# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-dan-pemodelannya/identitas-fungsi-logaritma
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-modeling/logarithmic-function-identity/id.mdx

Pelajari identitas logaritma meliputi rumus perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perubahan basis. Selesaikan persamaan dengan contoh aplikasi nyata.

---

## Pengertian Identitas Logaritma

Identitas logaritma adalah sifat-sifat khusus yang berlaku untuk semua fungsi logaritma. Sifat-sifat ini sangat membantu kita dalam menyederhanakan perhitungan dan menyelesaikan persamaan logaritma yang rumit.

Sebelum membahas identitas logaritma, mari ingat kembali bahwa logaritma adalah kebalikan dari eksponen. Jika $$b^x = a$$, maka $$^b\log a = x$$.

Visible text: Sebelum membahas identitas logaritma, mari ingat kembali bahwa logaritma adalah kebalikan dari eksponen. Jika , maka .

## Identitas Dasar Logaritma

### Identitas Perkalian

```math
^b\log(MN) = {^b\log M} + {^b\log N}
```

Logaritma dari perkalian sama dengan penjumlahan logaritma masing-masing bilangan.

**Contoh:**

```math
^2\log(8 \times 4) = {^2\log 8} + {^2\log 4} = 3 + 2 = 5
```

### Identitas Pembagian

```math
^b\log\left(\frac{M}{N}\right) = {^b\log M} - {^b\log N}
```

Logaritma dari pembagian sama dengan pengurangan logaritma pembilang dengan logaritma penyebut.

**Contoh:**

```math
^3\log\left(\frac{81}{9}\right) = {^3\log 81} - {^3\log 9} = 4 - 2 = 2
```

### Identitas Perpangkatan

```math
^b\log(M^p) = p \cdot {^b\log M}
```

Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikali logaritma bilangan tersebut.

**Contoh:**

```math
^2\log(4^3) = 3 \cdot {^2\log 4} = 3 \times 2 = 6
```

## Identitas Khusus Logaritma

### Perubahan Basis

```math
^b\log M = \frac{^a\log M}{^a\log b}
```

Identitas ini memungkinkan kita mengubah basis logaritma sesuai kebutuhan.

**Contoh:**

```math
^3\log 9 = \frac{^{10}\log 9}{^{10}\log 3} = \frac{0{,}954}{0{,}477} = 2
```

### Identitas Kesamaan

Jika $$^b\log M = {^b\log N}$$, maka $$M = N$$

Visible text: Jika , maka

Dua bilangan yang memiliki nilai logaritma sama (dengan basis sama) pasti merupakan bilangan yang sama.

### Identitas Ketaksamaan

- Jika $$b > 1$$ dan $$^b\log M < {^b\log N}$$, maka $$M < N$$
- Jika $$0 < b < 1$$ dan $$^b\log M < {^b\log N}$$, maka $$M > N$$

Visible text: - Jika dan , maka 
- Jika dan , maka

## Penerapan Identitas Logaritma

### Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan $$^2\log 32 + {^2\log 8} - {^2\log 4}$$

Visible text: Sederhanakan

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
^2\log 32 + {^2\log 8} - {^2\log 4}
```

```math
= {^2\log(32 \times 8)} - {^2\log 4}
```

```math
= {^2\log 256} - {^2\log 4}
```

```math
= {^2\log\left(\frac{256}{4}\right)}
```

```math
= {^2\log 64} = 6
```

### Menyelesaikan Persamaan

Tentukan nilai $$x$$ jika $$^3\log x + {^3\log 9} = {^3\log 81}$$

Visible text: Tentukan nilai jika

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
^3\log x + {^3\log 9} = {^3\log 81}
```

```math
^3\log(x \times 9) = {^3\log 81}
```

```math
x \times 9 = 81
```

```math
x = \frac{81}{9} = 9
```

## Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

### Skala Richter

Kekuatan gempa bumi diukur menggunakan skala Richter yang berbasis logaritma:

```math
R = \log\left(\frac{I}{I_0}\right)
```

Di mana:

- $$R$$ = nilai skala Richter
- $$I$$ = intensitas gempa
- $$I_0$$ = intensitas referensi (tingkat nol)

Visible text: - = nilai skala Richter
- = intensitas gempa
- = intensitas referensi (tingkat nol)

**Contoh:** Gempa bumi yang terjadi di Haiti pada tahun $$2010$$ memiliki intensitas $$10^7\text{ kali}$$ dibandingkan gempa bumi tingkat nol. Berapa skala Richter kekuatan gempa tersebut?

Visible text: **Contoh:** Gempa bumi yang terjadi di Haiti pada tahun memiliki intensitas dibandingkan gempa bumi tingkat nol. Berapa skala Richter kekuatan gempa tersebut?

