Contoh Konversi

Mengubah derajat ke radian:

Mengubah radian ke derajat:

Amplitudo dan Periode

Amplitudo dan periode menentukan bentuk dasar grafik fungsi trigonometri. Amplitudo menunjukkan seberapa jauh kurva naik dan turun dari garis tengahnya, sedangkan periode menunjukkan jarak mendatar yang dibutuhkan satu pengulangan penuh.

Amplitudo

Amplitudo adalah jarak vertikal maksimum dari garis tengah gelombang sinusoidal ke puncak atau lembahnya. Pada fungsi tanpa pergeseran $y = A \sin x$ dan $y = A \cos x$, garis tengah tersebut adalah sumbu $x$ dan amplitudonya $|A|$.

Periode

Periode adalah panjang interval yang diperlukan untuk satu siklus lengkap. Untuk fungsi $y = \sin(Bx)$ atau $y = \cos(Bx)$, periode adalah $\frac{2\pi}{|B|}$.

Amplitudo dan Periode dari Koefisien

Pada bentuk $y = A \sin(Bx)$, faktor $A$ menentukan amplitudo dan faktor $B$ menentukan periode. Kedua rumus di bawah menghitung kedua besaran itu langsung dari $A$ dan $B$. Sinus dan kosinus selalu punya amplitudo yang terdefinisi, sedangkan tangen tidak punya karena nilainya tidak terbatas.

• $y = A \sin(Bx)$ dan $y = A \cos(Bx)$:

  $$y = A \sin(Bx)$$

  $$y = A \cos(Bx)$$

• $y = A \tan(Bx)$:

  $$y = A \tan(Bx)$$

  $$\text{Amplitudo} = \text{tidak terdefinisi}$$

  $$\text{Periode} = \frac{\pi}{|B|}$$

Grafik Fungsi Sinus

Fungsi $y = \sin x$ bersifat periodik dengan periode $2\pi$. Artinya, pola grafiknya berulang pada setiap interval sepanjang $2\pi$.

Karakteristik grafik: $y = \sin x$

• Periode: $2\pi$ (grafik berulang setiap $2\pi \text{ satuan}$)
• Amplitudo: $1$ (nilai maksimum dikurangi nilai minimum, lalu dibagi $2$)
• Domain: Semua bilangan real
• Range: $[-1, 1]$
• Titik potong sumbu $x$: $x = n\pi$ untuk $n$ bilangan bulat
• Nilai maksimum: $1$ pada $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$
• Nilai minimum: $-1$ pada $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

Grafik Fungsi Kosinus

Fungsi $y = \cos x$ memiliki bentuk yang mirip dengan sinus, tetapi bergeser $\frac{\pi}{2}$ ke kiri.

Karakteristik grafik: $y = \cos x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitudo: $1$
• Domain: Semua bilangan real
• Range: $[-1, 1]$
• Titik potong sumbu $x$: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
• Nilai maksimum: $1$ pada $x = 2n\pi$
• Nilai minimum: $-1$ pada $x = \pi + 2n\pi$

Perbandingan Sin dan Cos

Kedua kurva berulang setelah satu putaran penuh dan berbeda pada pergeseran horizontal. Bandingkan puncak dan titik nol kedua kurva itu pada tampilan yang sama.

Grafik Fungsi Tangen

Fungsi $y = \tan x$ berbeda dengan $\sin$ dan $\cos$ karena memiliki asimtot vertikal.

Karakteristik grafik: $y = \tan x$

• Periode: $\pi$ (lebih pendek dari $\sin$ dan $\cos$)
• Amplitudo: Tidak terdefinisi
• Domain: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$
• Range: Semua bilangan real
• Asimtot vertikal: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
• Titik potong sumbu $x$: $x = n\pi$

Transformasi Fungsi Trigonometri

Setiap parameter bekerja pada bagian persamaan yang berbeda, sehingga setiap parameter mengubah satu ciri kurva. Contoh berikut memperlihatkan pengaruhnya pada grafik.

Amplitudo, periode, dan pergeseran fase mengubah kurva dengan cara masing-masing.

Perubahan Amplitudo

Fungsi $y = A \sin x$ mengubah amplitudo menjadi $|A|$.

Perubahan Periode

Fungsi $y = \sin(Bx)$ mengubah periode menjadi $\frac{2\pi}{|B|}$.

Pergeseran Vertikal dan Horizontal

Bentuk umum:

• $A$: Amplitudo
• $B$: Memengaruhi periode ( $\text{periode} = \frac{2\pi}{|B|}$)
• $C$: Pergeseran horizontal (fase)
• $D$: Pergeseran vertikal

Perhatikan pergeseran horizontal dan vertikal dari grafik:

Latihan

Lima soal di bawah ini menerapkan aturan periode, amplitudo, dan pergeseran pada grafik yang kamu sketsa sendiri. Kerjakan setiap soal sebelum membaca kunci jawaban, lalu bandingkan sketsa dan persamaanmu dengan jawaban yang tercatat.

1. Konversikan sudut berikut:

   • $120^\circ$ ke radian
   • $\frac{5\pi}{6}$ radian ke derajat

2. Tentukan periode dan amplitudo dari:

   • $y = 3 \sin(2x)$
   • $y = -2 \cos(\frac{x}{3})$

3. Sketsakan grafik $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$. Tentukan:

   • Amplitudo
   • Periode
   • Pergeseran fase
   • Pergeseran vertikal

4. Jika tinggi air pasang surut dimodelkan dengan $h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5 \text{ meter}$, dengan $t$ dalam jam:

   • Berapa tinggi air maksimum dan minimum?
   • Berapa periode pasang surut?

5. Tentukan persamaan fungsi trigonometri yang memiliki:

   • Amplitudo $3$
   • Periode $\pi$
   • Bergeser $\frac{\pi}{4}$ ke kanan
   • Bergeser $2 \text{ satuan}$ ke atas

Kunci Jawaban

1. Konversi sudut:

   • $120^\circ = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ radian
   • $\frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 150^\circ$

2. Periode dan amplitudo:

   • $y = 3 \sin(2x)$: amplitudo $3$, periode $\frac{2\pi}{2} = \pi$
   • $y = -2 \cos(\frac{x}{3})$: amplitudo $2$, periode $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$

3. Untuk $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$:

   • Amplitudo: $2$
   • Periode: $2\pi$
   • Pergeseran fase: $\frac{\pi}{3}$ ke kiri
   • Pergeseran vertikal: $1 \text{ satuan}$ ke bawah

4. Untuk $h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5$:

   • Tinggi maksimum: $5 + 2 = 7 \text{ meter}$
   • Tinggi minimum: $5 - 2 = 3 \text{ meter}$
   • Periode: $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \text{ jam}$

5. Persamaan yang memenuhi syarat:

   $$y = 3 \sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 2$$

   atau

   $$y = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{2}) + 2$$