# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers/fungsi-invers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/inverse-function/id.mdx

Pelajari fungsi invers bertahap: definisi, syarat bijektif, mencari rumus, dan refleksi grafik. Pelajari f⁻¹(x) dengan contoh jelas.

---

## Memahami Fungsi Invers

Kalian pasti sering menerjemahkan kata atau kalimat dari Bahasa Inggris ke Bahasa Indonesia, misalnya saat menonton film atau membaca berita. Proses menerjemahkan ini mirip dengan cara kerja sebuah fungsi: ada masukan (kata Bahasa Inggris) dan keluaran (kata Bahasa Indonesia).

Perhatikan ilustrasi berikut:

Component: FunctionIllustration
Props:
- title: Mesin Penerjemah
- description: Mesin penerjemah mengubah kata atau kalimat dari Bahasa Inggris ke Bahasa Indonesia.
- machineLabel: Mesin Penerjemah
- content: { input: "Mathematics", output: "Matematika" }

Di sini, "Mesin Penerjemah" bertindak seperti fungsi yang mengubah "Mathematics" (masukan) menjadi "Matematika" (keluaran).

Sekarang, bagaimana jika kita ingin melakukan kebalikannya? Menerjemahkan "Matematika" kembali menjadi "Mathematics"?

Proses kebalikan inilah yang menjadi dasar konsep **fungsi invers**.

## Definisi Fungsi Invers

Fungsi invers, atau fungsi kebalikan, adalah fungsi yang "membalikkan" operasi dari suatu fungsi awal. Jika fungsi $$f$$ memetakan elemen $$x$$ dari domain $$A$$ ke elemen $$y$$ di kodomain $$B$$, maka fungsi inversnya, yang dinotasikan sebagai $$f^{-1}$$ (dibaca "f invers"), akan memetakan elemen $$y$$ dari $$B$$ kembali ke elemen $$x$$ di $$A$$.

Visible text: Fungsi invers, atau fungsi kebalikan, adalah fungsi yang "membalikkan" operasi dari suatu fungsi awal. Jika fungsi memetakan elemen dari domain ke elemen di kodomain , maka fungsi inversnya, yang dinotasikan sebagai (dibaca "f invers"), akan memetakan elemen dari kembali ke elemen di .

Secara matematis:

```math
y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)
```

Dengan kata lain, jika $$f$$ mengubah $$x$$ menjadi $$y$$, maka $$f^{-1}$$ mengubah $$y$$ kembali menjadi $$x$$. Fungsi invers "membatalkan" efek dari fungsi aslinya.

Visible text: Dengan kata lain, jika mengubah menjadi , maka mengubah kembali menjadi . Fungsi invers "membatalkan" efek dari fungsi aslinya.

**Penting:** Notasi $$f^{-1}(x)$$ **bukan** berarti $$\frac{1}{f(x)}$$ (kebalikan perkalian atau resiprokal). Ini adalah notasi khusus untuk fungsi invers.

Visible text: **Penting:** Notasi **bukan** berarti (kebalikan perkalian atau resiprokal). Ini adalah notasi khusus untuk fungsi invers.

## Syarat Fungsi Memiliki Invers

Tidak semua fungsi memiliki fungsi invers. Agar suatu fungsi $$f$$ memiliki fungsi invers $$f^{-1}$$, fungsi $$f$$ tersebut haruslah **fungsi bijektif**. Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat **injektif** (satu-ke-satu) dan **surjektif** (pada) sekaligus.

Visible text: Tidak semua fungsi memiliki fungsi invers. Agar suatu fungsi memiliki fungsi invers , fungsi tersebut haruslah **fungsi bijektif**. Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat **injektif** (satu-ke-satu) dan **surjektif** (pada) sekaligus.

- **Injektif (Satu-ke-satu):** Setiap elemen berbeda di domain dipetakan ke elemen yang berbeda di kodomain. Tidak ada dua input berbeda yang menghasilkan output yang sama.
- **Surjektif (Pada):** Setiap elemen di kodomain merupakan hasil pemetaan dari setidaknya satu elemen di domain. Semua output mungkin terjadi.

