# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers/fungsi-injektif-surjektif-dan-bijektif Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/injective-surjective-bijective-function/id.mdx Pelajari jenis fungsi satu-ke-satu, pada, dan bijektif dengan contoh jelas. Pahami sifat pemetaan dan syarat fungsi invers. --- ## Mengenal Sifat-sifat Pemetaan Fungsi Dalam matematika, fungsi memetakan elemen dari satu himpunan (domain) ke himpunan lain (kodomain). Cara pemetaan ini bisa diklasifikasikan menjadi beberapa jenis berdasarkan bagaimana elemen domain dan kodomain dihubungkan. Tiga jenis utama adalah fungsi injektif, surjektif, dan bijektif. Misalkan kita memiliki fungsi $$f: X \to Y$$. Visible text: Misalkan kita memiliki fungsi . ## Fungsi Injektif (Satu-ke-Satu) Sebuah fungsi disebut **injektif** atau **satu-ke-satu** jika setiap elemen yang berbeda di domain $$X$$ dipetakan ke elemen yang berbeda pula di kodomain $$Y$$. Dengan kata lain, tidak boleh ada dua elemen domain berbeda yang memiliki hasil pemetaan (bayangan) yang sama di kodomain. Visible text: Sebuah fungsi disebut **injektif** atau **satu-ke-satu** jika setiap elemen yang berbeda di domain dipetakan ke elemen yang berbeda pula di kodomain . Dengan kata lain, tidak boleh ada dua elemen domain berbeda yang memiliki hasil pemetaan (bayangan) yang sama di kodomain. **Definisi Formal:** Fungsi $$f: X \to Y$$ adalah injektif jika untuk setiap $$x_1, x_2 \in X$$, berlaku: Visible text: Fungsi adalah injektif jika untuk setiap , berlaku: ```math f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 ``` Atau, secara ekuivalen (menggunakan kontraposisi): ```math x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) ``` Bayangkan setiap siswa dalam satu sekolah (domain) harus memiliki nomor induk siswa (kodomain) yang unik. Tidak boleh ada dua siswa yang nomor induknya sama. Fungsi pemetaan dari siswa ke nomor induk ini adalah fungsi injektif. **Contoh:** - Fungsi $$f(x) = 2x$$ untuk $$x \in \mathbb{R}$$ adalah injektif, karena setiap nilai $$x$$ yang berbeda akan menghasilkan $$2x$$ yang berbeda. - Fungsi $$g(x) = x^2$$ untuk $$x \in \mathbb{R}$$ **bukan** injektif, karena $$g(2) = 4$$ dan $$g(-2) = 4$$. Ada dua input berbeda ($$2$$ dan $$-2$$) yang menghasilkan output yang sama ($$4$$). Visible text: - Fungsi untuk adalah injektif, karena setiap nilai yang berbeda akan menghasilkan yang berbeda. - Fungsi untuk **bukan** injektif, karena dan . Ada dua input berbeda ( dan ) yang menghasilkan output yang sama (). ## Fungsi Surjektif sebagai Fungsi Pada atau Onto Sebuah fungsi disebut **surjektif** atau **pada** (_onto_) jika setiap elemen di kodomain $$Y$$ merupakan hasil pemetaan (bayangan) dari **setidaknya satu** elemen di domain $$X$$. Dengan kata lain, tidak ada elemen di kodomain yang "tidak terjangkau" atau tidak memiliki pasangan di domain. Range (daerah hasil) dari fungsi surjektif sama dengan kodomainnya. Visible text: Sebuah fungsi disebut **surjektif** atau **pada** (_onto_) jika setiap elemen di kodomain merupakan hasil pemetaan (bayangan) dari **setidaknya satu** elemen di domain . Dengan kata lain, tidak ada elemen di kodomain yang "tidak terjangkau" atau tidak memiliki pasangan di domain. Range (daerah hasil) dari fungsi surjektif sama dengan kodomainnya. **Definisi Formal:** Fungsi $$f: X \to Y$$ adalah surjektif jika untuk setiap $$y \in Y$$, terdapat **setidaknya satu** $$x \in X$$ sehingga: