Mengenal Identitas Trigonometri
Pernahkah kalian memperhatikan bahwa beberapa persamaan matematika selalu benar untuk setiap nilai variabelnya? Misalnya, selalu benar untuk sembarang nilai dan . Persamaan seperti ini disebut identitas.
For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Pernahkah kalian memperhatikan bahwa beberapa persamaan matematika selalu benar untuk setiap nilai variabelnya? Misalnya, selalu benar untuk sembarang nilai dan . Persamaan seperti ini disebut identitas.
Dalam trigonometri, kita juga memiliki persamaan-persamaan yang selalu benar untuk setiap nilai sudutnya. Inilah yang disebut identitas trigonometri. Identitas ini sangat berguna untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri dan menyelesaikan persamaan.
Mari kita mulai dengan identitas paling fundamental. Perhatikan lingkaran satuan dengan titik yang membentuk sudut dengan sumbu positif.
Pada lingkaran satuan:
Menggunakan teorema Pythagoras untuk titik :
Substitusi nilai dan :
Atau dapat ditulis:
Inilah identitas Pythagoras, identitas paling mendasar dalam trigonometri.
Bentuk Lain Identitas Pythagoras:
Dari identitas dasar di atas, kita dapat menurunkan dua bentuk lain:
Bentuk kedua: Bagi kedua ruas dengan (untuk )
Bentuk ketiga: Bagi kedua ruas dengan (untuk )
Setiap fungsi trigonometri memiliki kebalikannya. Hubungan ini membentuk identitas kebalikan:
Atau dalam bentuk sebaliknya:
Identitas hasil bagi menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus:
Kedua identitas ini dapat dibuktikan langsung dari definisi fungsi trigonometri pada lingkaran satuan.
Ketika sudut bernilai negatif, fungsi trigonometri memiliki sifat khusus:
Fungsi genap (simetri terhadap sumbu ):
Fungsi ganjil (simetri terhadap titik asal):
Mari kita lihat bagaimana identitas trigonometri digunakan untuk membuktikan persamaan lain.
Sederhanakan
Penyelesaian:
Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Kita mulai dari ruas kiri:
Terbukti bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Identitas trigonometri sangat berguna untuk menentukan nilai semua fungsi trigonometri jika diketahui salah satunya.
Jika dan (kuadran II), tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya.
Penyelesaian:
Gunakan identitas Pythagoras untuk mencari :
Karena di kuadran II, maka . Jadi,
Selanjutnya, hitung fungsi trigonometri lainnya:
Sederhanakan ekspresi
Buktikan identitas
Jika dan , tentukan nilai semua fungsi trigonometri.
Sederhanakan
Jika dan , tentukan nilai dan .
Mari sederhanakan langkah demi langkah:
Untuk membuktikan identitas, kita akan mengubah ruas kiri:
Diketahui di kuadran IV.
Mencari :
Gunakan pemfaktoran selisih kuadrat:
Diketahui dan .
Karena dan , maka (kuadran III).
Fungsi trigonometri lainnya:
Gunakan identitas :
Untuk :