# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers/perkalian-dan-pembagian-fungsi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/multiplication-division-function/id.mdx
Pelajari perkalian dan pembagian fungsi: aturan domain, batasan nol, dan contoh praktis. Selesaikan (f·g)(x) dan (f/g)(x) dengan mudah.
---
## Perkalian Dua Fungsi
Mengalikan dua fungsi, $$f$$ dan $$g$$, sama mudahnya seperti mengalikan dua bilangan. Kita tinggal kalikan saja hasil $$f(x)$$ dengan $$g(x)$$ untuk nilai $$x$$ yang sama. Hasilnya adalah fungsi baru $$(f \cdot g)$$.
Visible text: Mengalikan dua fungsi, dan , sama mudahnya seperti mengalikan dua bilangan. Kita tinggal kalikan saja hasil dengan untuk nilai yang sama. Hasilnya adalah fungsi baru .
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Perkalian Fungsi
- description: Perhatikan bagaimana garis $$f(x)=x$$ dan{" "}
$$g(x)=2$$ dikalikan menjadi{" "}
$$(f \cdot g)(x)=2x$$.
Visible text: Perhatikan bagaimana garis dan{" "}
dikalikan menjadi{" "}
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: i - 5,
z: 0,
})),
color: getColor("ORANGE"),
labels: [{ text: "f(x)=x", at: 6, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({ x: i - 5, y: 2, z: 0 })),
color: getColor("SKY"),
labels: [{ text: "g(x)=2", at: 8, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: 2 * (i - 5),
z: 0,
})),
color: getColor("ROSE"),
labels: [{ text: "(f⋅g)(x)=2x", at: 7, offset: [-1.5, 1, 0] }],
},
]
```math
(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
```
Sama seperti penjumlahan dan pengurangan, mesin perkalian $$(f \cdot g)$$ ini hanya bisa mengolah bahan baku (nilai $$x$$) yang bisa diolah oleh _kedua_ mesin asli, $$f$$ dan $$g$$. Jadi, domainnya adalah irisan dari domain $$f$$ dan domain $$g$$.
Visible text: Sama seperti penjumlahan dan pengurangan, mesin perkalian ini hanya bisa mengolah bahan baku (nilai ) yang bisa diolah oleh _kedua_ mesin asli, dan . Jadi, domainnya adalah irisan dari domain dan domain .
```math
D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g
```
### Contoh Perkalian
Mari kita pakai fungsi yang sedikit berbeda kali ini:
1. $$f(x) = x^2$$, dengan domain $$D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$ (semua
bilangan real).
2. $$g(x) = x - 1$$, dengan domain $$D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$ (semua
bilangan real).
Visible text: 1. , dengan domain (semua
bilangan real).
2. , dengan domain (semua
bilangan real).
**Langkah** $$1$$: Tentukan fungsi hasil perkalian
Visible text: **Langkah** : Tentukan fungsi hasil perkalian
Component: MathContainer
Children:
```math
(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
```
```math
= (x^2) \cdot (x - 1)
```
```math
= x^3 - x^2
```
**Langkah** $$2$$: Tentukan domain fungsi hasil perkalian
Visible text: **Langkah** : Tentukan domain fungsi hasil perkalian
Kita cari irisan dari $$D_f$$ dan $$D_g$$:
Visible text: Kita cari irisan dari dan :
Component: MathContainer
Children:
```math
D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g
```
```math
= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
```math
= \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
Jadi, fungsi hasil perkaliannya adalah $$(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2$$ dengan domain semua bilangan real.
Visible text: Jadi, fungsi hasil perkaliannya adalah dengan domain semua bilangan real.
## Pembagian Dua Fungsi
Pembagian fungsi $$f$$ oleh fungsi $$g$$ juga mirip: kita bagi hasil $$f(x)$$ dengan $$g(x)$$. Hasilnya adalah fungsi baru $$(\frac{f}{g})$$.
Visible text: Pembagian fungsi oleh fungsi juga mirip: kita bagi hasil dengan . Hasilnya adalah fungsi baru .
```math
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
```
Nah, di sini ada **aturan tambahan yang sangat penting!** Kita tahu bahwa pembagian dengan nol itu tidak boleh. Jadi, selain nilai $$x$$ harus ada di domain $$f$$ dan $$g$$, nilai $$g(x)$$ (fungsi pembagi) **tidak boleh sama dengan nol**.
Visible text: Nah, di sini ada **aturan tambahan yang sangat penting!** Kita tahu bahwa pembagian dengan nol itu tidak boleh. Jadi, selain nilai harus ada di domain dan , nilai (fungsi pembagi) **tidak boleh sama dengan nol**.
Oleh karena itu, domain dari fungsi pembagian $$(\frac{f}{g})$$ adalah irisan domain $$D_f$$ dan $$D_g$$, tetapi kita harus _membuang_ semua nilai $$x$$ yang menyebabkan $$g(x) = 0$$.
Visible text: Oleh karena itu, domain dari fungsi pembagian adalah irisan domain dan , tetapi kita harus _membuang_ semua nilai yang menyebabkan .
```math
D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{x | g(x) = 0\}
```
Tanda $$-$$ di sini artinya "dikurangi" atau "dikecualikan".
Visible text: Tanda di sini artinya "dikurangi" atau "dikecualikan".
