# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-dan-pemodelannya/pemodelan-fungsi-piecewise
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-modeling/piecewise-function-modeling/id.mdx
Pelajari cara membuat model fungsi piecewise dari batas interval, tarif bertingkat, gerak bertahap, dan titik sambung.
---
## Kapan Memakai Fungsi Piecewise?
Fungsi piecewise (fungsi sepotong-sepotong) dipakai ketika satu situasi tidak cukup dijelaskan oleh satu rumus. Domainnya dibagi menjadi beberapa interval, lalu setiap interval memakai aturan sendiri.
Misalnya, biaya listrik bisa murah untuk pemakaian awal, lalu lebih mahal setelah melewati batas tertentu. Batas seperti ini menjadi tanda bahwa modelnya perlu ditulis per potongan.
### Definisi Matematika
Fungsi piecewise dapat ditulis dalam bentuk:
```math
f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{jika } x \in D_1 \\ f_2(x), & \text{jika } x \in D_2 \\ f_3(x), & \text{jika } x \in D_3 \\ \vdots \\ f_n(x), & \text{jika } x \in D_n \end{cases}
```
dengan $$D_1, D_2, D_3, \ldots, D_n$$ adalah interval-interval yang membentuk partisi dari domain fungsi.
Visible text: dengan adalah interval-interval yang membentuk partisi dari domain fungsi.
Saat membaca atau membuat fungsi piecewise, perhatikan tiga hal berikut:
- Rumus pada setiap baris.
- Syarat interval yang menentukan kapan rumus itu dipakai.
- Nilai fungsi di titik sambung, terutama ketika batas interval memakai $$\lt$$, $$\leq$$, $$\gt$$, atau $$\geq$$.
Visible text: - Rumus pada setiap baris.
- Syarat interval yang menentukan kapan rumus itu dipakai.
- Nilai fungsi di titik sambung, terutama ketika batas interval memakai , , , atau .
## Bentuk Potongan yang Sering Dipakai
### Potongan Linear
Fungsi piecewise linear memakai fungsi linear pada setiap interval. Bentuk ini sering muncul ketika perubahan berlangsung dengan laju tetap, tetapi lajunya berubah setelah melewati titik tertentu.
Component: LineEquation
Props:
- title: Fungsi Piecewise Linear
- description: Contoh fungsi piecewise linear dengan tiga potongan berbeda.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = 2x + 3", at: 10, offset: [-1.5, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: -x + 3, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = -x + 3", at: 10, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.1;
return { x, y: 0.5 * x, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = 0.5x", at: 10, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Fungsi di atas dapat ditulis sebagai:
```math
f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{jika } -2 \leq x < 0 \\ -x + 3, & \text{jika } 0 \leq x < 2 \\ 0.5x, & \text{jika } x \geq 2 \end{cases}
```
Perhatikan bahwa tiga baris pada rumus itu bukan tiga fungsi yang terpisah. Ketiganya bekerja sebagai satu fungsi, tetapi pilihan rumusnya bergantung pada nilai $$x$$.
Visible text: Perhatikan bahwa tiga baris pada rumus itu bukan tiga fungsi yang terpisah. Ketiganya bekerja sebagai satu fungsi, tetapi pilihan rumusnya bergantung pada nilai .
### Potongan Kuadratik
Fungsi piecewise juga bisa memakai potongan kuadratik. Ini berguna ketika salah satu bagian model berubah melengkung, bukan mengikuti garis lurus.
Component: LineEquation
Props:
- title: Fungsi Piecewise Kombinasi
- description: Kombinasi fungsi kuadratik dan linear dalam satu fungsi piecewise.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = -3 + i * 0.1;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = x²", at: 15, offset: [-1, -1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x, z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = 2x", at: 15, offset: [1, -1, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
## Titik Sambung dan Kontinuitas
### Sambungan Tanpa Lompatan
Fungsi piecewise kontinu jika grafiknya tidak melompat di titik sambung. Nilai dari kiri, nilai dari kanan, dan nilai fungsi di titik itu harus sama.
