# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/geometri-analitik/elips
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/ellipse/id.mdx
Pahami sifat elips, fokus, dan persamaannya. Pelajari cara menyelesaikan masalah x²/a² + y²/b² = 1 dengan contoh bertahap dan visualisasi interaktif.
---
## Apa itu Elips?
Pernah lihat bentuk orbit planet yang mengelilingi matahari? Atau bayangan lingkaran ketika kita lihat dari samping? Nah, bentuk-bentuk seperti itu namanya **elips**! Elips bukan cuma lingkaran yang "gepeng" aja, tapi ada definisi matematika yang keren di baliknya.
Jadi gini, elips itu adalah kumpulan titik-titik yang **jumlah jaraknya ke dua titik tertentu selalu sama**. Kedua titik tertentu ini namanya **fokus**. Bayangin aja, kamu punya dua paku dan tali. Kalau tali diikat ke kedua paku, terus kamu tarik pensil sampai tali kencang dan gambar kurva lengkap, maka kurva yang terbentuk itu elips!
Component: LineEquation
Props:
- title: Konsep Dasar Elips
- description: Elips dengan dua fokus dan beberapa titik yang menunjukkan jumlah jarak yang konstan.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const a = 4;
const b = 2.5;
return {
x: a * Math.cos(angle),
y: b * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const a = 4, b = 2.5;
const c = Math.sqrt(a*a - b*b);
return [
{ x: -c, y: 0, z: 0 },
{ x: c, y: 0, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }
],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI / 3;
const a = 4, b = 2.5;
return [{
x: a * Math.cos(angle),
y: b * Math.sin(angle),
z: 0,
}];
})(),
color: getColor("LIME"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P", at: 0, offset: [0.5, 0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI / 3;
const a = 4, b = 2.5;
const c = Math.sqrt(a*a - b*b);
const px = a * Math.cos(angle);
const py = b * Math.sin(angle);
return [
{ x: -c, y: 0, z: 0 },
{ x: px, y: py, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels ... [truncated; 1839 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Dari visualisasi di atas, coba perhatikan titik $$P$$. Jarak dari $$P$$ ke fokus $$F_1$$ (yang kita sebut $$r_1$$) ditambah jarak dari $$P$$ ke fokus $$F_2$$ (yang kita sebut $$r_2$$) akan selalu sama untuk semua titik yang ada di elips. Inilah **ciri khas elips** yang paling dasar!
Visible text: Dari visualisasi di atas, coba perhatikan titik . Jarak dari ke fokus (yang kita sebut ) ditambah jarak dari ke fokus (yang kita sebut ) akan selalu sama untuk semua titik yang ada di elips. Inilah **ciri khas elips** yang paling dasar!
## Komponen Elips
Sebelum kita bahas rumusnya, yuk kenalan dulu sama bagian-bagian penting dalam elips. Tiap bagian ini punya peran masing-masing dalam menentukan bentuk elipsnya.
Component: LineEquation
Props:
- title: Komponen Elips
- description: Bagian-bagian penting dalam elips dengan sumbu mayor horizontal.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const a = 4;
const b = 2.8;
return {
x: a * Math.cos(angle),
y: b * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Pusat", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const a = 4, b = 2.8;
const c = Math.sqrt(a*a - b*b);
return [
{ x: -c, y: 0, z: 0 },
{ x: c, y: 0, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: "A₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: -2.8, z: 0 },
{ x: 0, y: 2.8, z: 0 }
],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "B₁", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "B₂", at: 1, offset: [-0.5, 0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("YELLOW"),
showPoints: false, ... [truncated; 1474 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Nih, komponen-komponen yang perlu kamu tau:
1. **Pusat elips** adalah titik tengah elips, biasanya kita tulis dengan huruf $$O$$. Semua pengukuran di elips merujuk ke titik ini.
2. **Fokus** ($$F_1$$ dan $$F_2$$) adalah dua titik tetap yang jadi patokan definisi elips tadi. Jarak antara kedua fokus disebut jarak fokal.
3. **Sumbu mayor** adalah garis terpanjang yang lewat pusat elips dan kedua fokus. Ujung-ujungnya adalah titik $$A_1$$ dan $$A_2$$.
4. **Sumbu minor** adalah garis terpendek yang lewat pusat elips dan tegak lurus sumbu mayor. Ujung-ujungnya adalah titik $$B_1$$ dan $$B_2$$.
5. **Semi-mayor** ($$a$$) adalah setengah panjang sumbu mayor, yaitu jarak dari pusat ke ujung sumbu mayor.
6. **Semi-minor** ($$b$$) adalah setengah panjang sumbu minor, yaitu jarak dari pusat ke ujung sumbu minor.
Visible text: 1. **Pusat elips** adalah titik tengah elips, biasanya kita tulis dengan huruf . Semua pengukuran di elips merujuk ke titik ini.
2. **Fokus** ( dan ) adalah dua titik tetap yang jadi patokan definisi elips tadi. Jarak antara kedua fokus disebut jarak fokal.
3. **Sumbu mayor** adalah garis terpanjang yang lewat pusat elips dan kedua fokus. Ujung-ujungnya adalah titik dan .
4. **Sumbu minor** adalah garis terpendek yang lewat pusat elips dan tegak lurus sumbu mayor. Ujung-ujungnya adalah titik dan .
5. **Semi-mayor** () adalah setengah panjang sumbu mayor, yaitu jarak dari pusat ke ujung sumbu mayor.
6. **Semi-minor** () adalah setengah panjang sumbu minor, yaitu jarak dari pusat ke ujung sumbu minor.
