# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-dan-pemodelannya/pemodelan-fungsi-tangga Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-modeling/step-function-modeling/id.mdx Pelajari pemodelan fungsi tangga dengan aplikasi nyata seperti diskon toko buku, kapasitas lift, dan fungsi lantai/langit-langit. Pelajari grafik sepotong. --- ## Pengertian Fungsi Tangga Fungsi tangga (step function) adalah jenis fungsi matematika yang memiliki nilai konstan pada interval-interval tertentu dan mengalami lompatan mendadak di titik-titik tertentu. Grafik fungsi ini menyerupai tangga, dengan garis horizontal yang menghubungkan titik-titik diskontinuitas. ### Definisi Matematika Fungsi tangga dapat didefinisikan sebagai fungsi sepotong-sepotong (piecewise function) yang berbentuk: ```math f(x) = \begin{cases} c_1, & \text{jika } a_1 \leq x < b_1 \\ c_2, & \text{jika } a_2 \leq x < b_2 \\ c_3, & \text{jika } a_3 \leq x < b_3 \\ \vdots \\ c_n, & \text{jika } a_n \leq x < b_n \end{cases} ``` dengan $$c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n$$ adalah konstanta-konstanta dan $$[a_i, b_i)$$ adalah interval-interval yang tidak saling tumpang tindih. Visible text: dengan adalah konstanta-konstanta dan adalah interval-interval yang tidak saling tumpang tindih. **Karakteristik fungsi tangga:** - Nilai konstan pada setiap interval - Diskontinuitas lompat di titik-titik batas interval - Grafik berbentuk seperti tangga - Termasuk dalam kategori fungsi sepotong-sepotong ## Jenis-jenis Fungsi Tangga ### Fungsi Lantai (Floor Function) Fungsi lantai, dilambangkan dengan $$\lfloor x \rfloor$$, memberikan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $$x$$. Visible text: Fungsi lantai, dilambangkan dengan , memberikan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan . ```math \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\} ``` Supaya lebih mudah dipahami, mari kita lihat contoh berikut: Component: LineEquation Props: - title: Fungsi Lantai $$f(x) = \lfloor x \rfloor$$ Visible text: Fungsi Lantai - description: Grafik menunjukkan fungsi lantai yang memberikan nilai bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. - data: [ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: Math.floor(x), z: 0 }; }), color: getColor("PURPLE"), showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "f(x) = ⌊x⌋", at: 30, offset: [1, -1, 0] }], }, ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false **Tabel nilai fungsi lantai:** | $$x$$ | $$-2.5$$ | $$-1.7$$ | $$-1$$ | $$-0.3$$ | $$0$$ | $$0.8$$ | $$1$$ | $$1.9$$ | $$2.4$$ | | --------------------------------------- | ---- | ---- | --- | ---- | --- | --- | --- | --- | --- | | $$\lfloor x \rfloor$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | $$2$$ | Visible text: | | | | | | | | | | | | --------------------------------------- | ---- | ---- | --- | ---- | --- | --- | --- | --- | --- | | | | | | | | | | | | ### Fungsi Langit-langit (Ceiling Function) Fungsi langit-langit, dilambangkan dengan $$\lceil x \rceil$$, memberikan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan $$x$$. Visible text: Fungsi langit-langit, dilambangkan dengan , memberikan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan . ```math \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \geq x\} ``` Kita lihat contoh berikut: Component: LineEquation Props: - title: Fungsi Langit-langit $$f(x) = \lceil x \rceil$$ Visible text: Fungsi Langit-langit - description: Grafik menunjukkan fungsi langit-langit yang memberikan nilai bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari x. - data: [ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: Math.ceil(x), z: 0 }; }), color: getColor("ORANGE"), showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "f(x) = ⌈x⌉", at: 30, offset: [1, -1, 0] }], }, ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false ### Fungsi Unit Step (Heaviside) Fungsi unit step atau fungsi Heaviside, dilambangkan dengan $$H(x)$$ atau $$u(x)$$, didefinisikan sebagai: Visible text: Fungsi unit step atau fungsi Heaviside, dilambangkan dengan atau , didefinisikan sebagai: ```math H(x) = \begin{cases} 0, & \text{jika } x < 0 \\ 1, & \text{jika } x \geq 0 \end{cases} ``` Berbeda dengan fungsi lantai dan langit-langit, fungsi unit step memiliki nilai $$0$$ untuk $$x < 0$$ dan $$1$$ untuk $$x \geq 0$$. Visible text: Berbeda dengan fungsi lantai dan langit-langit, fungsi unit step memiliki nilai untuk dan untuk . Component: LineEquation Props: - title: Fungsi Unit Step $$H(x)$$ Visible text: Fungsi Unit Step - description: Grafik menunjukkan fungsi unit step yang melompat dari $$0$$ ke{" "} $$1$$ di titik $$x = 0$$. Visible text: Grafik menunjukkan fungsi unit step yang melompat dari ke{" "} di titik . - data: [ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i - 10; return { x, y: x >= 0 ? 1 : 0, z: 0 }; }), color: getColor("TEAL"), showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "H(x)", at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }], }, ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false ## Sifat-sifat Fungsi Tangga **Sifat umum:** 1. Domain: $$\mathbb{R}$$ (biasanya) 2. Range: Himpunan nilai diskrit 3. Kontinuitas: diskontinuitas lompat di titik-titik tertentu Visible text: 1. Domain: (biasanya) 2. Range: Himpunan nilai diskrit 3. Kontinuitas: diskontinuitas lompat di titik-titik tertentu **Sifat khusus fungsi lantai dan langit-langit:** 1. $$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$$ 2. $$\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil$$ 3. $$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1 \text{ jika} x \notin \mathbb{Z}$$ 4. $$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor \text{ jika} x \in \mathbb{Z}$$ Visible text: 1. 2. 3. 4. **Tabel perbandingan fungsi lantai dan langit-langit:** | $$x$$ | $$\lfloor x \rfloor$$ | $$\lceil x \rceil$$ | Selisih | | ---- | --------------------------------------- | ------------------------------------- | ------- | | $$-2.3$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$1$$ | | $$-1$$ | $$-1$$ | $$-1$$ | $$0$$ | | $$0.7$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | | $$2$$ | $$2$$ | $$2$$ | $$0$$ | | $$3.8$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$1$$ | Visible text: | | | | Selisih | | ---- | --------------------------------------- | ------------------------------------- | ------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ## Transformasi Fungsi Tangga ### Translasi Vertikal Fungsi $$f(x) = \lfloor x \rfloor + k$$ menggeser grafik fungsi lantai ke atas (jika $$k > 0$$) atau ke bawah (jika $$k < 0$$). Visible text: Fungsi menggeser grafik fungsi lantai ke atas (jika ) atau ke bawah (jika ). Component: LineEquation Props: - title: Translasi Vertikal Fungsi Lantai - description: Perbandingan $$f(x) = \lfloor x \rfloor$$ dengan{" "} $$g(x) = \lfloor x \rfloor + 2$$ dan{" "} $$h(x) = \lfloor x \rfloor - 1$$. Visible text: Perbandingan dengan{" "} dan{" "} . - data: [ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: Math.floor(x), z: 0 }; }), color: getColor("PURPLE"), showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "f(x) = ⌊x⌋", at: 30, offset: [0, 0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: Math.floor(x) + 2, z: 0 }; }), color: getColor("CYAN"), showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "g(x) = ⌊x⌋ + 2", at: 30, offset: [0, 0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: Math.floor(x) - 1, z: 0 }; }), color: getColor("ROSE"), showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "h(x) = ⌊x⌋ - 1", at: 30, offset: [2, 0.5, 0] }], }, ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false ### Translasi Horizontal Fungsi $$f(x) = \lfloor x - h \rfloor$$ menggeser grafik ke kanan (jika $$h > 0$$) atau ke kiri (jika $$h < 0$$). Visible text: Fungsi menggeser grafik ke kanan (jika ) atau ke kiri (jika ). ## Latihan 1. Tentukan nilai dari $$\lfloor 3.7 \rfloor + \lceil -2.3 \rceil$$ 2. Sebuah toko buku memberikan diskon berdasarkan jumlah pembelian: Visible text: 1. Tentukan nilai dari 2. Sebuah toko buku memberikan diskon berdasarkan jumlah pembelian: - $$1\text{-}5$$ buku: tidak ada diskon - $$6\text{-}10$$ buku: diskon $$10\%$$ - $$11\text{-}20$$ buku: diskon $$15\%$$ - $$> 20$$ buku: diskon $$20\%$$ Jika harga per buku $$\text{Rp}50.000$$, buatlah fungsi yang menyatakan total harga setelah diskon! Visible text: - buku: tidak ada diskon - buku: diskon - buku: diskon - buku: diskon Jika harga per buku , buatlah fungsi yang menyatakan total harga setelah diskon! 