# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers/sifat-fungsi-invers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/properties-of-inverse-function/id.mdx

Temukan sifat fungsi invers: identitas komposisi, pembalikan ganda, dan hubungan domain-range. Pahami f∘f⁻¹=x dengan contoh.

---

## Sifat Komposisi dengan Invers

Sifat ini adalah inti dari definisi fungsi invers: fungsi invers "membatalkan" efek dari fungsi aslinya, dan sebaliknya. Jika kita mengkomposisikan suatu fungsi dengan inversnya (dalam urutan apapun), kita akan mendapatkan fungsi identitas $$I(x) = x$$.

Visible text: Sifat ini adalah inti dari definisi fungsi invers: fungsi invers "membatalkan" efek dari fungsi aslinya, dan sebaliknya. Jika kita mengkomposisikan suatu fungsi dengan inversnya (dalam urutan apapun), kita akan mendapatkan fungsi identitas .

1.  **Komposisi $$f$$ dengan $$f^{-1}$$:**

    
    
    ```math
    (f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x
    ```

    Ini berlaku untuk semua $$x$$ dalam domain $$f^{-1}$$ (yang merupakan range dari $$f$$).

2.  **Komposisi $$f^{-1}$$ dengan $$f$$:**

    
    
    ```math
    (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x
    ```

    Ini berlaku untuk semua $$x$$ dalam domain $$f$$.

Visible text: 1. **Komposisi dengan :**

 
 

 Ini berlaku untuk semua dalam domain (yang merupakan range dari ).

2. **Komposisi dengan :**

 
 

 Ini berlaku untuk semua dalam domain .

**Contoh:**

Kita tahu bahwa jika $$f(x) = 2x + 3$$, maka inversnya adalah $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$. Mari kita verifikasi sifat komposisi:

Visible text: Kita tahu bahwa jika , maka inversnya adalah . Mari kita verifikasi sifat komposisi:

- $$f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = (x - 3) + 3 = x$$
- $$f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 3) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = \frac{2x}{2} = x$$

Visible text: - 
-

Kedua komposisi menghasilkan $$x$$, sesuai dengan sifatnya.

Visible text: Kedua komposisi menghasilkan , sesuai dengan sifatnya.

## Sifat Invers dari Invers

Jika kita mencari invers dari suatu fungsi invers, kita akan kembali ke fungsi aslinya.

```math
(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)
```

Ini masuk akal karena proses mencari invers adalah proses "membalikkan". Jika kita membalikkan sesuatu dua kali, kita akan kembali ke keadaan semula.

## Sifat Invers dari Komposisi Fungsi

Jika kita memiliki komposisi dua fungsi yang keduanya memiliki invers, invers dari komposisi tersebut adalah komposisi dari invers-inversnya, tetapi dalam **urutan terbalik**.

Misalkan $$f$$ dan $$g$$ adalah dua fungsi yang memiliki invers $$f^{-1}$$ dan $$g^{-1}$$. Maka invers dari komposisi $$f \circ g$$ adalah:

Visible text: Misalkan dan adalah dua fungsi yang memiliki invers dan . Maka invers dari komposisi adalah:

```math
(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)
```

Perhatikan urutannya terbalik: $$g^{-1}$$ diterapkan terlebih dahulu, baru $$f^{-1}$$.

Visible text: Perhatikan urutannya terbalik: diterapkan terlebih dahulu, baru .

Bayangkan memakai kaos kaki ($$g$$) lalu sepatu ($$f$$). Untuk membatalkannya (inversnya), kamu harus melepas sepatu ($$f^{-1}$$) dulu, baru melepas kaos kaki ($$g^{-1}$$). Urutannya dibalik.

Visible text: Bayangkan memakai kaos kaki () lalu sepatu (). Untuk membatalkannya (inversnya), kamu harus melepas sepatu () dulu, baru melepas kaos kaki (). Urutannya dibalik.

**Contoh:**

Misalkan $$f(x) = x + 1$$ (inversnya $$f^{-1}(x) = x - 1$$) dan $$g(x) = 3x$$ (inversnya $$g^{-1}(x) = \frac{x}{3}$$).

Visible text: Misalkan (inversnya ) dan (inversnya ).

1.  **Cari $$(f \circ g)(x)$$:**

    
    
    ```math
    (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 3x + 1
    ```

2.  **Cari invers dari $$(f \circ g)(x)$$:**

    Misalkan $$y = 3x + 1$$. Tukar $$x$$ dan $$y$$: $$x = 3y + 1$$.

    Selesaikan untuk $$y$$: $$x - 1 = 3y \implies y = \frac{x - 1}{3}$$.

    Jadi, $$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$$.

3.  **Cari $$(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$$:**

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = g^{-1}(f^{-1}(x)) = g^{-1}(x - 1)
    ```

      
    
    ```math
    g^{-1}(x - 1) = \frac{x - 1}{3}
    ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. **Cari :**

 
 

2. **Cari invers dari :**

 Misalkan . Tukar dan : .

 Selesaikan untuk : .

 Jadi, .

3. **Cari :**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

Karena hasil dari langkah $$2$$ dan $$3$$ sama, terbukti bahwa $$(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$$.

Visible text: Karena hasil dari langkah dan sama, terbukti bahwa .

## Hubungan Domain dan Range

Domain dari fungsi asli $$f$$ menjadi range dari fungsi inversnya $$f^{-1}$$, dan range dari fungsi asli $$f$$ menjadi domain dari fungsi inversnya $$f^{-1}$$.

Visible text: Domain dari fungsi asli menjadi range dari fungsi inversnya , dan range dari fungsi asli menjadi domain dari fungsi inversnya .

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Domain}(f) = \text{Range}(f^{-1})
```

```math
\text{Range}(f) = \text{Domain}(f^{-1})
```