Syarat kontinuitas di titik $$x = c$$:
Visible text: Syarat kontinuitas di titik :
```math
\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)
```
Contoh fungsi piecewise kontinu:
```math
f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{jika } x < 2 \\ 3, & \text{jika } x = 2 \\ 5 - x, & \text{jika } x > 2 \end{cases}
```
Untuk kontinu di $$x = 2$$:
Visible text: Untuk kontinu di :
- $$\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$$
- $$\lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3$$
- $$f(2) = 3$$
Visible text: -
-
-
### Sambungan dengan Lompatan
Fungsi piecewise diskontinu memiliki "lompatan" atau "lubang" pada titik-titik tertentu.
Component: LineEquation
Props:
- title: Fungsi Piecewise Diskontinu
- description: Contoh fungsi dengan diskontinuitas lompat di $$x = 1$$.
Visible text: Contoh fungsi dengan diskontinuitas lompat di .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: x + 2, z: 0 };
}),
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = x + 2", at: 10, offset: [-1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 1 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x - 3, z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = 2x - 3", at: 10, offset: [1, 1, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
## Pemodelan dengan Fungsi Piecewise
### Tarif Progresif
Banyak situasi nyata dapat dimodelkan dengan fungsi piecewise karena aturannya berubah setelah melewati batas tertentu. Tarif pajak progresif, biaya parkir bertingkat, dan tarif listrik bertingkat adalah contoh yang mudah dilihat.
**Contoh: Tarif Listrik**
Perusahaan listrik menerapkan tarif bertingkat:
- $$0\text{-}50 \text{ kWh}$$: $$\text{Rp }1.000/\text{kWh}$$
- $$51\text{-}100 \text{ kWh}$$: $$\text{Rp }1.500/\text{kWh}$$
- $$>100 \text{ kWh}$$: $$\text{Rp }2.000/\text{kWh}$$
Visible text: - :
- :
- :
Model matematikanya:
```math
C(x) = \begin{cases} 1000x, & \text{jika } 0 \leq x \leq 50 \\ 50000 + 1500(x-50), & \text{jika } 50 < x \leq 100 \\ 125000 + 2000(x-100), & \text{jika } x > 100 \end{cases}
```
Angka $$50.000$$ pada baris kedua berasal dari biaya $$50 \text{ kWh}$$ pertama. Angka $$125.000$$ pada baris ketiga berasal dari biaya sampai $$100 \text{ kWh}$$ pertama. Dengan cara ini, biaya tidak mulai dari nol lagi setiap masuk interval baru.
Visible text: Angka pada baris kedua berasal dari biaya pertama. Angka pada baris ketiga berasal dari biaya sampai pertama. Dengan cara ini, biaya tidak mulai dari nol lagi setiap masuk interval baru.
**Tabel biaya listrik:**
| Pemakaian (kWh) | $$30$$ | $$50$$ | $$75$$ | $$100$$ | $$150$$ |
| --------------- | ------ | ------ | ------ | ------- | ------- |
| Biaya (Rp) | $$30.000$$ | $$50.000$$ | $$87.500$$ | $$125.000$$ | $$225.000$$ |
Visible text: | Pemakaian (kWh) | | | | | |
| --------------- | ------ | ------ | ------ | ------- | ------- |
| Biaya (Rp) | | | | | |
### Kecepatan Bertahap
**Contoh: Perjalanan Multi-Moda**
Seseorang melakukan perjalanan dengan:
- Berjalan kaki: $$5 \text{ km/jam}$$ selama $$0{,}5 \text{ jam}$$
- Naik sepeda: $$15 \text{ km/jam}$$ selama $$1 \text{ jam}$$
- Naik mobil: $$60 \text{ km/jam}$$ selama $$0{,}5 \text{ jam}$$
Visible text: - Berjalan kaki: selama
- Naik sepeda: selama
- Naik mobil: selama
Fungsi jarak terhadap waktu:
```math
s(t) = \begin{cases} 5t, & \text{jika } 0 \leq t \leq 0.5 \\ 2.5 + 15(t-0.5), & \text{jika } 0.5 < t \leq 1.5 \\ 17.5 + 60(t-1.5), & \text{jika } 1.5 < t \leq 2 \end{cases}
```
Konstanta $$2.5$$ dan $$17.5$$ menjaga agar jarak total terus bertambah dari posisi terakhir, bukan kembali ke $$0$$ saat moda transportasi berubah.