Visible text: Fungsi adalah surjektif jika untuk setiap , terdapat **setidaknya satu** sehingga: ```math f(x) = y ``` Bayangkan setiap kursi di bioskop (kodomain) harus terisi oleh setidaknya satu penonton (domain) saat pemutaran film dimulai. Fungsi pemetaan dari penonton ke kursi adalah surjektif jika semua kursi terisi. **Contoh:** - Fungsi $$f(x) = x^3$$ dari $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ adalah surjektif, karena setiap bilangan real $$y$$ di kodomain adalah hasil pangkat tiga dari suatu bilangan real $$x$$ (yaitu $$x = \sqrt[3]{y}$$). - Fungsi $$g(x) = x^2$$ dari $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ **bukan** surjektif, karena tidak ada bilangan real $$x$$ yang menghasilkan $$g(x) = -1$$ (atau bilangan negatif lainnya). Elemen negatif di kodomain tidak memiliki pasangan di domain. - Namun, jika kita batasi kodomainnya menjadi $$g(x) = x^2$$ dari $$\mathbb{R} \to [0, \infty)$$ (bilangan real non-negatif), maka fungsi ini menjadi surjektif. Visible text: - Fungsi dari adalah surjektif, karena setiap bilangan real di kodomain adalah hasil pangkat tiga dari suatu bilangan real (yaitu ). - Fungsi dari **bukan** surjektif, karena tidak ada bilangan real yang menghasilkan (atau bilangan negatif lainnya). Elemen negatif di kodomain tidak memiliki pasangan di domain. - Namun, jika kita batasi kodomainnya menjadi dari (bilangan real non-negatif), maka fungsi ini menjadi surjektif. ## Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-ke-Satu) Sebuah fungsi disebut **bijektif** jika ia bersifat **injektif dan surjektif sekaligus**. Artinya, setiap elemen di domain dipetakan ke elemen yang unik di kodomain, dan setiap elemen di kodomain memiliki tepat satu pasangan elemen di domain. Fungsi bijektif menciptakan **korespondensi satu-ke-satu** yang sempurna antara elemen domain dan kodomain. **Definisi Formal:** Fungsi $$f: X \to Y$$ adalah bijektif jika untuk setiap $$y \in Y$$, terdapat **tepat satu** $$x \in X$$ sehingga: Visible text: Fungsi adalah bijektif jika untuk setiap , terdapat **tepat satu** sehingga: ```math f(x) = y ``` Bayangkan dua kelompok dengan jumlah anggota yang sama. Setiap anggota kelompok pertama dipasangkan dengan tepat satu anggota kelompok kedua, dan setiap anggota kelompok kedua juga memiliki tepat satu pasangan. Pemetaan seperti ini adalah bijektif. **Penting:** Fungsi hanya bisa memiliki **fungsi invers** jika fungsi tersebut bersifat **bijektif**. **Contoh:** - Fungsi $$f(x) = 2x$$ dari $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ adalah bijektif (injektif dan surjektif). - Fungsi $$f(x) = x^3$$ dari $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ adalah bijektif (injektif dan surjektif). - Fungsi $$g(x) = x^2$$ dari $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ bukan bijektif (tidak injektif dan tidak surjektif). - Fungsi $$h(x) = e^x$$ dari $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ bukan bijektif (injektif tapi tidak surjektif). - Fungsi $$k(x) = x^3 - x$$ dari $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ bukan bijektif (surjektif tapi tidak injektif). Visible text: - Fungsi dari adalah bijektif (injektif dan surjektif). - Fungsi dari adalah bijektif (injektif dan surjektif). - Fungsi dari bukan bijektif (tidak injektif dan tidak surjektif). - Fungsi dari bukan bijektif (injektif tapi tidak surjektif). - Fungsi dari bukan bijektif (surjektif tapi tidak injektif).