# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers/sifat-komposisi-fungsi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/properties-of-function-composition/id.mdx
Pelajari sifat komposisi fungsi, termasuk urutan tidak komutatif, pengelompokan asosiatif, dan elemen identitas.
---
## Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi, yaitu menggabungkan fungsi secara berurutan, memiliki beberapa sifat penting yang perlu kita ketahui. Mari kita pelajari sifat-sifat ini dengan menggunakan contoh fungsi berikut:
Component: MathContainer
Children:
```math
f(x) = 2x + 1
```
```math
g(x) = x^2 + 4
```
```math
h(x) = \frac{1}{x+1}
```
### Sifat Tidak Komutatif
Sifat pertama dan yang paling sering ditemui adalah bahwa urutan dalam mengkomposisikan fungsi itu **penting**. Mengubah urutan fungsi biasanya akan menghasilkan fungsi komposisi yang berbeda.
Secara umum, $$(f \circ g)(x)$$ **tidak sama dengan** $$(g \circ f)(x)$$.
Visible text: Secara umum, **tidak sama dengan** .
**Contoh:**
Mari kita bandingkan $$(g \circ f)(x)$$ dan $$(f \circ g)(x)$$.
Visible text: Mari kita bandingkan dan .
1. **Menghitung $$(g \circ f)(x)$$:**
```math
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1)
```
```math
g(2x+1) = (2x+1)^2 + 4 = (4x^2 + 4x + 1) + 4 = 4x^2 + 4x + 5
```
2. **Menghitung $$(f \circ g)(x)$$:**
```math
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2+4)
```
```math
f(x^2+4) = 2(x^2+4) + 1 = (2x^2 + 8) + 1 = 2x^2 + 9
```
Visible text: 1. **Menghitung :**
2. **Menghitung :**
Karena $$4x^2 + 4x + 5 \neq 2x^2 + 9$$, maka terbukti bahwa $$(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$$. Sifat ini berlaku juga untuk komposisi lain, misalnya $$(f \circ h)(x) \neq (h \circ f)(x)$$ dan $$(g \circ h)(x) \neq (h \circ g)(x)$$.
Visible text: Karena , maka terbukti bahwa . Sifat ini berlaku juga untuk komposisi lain, misalnya dan .
### Sifat Asosiatif
Jika kita mengkomposisikan tiga fungsi atau lebih, urutan **pengerjaan** komposisinya tidak mempengaruhi hasil akhir, asalkan urutan **fungsinya** tetap sama.
Secara matematis, untuk fungsi $$f$$, $$g$$, dan $$h$$, berlaku:
Visible text: Secara matematis, untuk fungsi , , dan , berlaku:
```math
((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)
```
Ini berarti, kita bisa mengkomposisikan $$f$$ dengan $$g$$ terlebih dahulu, baru hasilnya dikomposisikan dengan $$h$$. Atau, kita bisa mengkomposisikan $$g$$ dengan $$h$$ terlebih dahulu, baru $$f$$ dikomposisikan dengan hasilnya. Hasilnya akan sama.
Visible text: Ini berarti, kita bisa mengkomposisikan dengan terlebih dahulu, baru hasilnya dikomposisikan dengan . Atau, kita bisa mengkomposisikan dengan terlebih dahulu, baru dikomposisikan dengan hasilnya. Hasilnya akan sama.
**Contoh:**
Mari kita cek apakah $$((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$$.
Visible text: Mari kita cek apakah .
1. **Menghitung $$((f \circ g) \circ h)(x)$$:**
Kita sudah tahu $$(f \circ g)(x) = 2x^2 + 9$$.
```math
((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(\frac{1}{x+1})
```
```math
(f \circ g)(\frac{1}{x+1}) = 2\left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + 9 = \frac{2}{(x+1)^2} + 9
```
2. **Menghitung $$(f \circ (g \circ h))(x)$$:**
Pertama, cari $$(g \circ h)(x)$$:
```math
(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\frac{1}{x+1})
```
```math
g(\frac{1}{x+1}) = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + 4 = \frac{1}{(x+1)^2} + 4
```
Sekarang, komposisikan $$f$$ dengan hasil ini:
```math
(f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right)
```
```math
f\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) = 2\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) + 1 = \frac{2}{(x+1)^2} + 8 + 1 = \frac{2}{(x+1)^2} + 9
```
Visible text: 1. **Menghitung :**
Kita sudah tahu .
2. **Menghitung :**
Pertama, cari :
Sekarang, komposisikan dengan hasil ini:
Karena hasil keduanya sama ($$\frac{2}{(x+1)^2} + 9$$), maka terbukti sifat asosiatif berlaku: $$((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$$.
Visible text: Karena hasil keduanya sama (), maka terbukti sifat asosiatif berlaku: .
Sifat asosiatif ini berlaku untuk kombinasi urutan fungsi lainnya juga, seperti $$((h \circ f) \circ g)(x) = (h \circ (f \circ g))(x)$$ dan $$((g \circ f) \circ h)(x) = (g \circ (f \circ h))(x)$$.
Visible text: Sifat asosiatif ini berlaku untuk kombinasi urutan fungsi lainnya juga, seperti dan .
### Elemen Identitas
Ada sebuah fungsi khusus yang disebut **fungsi identitas**, dilambangkan dengan $$I(x)$$, yang didefinisikan sebagai $$I(x) = x$$. Fungsi ini tidak mengubah inputnya.
Visible text: Ada sebuah fungsi khusus yang disebut **fungsi identitas**, dilambangkan dengan , yang didefinisikan sebagai . Fungsi ini tidak mengubah inputnya.
Jika fungsi $$f$$ dikomposisikan dengan fungsi identitas $$I$$ (baik dari kiri maupun kanan), hasilnya adalah fungsi $$f$$ itu sendiri.
Visible text: Jika fungsi dikomposisikan dengan fungsi identitas (baik dari kiri maupun kanan), hasilnya adalah fungsi itu sendiri.
Component: MathContainer
Children:
```math
(f \circ I)(x) = f(I(x)) = f(x)
```
```math
(I \circ f)(x) = I(f(x)) = f(x)
```
**Contoh:**
Dengan $$f(x) = 2x + 1$$:
Visible text: Dengan :
- $$(f \circ I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1$$
- $$(I \circ f)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1$$
Visible text: -
-
Keduanya menghasilkan fungsi $$f(x)$$ kembali.
Visible text: Keduanya menghasilkan fungsi kembali.