Visible text: Konstanta dan menjaga agar jarak total terus bertambah dari posisi terakhir, bukan kembali ke saat moda transportasi berubah.
## Menentukan Persamaan Fungsi Piecewise
Untuk menentukan persamaan fungsi piecewise dari grafik atau situasi:
- Pisahkan domain berdasarkan batas ketika aturan berubah.
- Tentukan rumus untuk setiap interval.
- Periksa titik sambung agar tanda interval dan nilai fungsi tidak saling bertabrakan.
- Tulis semua potongan dalam notasi piecewise.
**Contoh:**
Dari grafik yang menunjukkan:
- Garis dengan kemiringan $$2$$ dari $$x = -2$$ hingga $$x = 0$$
- Garis horizontal $$y = 4$$ dari $$x = 0$$ hingga $$x = 2$$
- Garis dengan kemiringan $$-1$$ dari $$x = 2$$ hingga $$x = 4$$
Visible text: - Garis dengan kemiringan dari hingga
- Garis horizontal dari hingga
- Garis dengan kemiringan dari hingga
Langkah penyelesaiannya bisa diringkas seperti ini:
| Interval | Informasi grafik | Persamaan |
| -------- | ---------------- | --------- |
| $$[-2, 0)$$ | Melalui $$(-2, 0)$$ dengan kemiringan $$2$$ | $$y = 2(x + 2) = 2x + 4$$ |
| $$[0, 2)$$ | Garis horizontal | $$y = 4$$ |
| $$[2, 4]$$ | Melalui $$(2, 4)$$ dengan kemiringan $$-1$$ | $$y = -1(x - 2) + 4 = -x + 6$$ |
Visible text: | Interval | Informasi grafik | Persamaan |
| -------- | ---------------- | --------- |
| | Melalui dengan kemiringan | |
| | Garis horizontal | |
| | Melalui dengan kemiringan | |
Fungsi piecewise:
```math
f(x) = \begin{cases} 2x + 4, & \text{jika } -2 \leq x < 0 \\ 4, & \text{jika } 0 \leq x < 2 \\ -x + 6, & \text{jika } 2 \leq x \leq 4 \end{cases}
```
## Latihan
1. Tentukan nilai $$f(1)$$, $$f(3)$$, dan $$f(5)$$ untuk fungsi:
```math
f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{jika } x < 2 \\ 2x + 1, & \text{jika } 2 \leq x < 4 \\ 9, & \text{jika } x \geq 4 \end{cases}
```
2. Sebuah perusahaan taksi online menerapkan tarif:
Tarif dasar adalah $$\text{Rp }10.000$$ untuk $$2 \text{ km}$$ pertama. Km $$3\text{-}10$$ dikenai $$\text{Rp }4.000/\text{km}$$. Di atas $$10 \text{ km}$$, tarif tambahannya menjadi $$\text{Rp }3.000/\text{km}$$.
Buatlah model fungsi piecewise untuk total biaya!
3. Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di $$x = 1$$:
```math
g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{jika } x < 1 \\ 2, & \text{jika } x = 1 \\ x + 1, & \text{jika } x > 1 \end{cases}
```
4. Sketsa grafik fungsi:
```math
h(x) = \begin{cases} -x + 2, & \text{jika } x < 0 \\ x^2, & \text{jika } 0 \leq x < 2 \\ 4, & \text{jika } x \geq 2 \end{cases}
```
5. Seorang pekerja dibayar dengan sistem:
$$8 \text{ jam}$$ pertama dibayar $$\text{Rp }50.000/\text{jam}$$. Lembur mulai jam ke-$$9$$ dibayar $$\text{Rp }75.000/\text{jam}$$.