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
R = \log\left(\frac{I}{I_0}\right)
```

```math
= \log\left(\frac{10^7 I_0}{I_0}\right)
```

```math
= \log(10^7)
```

```math
= 7
```

Jadi, gempa bumi di Haiti pada tahun $$2010$$ tersebut memiliki kekuatan $$7$$ skala Richter.

Visible text: Jadi, gempa bumi di Haiti pada tahun tersebut memiliki kekuatan skala Richter.

### Pengisian Baterai

Waktu pengisian baterai dapat dihitung dengan rumus logaritma:

```math
t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)
```

Di mana:

- $$t$$ = waktu pengisian (dalam menit)
- $$k$$ = konstanta pengisian
- $$C$$ = kapasitas yang diinginkan
- $$C_0$$ = kapasitas maksimum

Visible text: - = waktu pengisian (dalam menit)
- = konstanta pengisian
- = kapasitas yang diinginkan
- = kapasitas maksimum

**Contoh:** Tentukan waktu yang diperlukan untuk mengisi daya baterai yang dayanya kosong menjadi $$90\%$$ penuh. Anggap $$k = 0{,}02$$.

Visible text: **Contoh:** Tentukan waktu yang diperlukan untuk mengisi daya baterai yang dayanya kosong menjadi penuh. Anggap .

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)
```

```math
= -\frac{1}{0{,}02}\ln\left(1 - \frac{0{,}9C_0}{C_0}\right)
```

```math
= -50\ln(1 - 0{,}9)
```

```math
= -50\ln(0{,}1)
```

```math
\approx 115{,}13
```

Jadi, waktu pengisian daya tersebut ialah sekitar $$115 \text{ menit}$$.

Visible text: Jadi, waktu pengisian daya tersebut ialah sekitar .

### Depresiasi Harga Mobil

Fungsi logaritma juga digunakan untuk pemodelan peluruhan/penurunan nilai dengan formula:

```math
H(t) = ce^{kt}
```

dengan $$H(t)$$ adalah nilai pada saat waktu $$t$$.

Visible text: dengan adalah nilai pada saat waktu .

**Contoh:** Pada setiap saat, harga sebuah mobil setelah digunakan tidak sebanding dengan harga saat itu. Jika harga mobil baru adalah $$200 \text{ juta rupiah}$$ dan setelah $$5 \text{ tahun}$$ menjadi $$100 \text{ juta rupiah}$$, tentukan harga mobil setelah $$10 \text{ tahun}$$ digunakan.

Visible text: **Contoh:** Pada setiap saat, harga sebuah mobil setelah digunakan tidak sebanding dengan harga saat itu. Jika harga mobil baru adalah dan setelah menjadi , tentukan harga mobil setelah digunakan.

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
H(0) = 200 \text{ juta, maka} 200 = ce^0 = c
```

```math
H(5) = 100 \text{ juta, maka} 100 = 200e^{5k}
```

```math
e^{5k} = \frac{1}{2} \text{, sehingga } 5k = \ln\left(\frac{1}{2}\right)
```

```math
k = \frac{1}{5}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -0{,}1386
```

Dari hasil tersebut, diperoleh harga mobil setiap saat $$t$$ adalah:

Visible text: Dari hasil tersebut, diperoleh harga mobil setiap saat adalah:

```math
H(t) = 200e^{-0{,}1386t}
```

Jadi, harga mobil setelah $$10 \text{ tahun}$$ digunakan adalah:

Visible text: Jadi, harga mobil setelah digunakan adalah:

```math
H(10) = 200e^{-0{,}1386(10)} = 200e^{-1{,}386} \approx 50 \text{ juta rupiah}
```

## Latihan

**Soal** $$1$$

Visible text: **Soal**

Sederhanakan: $$^5\log 125 + {^5\log 25} - {^5\log 5}$$

Visible text: Sederhanakan:

**Soal** $$2$$

Visible text: **Soal**

Jika $$^2\log x = 3$$ dan $$^2\log y = 5$$, tentukan nilai $$^2\log(xy)$$

Visible text: Jika dan , tentukan nilai

**Soal** $$3$$

Visible text: **Soal**

Tentukan nilai $$x$$ jika $$^4\log(x-1) = {^4\log 16} - {^4\log 2}$$

Visible text: Tentukan nilai jika

### Kunci Jawaban

**Jawaban** $$1$$

Visible text: **Jawaban**

Component: MathContainer
Children:

```math
^5\log 125 + {^5\log 25} - {^5\log 5}
```

```math
= 3 + 2 - 1 = 4
```

**Jawaban** $$2$$

Visible text: **Jawaban**

Component: MathContainer
Children:

```math
^2\log(xy) = {^2\log x} + {^2\log y}
```

```math
= 3 + 5 = 8
```

**Jawaban** $$3$$

Visible text: **Jawaban**

Component: MathContainer
Children:

```math
^4\log(x-1) = {^4\log 16} - {^4\log 2}
```

```math
^4\log(x-1) = {^4\log\left(\frac{16}{2}\right)}
```

```math
^4\log(x-1) = {^4\log 8}
```

```math
x - 1 = 8
```

```math
x = 9
```