Jika fungsi $$f$$ bukan bijektif, maka relasi kebalikannya mungkin ada, tetapi relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi.

Visible text: Jika fungsi bukan bijektif, maka relasi kebalikannya mungkin ada, tetapi relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi.

## Menentukan Rumus Fungsi Invers

Untuk mencari rumus fungsi invers $$f^{-1}(x)$$ dari suatu fungsi $$f(x)$$, kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

Visible text: Untuk mencari rumus fungsi invers dari suatu fungsi , kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  Ganti $$f(x)$$ dengan $$y$$.
2.  Tukar posisi variabel $$x$$ dan $$y$$ dalam persamaan.
3.  Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan $$y$$ dalam bentuk $$x$$.
4.  Ganti $$y$$ dengan $$f^{-1}(x)$$ untuk mendapatkan rumus fungsi invers.

Visible text: 1. Ganti dengan .
2. Tukar posisi variabel dan dalam persamaan.
3. Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan dalam bentuk .
4. Ganti dengan untuk mendapatkan rumus fungsi invers.

**Contoh:**

Tentukan fungsi invers dari $$f(x) = 2x + 3$$.

Visible text: Tentukan fungsi invers dari .

1.  Ganti $$f(x)$$ dengan $$y$$:

    
    
    ```math
    y = 2x + 3
    ```

2.  Tukar $$x$$ dan $$y$$:

    
    
    ```math
    x = 2y + 3
    ```

3.  Selesaikan untuk $$y$$:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    x - 3 = 2y
    ```

      
    
    ```math
    \frac{x - 3}{2} = y
    ```

    </MathContainer>

4.  Ganti $$y$$ dengan $$f^{-1}(x)$$:

    
    
    ```math
    f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}
    ```

Visible text: 1. Ganti dengan :

 
 

2. Tukar dan :

 
 

3. Selesaikan untuk :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

4. Ganti dengan :

Jadi, fungsi invers dari $$f(x) = 2x + 3$$ adalah $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$.

Visible text: Jadi, fungsi invers dari adalah .

## Grafik Fungsi dan Inversnya

Grafik fungsi invers $$f^{-1}(x)$$ merupakan pencerminan (refleksi) dari grafik fungsi aslinya $$f(x)$$ terhadap garis $$y = x$$.

Visible text: Grafik fungsi invers merupakan pencerminan (refleksi) dari grafik fungsi aslinya terhadap garis .

Sebagai contoh, mari kita lihat grafik dari $$f(x) = 2x + 3$$, inversnya $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$, dan garis identitas $$y=x$$.

Visible text: Sebagai contoh, mari kita lihat grafik dari , inversnya , dan garis identitas .

Component: LineEquation
Props:
- title: Grafik $$f(x)$$ dan Inversnya
  Visible text: Grafik dan Inversnya
- description: Grafik menunjukkan fungsi $$f(x)$$, inversnya{" "}
$$f^{-1}(x)$$, dan garis $$y=x$${" "}
sebagai garis cermin.
  Visible text: Grafik menunjukkan fungsi , inversnya{" "}
, dan garis {" "}
sebagai garis cermin.
- data: [
{
// f(x) = 2x + 3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = i - 5;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
labels: [
{
text: "f(x) = 2x + 3",
at: 5,
offset: [-2.5, 0, 0],
},
],
},
{
// f⁻¹(x) = (x - 3) / 2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = i - 5;
return { x, y: (x - 3) / 2, z: 0 };
}),
color: getColor("EMERALD"),
labels: [
{
text: "f^{-1}(x) = (x-3)/2",
at: 10,
offset: [0.5, 0.5, 0],
},
],
},
{
// y = x (Garis Identitas)
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = i - 5;
return { x, y: x, z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
labels: [
{
text: "y = x",
at: 10,
offset: [0.5, 0.5, 0],
},
],
},
]