Identitas Trigonometri

Persamaan yang Benar untuk Semua Sudut dalam Domainnya

Beberapa persamaan benar untuk setiap nilai variabel yang diperbolehkan. Misalnya, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ berlaku untuk semua nilai $a$ dan $b$. Persamaan seperti ini disebut identitas.

Dalam trigonometri, persamaan yang benar untuk setiap sudut dalam domain persamaan disebut identitas trigonometri. Identitas digunakan untuk menulis ulang ekspresi, membuktikan bentuk yang setara, dan menyelesaikan persamaan tanpa mengubah nilai ekspresi.

Identitas Trigonometri Dasar

Setiap identitas berlaku untuk setiap sudut di dalam domainnya, sehingga kamu boleh mengganti satu ruasnya dengan ruas yang lain di mana pun ekspresi itu muncul. Semuanya berasal dari lingkaran satuan, dan masing-masing mengubah ekspresi yang sulit menjadi lebih sederhana.

Identitas Pythagoras

Perhatikan lingkaran satuan dengan titik $P(x, y)$ yang membentuk sudut $\theta$ dengan sumbu $x$ positif.

Pada lingkaran satuan:

• Jari-jari: $r = 1$
• Koordinat $x$ adalah $\cos \theta$
• Koordinat $y$ adalah $\sin \theta$

Menggunakan teorema Pythagoras untuk titik $P$:

Substitusi nilai $x$ dan $y$:

Atau dapat ditulis:

Persamaan ini disebut identitas Pythagoras.

Bentuk Lain Identitas Pythagoras:

Dari identitas dasar di atas, kita dapat menurunkan dua bentuk lain:

Bentuk kedua: Bagi kedua ruas dengan $\cos^2 \theta$ (untuk $\cos \theta \neq 0$)

Bentuk ketiga: Bagi kedua ruas dengan $\sin^2 \theta$ (untuk $\sin \theta \neq 0$)

Identitas Kebalikan

Setiap fungsi trigonometri memiliki kebalikannya. Hubungan ini membentuk identitas kebalikan:

Secara setara:

Setiap identitas kebalikan berlaku pada nilai sudut yang membuat kedua ruasnya terdefinisi.

Identitas Hasil Bagi

Identitas hasil bagi menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus:

Kedua identitas hasil bagi tersebut langsung mengikuti definisi fungsi trigonometri pada lingkaran satuan.

Identitas Fungsi Genap dan Ganjil

Ketika sudut bernilai negatif, fungsi trigonometri memiliki sifat khusus:

Fungsi genap (simetri terhadap sumbu $y$):

Fungsi ganjil (simetri terhadap titik asal):

Menggunakan Identitas dalam Pembuktian

Pembuktian dimulai dari satu ruas persamaan, lalu ruas itu diubah memakai identitas yang sudah dikenal sampai sama dengan ruas lainnya. Tuliskan setiap langkah agar identitas yang dipakai tetap terlihat.

Lihat bagaimana identitas trigonometri digunakan untuk membuktikan persamaan lain.

Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan $\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta$

Penyelesaian:

Gunakan identitas Pythagoras:

Membuktikan Identitas

Buktikan bahwa $\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \sec \theta$

Penyelesaian:

Kita mulai dari ruas kiri:

Gunakan $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$:

Ruas kiri telah berubah menjadi ruas kanan, sehingga identitas berlaku pada domain bersama kedua ruas.

Menentukan Nilai Fungsi Trigonometri

Satu nilai fungsi yang diketahui dapat menentukan nilai lainnya jika kuadran sudutnya juga diketahui. Contoh berikut memilih identitas yang langsung memberi nilai yang dicari.

Identitas trigonometri dapat menentukan nilai trigonometri lainnya dari satu nilai yang diketahui, bersama informasi kuadran atau tanda sudutnya.

Aplikasi Identitas

Jika $\sin \theta = \frac{3}{5}$ dan $90^\circ < \theta < 180^\circ$ (kuadran II), tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya.

Penyelesaian:

Gunakan identitas Pythagoras untuk mencari $\cos \theta$:

Karena $\theta$ di kuadran II, maka $\cos \theta < 0$. Jadi, $\cos \theta = -\frac{4}{5}$

Selanjutnya, hitung fungsi trigonometri lainnya:

Latihan

Setiap soal meminta penyederhanaan bentuk atau pembuktian identitas. Ubah setiap fungsi menjadi sinus dan kosinus lebih dulu, lalu sederhanakan.

1. Sederhanakan ekspresi $\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta}$

2. Buktikan identitas $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$

3. Jika $\cos \theta = \frac{5}{13}$ dan $270^\circ < \theta < 360^\circ$, tentukan nilai semua fungsi trigonometri.

4. Sederhanakan $\sin^4 \theta - \cos^4 \theta$

5. Jika $\tan \theta = \frac{4}{3}$ dan $\sin \theta < 0$, tentukan nilai $\sin \theta$ dan $\cos \theta$.

Kunci Jawaban

1. Mari sederhanakan langkah demi langkah:

   $$\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta}{\sin \theta}$$

   $$= \frac{\sin \theta}{\sin \theta} = 1$$

   Hasil ini berlaku pada domain ekspresi semula, yaitu saat $\sin\theta \neq 0$ dan $\cos\theta \neq 0$.

2. Untuk membuktikan identitas, kita akan mengubah ruas kiri:

   $$\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \cdot \frac{1 - \cos \theta}{1 - \cos \theta}$$

   $$= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)}$$

   $$= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{1 - \cos^2 \theta}$$

   $$= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{\sin^2 \theta}$$

   $$= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

   Ini membuktikan kesamaan pada setiap sudut yang membuat kedua ruas semula terdefinisi.

3. Diketahui $\cos \theta = \frac{5}{13}$ di kuadran IV.

   Mencari $\sin \theta$:

   $$\begin{aligned} \sin^2 \theta &= 1 - \cos^2 \theta \\ &= 1 - \frac{25}{169} \\ &= \frac{144}{169} \end{aligned}$$

   Nilainya negatif di kuadran IV:

   $$\sin\theta=-\frac{12}{13}$$

   Fungsi trigonometri lainnya:

   $$\tan \theta = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}$$

   $$\csc \theta = -\frac{13}{12}$$

   $$\sec \theta = \frac{13}{5}$$

   $$\cot \theta = -\frac{5}{12}$$

4. Gunakan pemfaktoran selisih kuadrat:

   $$\begin{aligned} &\sin^4\theta-\cos^4\theta \\ &=(\sin^2\theta)^2-(\cos^2\theta)^2 \end{aligned}$$

   $$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)$$

   $$= 1 \cdot (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)$$

   $$= \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$$

5. Diketahui $\tan \theta = \frac{4}{3}$ dan $\sin \theta < 0$.

   Karena $\tan \theta > 0$ dan $\sin \theta < 0$, maka $\cos \theta < 0$ (kuadran III).

   Gunakan identitas $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$:

   $$1 + \frac{16}{9} = \sec^2 \theta$$

   $$\sec^2 \theta = \frac{25}{9}$$

   Nilainya negatif di kuadran III:

   $$\sec\theta=-\frac53$$

   $$\cos \theta = -\frac{3}{5}$$

   Untuk $\sin \theta$:

   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

   $$\frac{4}{3} = \frac{\sin \theta}{-3/5}$$

   $$\sin \theta = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}$$