3. Grafik fungsi $$f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$$ untuk $$-3 \leq x \leq 3$$ 4. Selesaikan persamaan $$\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$$ 5. Sebuah lift dapat menampung maksimal $$8 \text{ orang}$$. Jika ada $$n \text{ orang}$$ yang ingin naik lift, berapa kali lift harus beroperasi? Visible text: 3. Grafik fungsi untuk 4. Selesaikan persamaan 5. Sebuah lift dapat menampung maksimal . Jika ada yang ingin naik lift, berapa kali lift harus beroperasi? ### Kunci Jawaban 1. **Menghitung nilai fungsi lantai dan langit-langit:** ```math \lfloor 3.7 \rfloor = 3 \text{ (bilangan bulat terbesar} \leq 3.7\text{)} ``` ```math \lceil -2.3 \rceil = -2 \text{ (bilangan bulat terkecil} \geq -2.3\text{)} ``` ```math \lfloor 3.7 \rfloor + \lceil -2.3 \rceil = 3 + (-2) = 1 ``` 2. **Model fungsi diskon toko buku:** Misalkan $$n$$ adalah jumlah buku yang dibeli, maka total harga setelah diskon adalah: ```math H(n) = \begin{cases} 50000n, & \text{jika } 1 \leq n \leq 5 \\ 50000n \times 0.9, & \text{jika } 6 \leq n \leq 10 \\ 50000n \times 0.85, & \text{jika } 11 \leq n \leq 20 \\ 50000n \times 0.8, & \text{jika } n > 20 \end{cases} ``` 3. **Grafik fungsi $$f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$$:** Untuk setiap interval: - $$-3 \leq x < -2: f(x) = 2(-3) - 1 = -7$$ - $$-2 \leq x < -1: f(x) = 2(-2) - 1 = -5$$ - $$-1 \leq x < 0: f(x) = 2(-1) - 1 = -3$$ - $$0 \leq x < 1: f(x) = 2(0) - 1 = -1$$ - $$1 \leq x < 2: f(x) = 2(1) - 1 = 1$$ - $$2 \leq x \leq 3: f(x) = 2(2) - 1 = 3$$ Jika kita buat grafiknya, kira-kira akan terlihat seperti berikut: Grafik $$f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$$ } description={ <> Grafik menunjukkan transformasi fungsi lantai dengan faktor skala $$2$$ dan translasi vertikal $$-1$$. } data={[ { points: Array.from({ length: 25 }, (_, i) => { const x = (i - 12) * 0.25; return { x, y: 2 * Math.floor(x) - 1, z: 0 }; }), color: getColor("VIOLET"), showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "f(x) = 2⌊x⌋ - 1", at: 18, offset: [1, 1, 0] }], }, ]} cameraPosition={[0, 0, 10]} showZAxis={false} /> 4. **Menyelesaikan persamaan $$\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$$:** ```math 5 \leq 2x + 1 < 6 ``` ```math 4 \leq 2x < 5 ``` ```math 2 \leq x < 2.5 ``` Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $$x \in [2, 2.5)$$. 5. **Menghitung jumlah operasi lift:** Jika ada $$n \text{ orang}$$ dan lift dapat menampung maksimal $$8 \text{ orang}$$, maka jumlah operasi lift yang diperlukan adalah: ```math f(n) = \lceil \frac{n}{8} \rceil ``` Fungsi langit-langit digunakan karena jika ada sisa orang (kurang dari $$8$$), tetap diperlukan satu operasi lift tambahan. Visible text: 1. **Menghitung nilai fungsi lantai dan langit-langit:** 2. **Model fungsi diskon toko buku:** Misalkan adalah jumlah buku yang dibeli, maka total harga setelah diskon adalah: 3. **Grafik fungsi :** Untuk setiap interval: - - - - - - Jika kita buat grafiknya, kira-kira akan terlihat seperti berikut: Grafik } description={ <> Grafik menunjukkan transformasi fungsi lantai dengan faktor skala dan translasi vertikal . } data={[ { points: Array.from({ length: 25 }, (_, i) => { const x = (i - 12) * 0.25; return { x, y: 2 * Math.floor(x) - 1, z: 0 }; }), color: getColor("VIOLET"), showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "f(x) = 2⌊x⌋ - 1", at: 18, offset: [1, 1, 0] }], }, ]} cameraPosition={[0, 0, 10]} showZAxis={false} /> 4. **Menyelesaikan persamaan :** Jadi himpunan penyelesaiannya adalah . 5. **Menghitung jumlah operasi lift:** Jika ada dan lift dapat menampung maksimal , maka jumlah operasi lift yang diperlukan adalah: Fungsi langit-langit digunakan karena jika ada sisa orang (kurang dari ), tetap diperlukan satu operasi lift tambahan.