Jika maksimal kerja $$12 \text{ jam/hari}$$, buatlah fungsi upah harian!
Visible text: 1. Tentukan nilai , , dan untuk fungsi:
2. Sebuah perusahaan taksi online menerapkan tarif:
Tarif dasar adalah untuk pertama. Km dikenai . Di atas , tarif tambahannya menjadi .
Buatlah model fungsi piecewise untuk total biaya!
3. Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di :
4. Sketsa grafik fungsi:
5. Seorang pekerja dibayar dengan sistem:
pertama dibayar . Lembur mulai jam ke- dibayar .
Jika maksimal kerja , buatlah fungsi upah harian!
### Kunci Jawaban
1. **Menghitung nilai fungsi:**
Untuk $$f(1)$$: karena $$1 < 2$$, gunakan $$f(x) = x^2$$
```math
f(1) = 1^2 = 1
```
Untuk $$f(3)$$: karena $$2 \leq 3 < 4$$, gunakan $$f(x) = 2x + 1$$
```math
f(3) = 2(3) + 1 = 7
```
Untuk $$f(5)$$: karena $$5 \geq 4$$, gunakan $$f(x) = 9$$
```math
f(5) = 9
```
2. **Model tarif taksi:**
Misalkan $$x$$ adalah jarak dalam km, maka:
```math
C(x) = \begin{cases} 10000, & \text{jika } 0 < x \leq 2 \\ 10000 + 4000(x-2), & \text{jika } 2 < x \leq 10 \\ 10000 + 32000 + 3000(x-10), & \text{jika } x > 10 \end{cases}
```
Atau disederhanakan:
```math
C(x) = \begin{cases} 10000, & \text{jika } 0 < x \leq 2 \\ 4000x + 2000, & \text{jika } 2 < x \leq 10 \\ 3000x + 12000, & \text{jika } x > 10 \end{cases}
```
3. **Memeriksa kontinuitas:**
Di $$x = 1$$:
```math
\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) = 3(1) - 1 = 2
```
```math
\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2
```
```math
g(1) = 2
```
Karena $$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) = 2$$, maka fungsi **kontinu** di $$x = 1$$.
4. **Sketsa grafik $$h(x)$$:**
Grafik Fungsi $$h(x)$$
}
description={
<>
Fungsi piecewise dengan tiga bagian: linear menurun, kuadratik, dan
konstan
}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: -x + 2, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = -x + 2", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = x²", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.1;
return { x, y: 4, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = 4", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
/>
5. **Fungsi upah harian:**
Misalkan $$t$$ adalah jam kerja, maka:
```math
U(t) = \begin{cases} 50000t, & \text{jika } 0 < t \leq 8 \\ 400000 + 75000(t-8), & \text{jika } 8 < t \leq 12 \end{cases}
```
Atau disederhanakan:
```math
U(t) = \begin{cases} 50000t, & \text{jika } 0 < t \leq 8 \\ 75000t - 200000, & \text{jika } 8 < t \leq 12 \end{cases}
```
Visible text: 1. **Menghitung nilai fungsi:**
Untuk : karena , gunakan
Untuk : karena , gunakan
Untuk : karena , gunakan
2. **Model tarif taksi:**
Misalkan adalah jarak dalam km, maka:
Atau disederhanakan:
3. **Memeriksa kontinuitas:**
Di :
Karena , maka fungsi **kontinu** di .
4. **Sketsa grafik :**
Grafik Fungsi
}
description={
<>
Fungsi piecewise dengan tiga bagian: linear menurun, kuadratik, dan
konstan
}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: -x + 2, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = -x + 2", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = x²", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.1;
return { x, y: 4, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y = 4", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
/>
5. **Fungsi upah harian:**
Misalkan adalah jam kerja, maka:
Atau disederhanakan: