# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/geometri-analitik/definisi-lingkaran
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/definition-of-circle/id.mdx

Pelajari konsep dasar lingkaran dengan penjelasan pusat, jari-jari, dan persamaan. Pahami cara menurunkan (x-a)² + (y-b)² = r² dengan contoh interaktif.

---

## Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan semua titik pada bidang yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tetap. Titik tetap ini kita sebut **pusat lingkaran**, sedangkan jarak yang sama dari pusat ke setiap titik pada lingkaran disebut **jari-jari**.

Bayangkan kamu mengikat tali pada sebuah paku, lalu menarik tali tersebut hingga tegang dan menggambar lengkungan penuh di sekitar paku. Lengkungan yang terbentuk itulah yang kita sebut lingkaran, paku adalah pusatnya, dan panjang tali adalah jari-jarinya.

Component: LineEquation
Props:
- title: Lingkaran dengan Pusat dan Jari-jari
- description: Semua titik pada lingkaran memiliki jarak yang sama dari pusat.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal radius
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "P", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: "r", at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = Math.PI / 4; // 45 degree radius
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "r", at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = Math.PI; // 180 degree radius (left)
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(a ... [truncated; 2351 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Dalam visualisasi di atas, titik $$P$$ adalah pusat lingkaran, sedangkan titik $$A$$, $$B$$, dan $$C$$ adalah beberapa titik yang berada pada lingkaran. Coba perhatikan bahwa jarak dari $$P$$ ke $$A$$, $$P$$ ke $$B$$, dan $$P$$ ke $$C$$ semuanya sama dengan $$r$$. Ini yang membuat mereka semua berada di lingkaran yang sama.

Visible text: Dalam visualisasi di atas, titik adalah pusat lingkaran, sedangkan titik , , dan adalah beberapa titik yang berada pada lingkaran. Coba perhatikan bahwa jarak dari ke , ke , dan ke semuanya sama dengan . Ini yang membuat mereka semua berada di lingkaran yang sama.

## Definisi Matematis

Nah, sekarang kita bikin definisi yang lebih formal. Secara matematis, lingkaran dengan pusat $$P(a, b)$$ dan jari-jari $$r$$ adalah himpunan semua titik $$(x, y)$$ yang memenuhi kondisi:

Visible text: Nah, sekarang kita bikin definisi yang lebih formal. Secara matematis, lingkaran dengan pusat dan jari-jari adalah himpunan semua titik yang memenuhi kondisi:

```math
d(P, (x,y)) = r
```

Di mana $$d(P, (x,y))$$ adalah jarak dari titik pusat $$P$$ ke titik $$(x, y)$$ pada lingkaran.

Visible text: Di mana adalah jarak dari titik pusat ke titik pada lingkaran.

Kalau kita pakai rumus jarak dalam sistem koordinat Kartesius, bisa kita tulis seperti ini:

```math
\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r
```

## Persamaan Lingkaran

Dari definisi matematis tadi, kita bisa menurunkan **persamaan lingkaran** dengan cara mengkuadratkan kedua ruas:

Component: MathContainer
Children:

```math
\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r
```

```math
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
```

Inilah **persamaan umum lingkaran** dengan pusat $$(a, b)$$ dan jari-jari $$r$$. Formula ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu titik berada di dalam, di luar, atau tepat pada lingkaran.

Visible text: Inilah **persamaan umum lingkaran** dengan pusat dan jari-jari . Formula ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu titik berada di dalam, di luar, atau tepat pada lingkaran.

Component: LineEquation
Props:
- title: Lingkaran dalam Sistem Koordinat
- description: Lingkaran dengan pusat $$(2, 1)$$ dan jari-jari $$2$$.
  Visible text: Lingkaran dengan pusat dan jari-jari .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2 + 2 * Math.cos(angle),
y: 1 + 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 2, y: 1 };
const radius = 2;
const angle = 0; // horizontal radius to the right
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "(2, 1)", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "r = 2", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -1;
const xMax = 5;
const y = 0; // $$x$$-axis
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = 4;
const x = 0; // $$y$$-axis
return {
x: x,
y: yMin + i * (yMax - yMin),
z: 0,
};
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Origin point at (0, 0)
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: ... [truncated; 1297 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2 + 2 * Math.cos(angle),
y: 1 + 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 2, y: 1 };
const radius = 2;
const angle = 0; // horizontal radius to the right
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "(2, 1)", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "r = 2", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -1;
const xMax = 5;
const y = 0; // -axis
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = 4;
const x = 0; // -axis
return {
x: x,
y: yMin + i * (yMax - yMin),
z: 0,
};
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Origin point at (0, 0)
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: ... [truncated; 1297 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

Untuk lingkaran pada visualisasi di atas, persamaannya adalah:

```math
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4
```

### Bentuk Khusus Persamaan Lingkaran

Ada satu kasus khusus yang menarik. Ketika pusat lingkaran berada di titik asal $$(0, 0)$$, persamaan lingkaran jadi lebih sederhana:

Visible text: Ada satu kasus khusus yang menarik. Ketika pusat lingkaran berada di titik asal , persamaan lingkaran jadi lebih sederhana:

```math
x^2 + y^2 = r^2
```

Bentuk ini sangat praktis karena lebih mudah dihitung dan dipahami.

## Unsur Penting Lingkaran

Ada beberapa istilah penting yang perlu kamu pahami dulu:

1. **Pusat lingkaran** adalah titik tetap yang jadi patokan untuk semua titik pada lingkaran. Semua titik pada lingkaran punya jarak yang sama ke pusat ini.

2. **Jari-jari** adalah jarak dari pusat lingkaran ke titik mana pun pada lingkaran. Dalam satu lingkaran, semua jari-jari panjangnya sama.

3. **Diameter** adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melewati pusat. Panjang diameter selalu dua kali panjang jari-jari, atau $$d = 2r$$.

Visible text: 1. **Pusat lingkaran** adalah titik tetap yang jadi patokan untuk semua titik pada lingkaran. Semua titik pada lingkaran punya jarak yang sama ke pusat ini.

2. **Jari-jari** adalah jarak dari pusat lingkaran ke titik mana pun pada lingkaran. Dalam satu lingkaran, semua jari-jari panjangnya sama.

3. **Diameter** adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melewati pusat. Panjang diameter selalu dua kali panjang jari-jari, atau .

Supaya lebih mudah dipahami, kita bisa lihat visualisasi di bawah ini:

Component: LineEquation
Props:
- title: Unsur-unsur Lingkaran
- description: Visualisasi pusat, jari-jari, dan diameter.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal radius showing jari-jari
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
{ text: "jari-jari", at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal diameter
// i=0: left point, i=1: right point
const direction = i === 0 ? -1 : 1;
return {
x: center.x + direction * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + direction * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "diameter", at: 1, offset: [-3, 1, 0] },
],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Contoh Penerapan

Sekarang kita coba terapkan definisi lingkaran untuk menentukan persamaan lingkaran.

**Contoh**: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $$(3, -2)$$ dengan jari-jari $$5$$.

Visible text: **Contoh**: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di dengan jari-jari .

**Penyelesaian**:
Kita tinggal pakai rumus umum persamaan lingkaran dengan pusat $$(a, b)$$ dan jari-jari $$r$$:

Visible text: **Penyelesaian**:
Kita tinggal pakai rumus umum persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari :

Component: MathContainer
Children:

```math
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
```

```math
(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2
```

```math
(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25
```

Jadi persamaan lingkarannya adalah $$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$$.

Visible text: Jadi persamaan lingkarannya adalah .