### Contoh Pembagian
Kita pakai fungsi yang sama seperti contoh perkalian:
1. $$f(x) = x^2$$, $$D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$
2. $$g(x) = x - 1$$, $$D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$
Visible text: 1. ,
2. ,
**Langkah** $$1$$: Tentukan fungsi hasil pembagian
Visible text: **Langkah** : Tentukan fungsi hasil pembagian
```math
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{x-1}
```
**Langkah** $$2$$: Tentukan domain fungsi hasil pembagian
Visible text: **Langkah** : Tentukan domain fungsi hasil pembagian
Pertama, kita cari irisan $$D_f$$ dan $$D_g$$:
Visible text: Pertama, kita cari irisan dan :
```math
D_f \cap D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
Kedua, kita cari nilai $$x$$ yang membuat $$g(x) = 0$$:
Visible text: Kedua, kita cari nilai yang membuat :
Component: MathContainer
Children:
```math
g(x) = 0
```
```math
x - 1 = 0
```
```math
x = 1
```
Ketiga, kita kecualikan nilai $$x=1$$ dari irisan domain:
Visible text: Ketiga, kita kecualikan nilai dari irisan domain:
```math
D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \in \mathbb{R}\} - \{1\}
```
Atau bisa ditulis juga sebagai:
```math
D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \in \mathbb{R}, x \neq 1\}
```
Jadi, fungsi hasil pembagiannya adalah $$(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}$$ dengan domain semua bilangan real kecuali $$x=1$$.
Visible text: Jadi, fungsi hasil pembagiannya adalah dengan domain semua bilangan real kecuali .
## Latihan Soal
Diketahui fungsi $$f(x) = \sqrt{x+4}$$ dengan $$D_f = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$$ dan fungsi $$g(x) = x^2 - 9$$ dengan $$D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$.
Visible text: Diketahui fungsi dengan dan fungsi dengan .
1. Tentukan $$(f \cdot g)(x)$$ dan domainnya $$D_{f \cdot g}$$.
2. Tentukan $$(\frac{f}{g})(x)$$ dan domainnya $$D_{\frac{f}{g}}$$.
3. Hitung nilai $$(f \cdot g)(5)$$.
4. Apakah $$(\frac{f}{g})(3)$$ terdefinisi? Jelaskan.
Visible text: 1. Tentukan dan domainnya .
2. Tentukan dan domainnya .
3. Hitung nilai .
4. Apakah terdefinisi? Jelaskan.
### Kunci Jawaban
1. **Mencari $$(f \cdot g)(x)$$:**
```math
(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
```
```math
= (\sqrt{x+4}) \cdot (x^2 - 9)
```
```math
= (x^2 - 9)\sqrt{x+4}
```
**Mencari Domain $$D_{f \cdot g}$$:**
```math
D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g
```
```math
= \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
```math
= \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}
```
Jadi, $$(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$$ dengan domain $$\{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$$.
2. **Mencari $$(\frac{f}{g})(x)$$:**
```math
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}
```
**Mencari Domain $$D_{\frac{f}{g}}$$:**
Irisan domain: $$D_f \cap D_g = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$$.
Cari $$x$$ yang membuat $$g(x)=0$$:
```math
g(x) = 0
```
```math
x^2 - 9 = 0
```
```math
(x-3)(x+3) = 0
```
```math
x = 3 \text{ atau} x = -3
```
Kecualikan $$x=3$$ dan $$x=-3$$ dari irisan domain:
```math
D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\} - \{-3, 3\}
```
Atau bisa ditulis:
```math
D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}, x \neq -3, x \neq 3\}
```
Jadi, $$(\frac{f}{g})(x) = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$$ dengan domain $$\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$$.
3. **Menghitung $$(f \cdot g)(5)$$:**
Kita gunakan hasil dari nomor $$1$$: $$(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$$.
Karena $$5 \ge -4$$, $$x=5$$ ada di dalam domain $$D_{f \cdot g}$$.
```math
(f \cdot g)(5) = (5^2 - 9)\sqrt{5+4}
```
```math
= (25 - 9)\sqrt{9}
```
```math
= (16)(3)
```
```math
= 48
```
4. **Apakah $$(\frac{f}{g})(3)$$ terdefinisi?**
Tidak terdefinisi. Kita lihat domain dari $$(\frac{f}{g})(x)$$ pada nomor $$2$$, yaitu $$\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$$. Nilai $$x=3$$ secara eksplisit dikecualikan dari domain karena akan menyebabkan penyebut $$g(x) = x^2 - 9$$ menjadi nol ($$3^2 - 9 = 0$$). Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan dalam matematika.
Visible text: 1. **Mencari :**
**Mencari Domain :**
Jadi, dengan domain .
2. **Mencari :**
**Mencari Domain :**
Irisan domain: .
Cari yang membuat :
Kecualikan dan dari irisan domain:
Atau bisa ditulis:
Jadi, dengan domain .
3. **Menghitung :**
Kita gunakan hasil dari nomor : .
Karena , ada di dalam domain .
4. **Apakah terdefinisi?**
Tidak terdefinisi. Kita lihat domain dari pada nomor , yaitu . Nilai secara eksplisit dikecualikan dari domain karena akan menyebabkan penyebut menjadi nol (). Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan dalam matematika.