> Ingat ya, dalam elips selalu berlaku $$a > b$$. Kalau $$a = b$$, bentuknya jadi lingkaran!
Visible text: > Ingat ya, dalam elips selalu berlaku . Kalau , bentuknya jadi lingkaran!
## Persamaan Elips
Nah, sekarang kita masuk ke bagian yang seru: gimana cara nulis elips dalam bentuk persamaan matematika. Ada beberapa bentuk tergantung posisi dan orientasinya.
### Pusat di Titik Asal
Kalau pusat elips ada di $$O(0,0)$$, ada dua kemungkinan orientasi:
Visible text: Kalau pusat elips ada di , ada dua kemungkinan orientasi:
Component: LineEquation
Props:
- title: Sumbu Mayor Horizontal
- description: Elips $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ dengan $$a > b$$.
Visible text: Elips dengan .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const a = 4.5;
const b = 3;
return {
x: a * Math.cos(angle),
y: b * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const a = 4.5, b = 3;
const c = Math.sqrt(a*a - b*b);
return [
{ x: -c, y: 0, z: 0 },
{ x: c, y: 0, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4.5, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "a", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 }
],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "b", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -6, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 }
],
c ... [truncated; 1262 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Kalau sumbu mayor sejajar sumbu $$X$$ (horizontal), persamaan elipsnya:
Visible text: Kalau sumbu mayor sejajar sumbu (horizontal), persamaan elipsnya:
```math
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
```
dengan syarat $$a > b$$.
Visible text: dengan syarat .
Component: LineEquation
Props:
- title: Sumbu Mayor Vertikal
- description: Elips $$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$ dengan $$a > b$$.
Visible text: Elips dengan .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const a = 4.5;
const b = 3;
return {
x: b * Math.cos(angle),
y: a * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const a = 4.5, b = 3;
const c = Math.sqrt(a*a - b*b);
return [
{ x: 0, y: -c, z: 0 },
{ x: 0, y: c, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "b", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4.5, z: 0 }
],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "a", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -5, y: 0, z: 0 },
{ x: 5, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -6, z: 0 },
{ x: 0, y: 6, z: 0 }
],
col ... [truncated; 1260 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Kalau sumbu mayor sejajar sumbu $$Y$$ (vertikal), persamaan elipsnya:
Visible text: Kalau sumbu mayor sejajar sumbu (vertikal), persamaan elipsnya:
```math
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
```
dengan syarat $$a > b$$.
Visible text: dengan syarat .
### Pusat Berpindah
Kalau pusat elips bukan di titik asal, tapi di titik $$(h, k)$$, persamaannya jadi:
Visible text: Kalau pusat elips bukan di titik asal, tapi di titik , persamaannya jadi:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(sumbu mayor horizontal)}
```
```math
\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \quad \text{(sumbu mayor vertikal)}
```
Visualisasi:
Component: LineEquation
Props:
- title: Elips dengan Pusat Berpindah
- description: Elips dengan pusat di $$(2, -1)$$ dan sumbu mayor horizontal.
Visible text: Elips dengan pusat di dan sumbu mayor horizontal.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const a = 3.5;
const b = 2.5;
const h = 2, k = -1;
return {
x: h + a * Math.cos(angle),
y: k + b * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("SKY"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 2, y: -1, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "(2,-1)", at: 0, offset: [-0.8, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const a = 3.5, b = 2.5;
const c = Math.sqrt(a*a - b*b);
const h = 2, k = -1;
return [
{ x: h - c, y: k, z: 0 },
{ x: h + c, y: k, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: 2, y: -1, z: 0 },
{ x: 5.5, y: -1, z: 0 }
],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "a", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: -1, z: 0 },
{ x: 2, y: 1.5, z: 0 }
],
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "b", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 7, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
smooth: false, ... [truncated; 1325 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
## Hubungan Penting
Ada rumus yang selalu berlaku untuk setiap elips:
```math
c^2 = a^2 - b^2
```
di mana $$c$$ adalah jarak dari pusat ke fokus.
Visible text: di mana adalah jarak dari pusat ke fokus.
**Eksentrisitas** elips didefinisikan sebagai:
```math
e = \frac{c}{a}
```
Nilai eksentrisitas elips selalu $$0 < e < 1$$. Makin mendekati $$0$$, elips makin bulat seperti lingkaran. Makin mendekati $$1$$, elips makin pipih.
Visible text: Nilai eksentrisitas elips selalu . Makin mendekati , elips makin bulat seperti lingkaran. Makin mendekati , elips makin pipih.
## Latihan
1. Tentukan persamaan elips dengan pusat di $$(0,0)$$, sumbu mayor sepanjang $$12$$ dan sumbu minor sepanjang $$8$$, dengan sumbu mayor horizontal.
2. Diketahui elips $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$. Tentukan koordinat fokus dan eksentrisitas elips tersebut.
3. Sebuah elips memiliki pusat di $$(3, -1)$$, fokus di $$(3, 2)$$ dan $$(3, -4)$$, serta panjang sumbu minor $$6$$. Tentukan persamaan elips tersebut.
4. Tentukan persamaan elips yang melalui titik $$(4, 3)$$ dan $$(6, 2)$$ dengan pusat di $$(0, 0)$$ dan sumbu mayor horizontal.
Visible text: 1. Tentukan persamaan elips dengan pusat di , sumbu mayor sepanjang dan sumbu minor sepanjang , dengan sumbu mayor horizontal.
2. Diketahui elips . Tentukan koordinat fokus dan eksentrisitas elips tersebut.
3. Sebuah elips memiliki pusat di , fokus di dan , serta panjang sumbu minor . Tentukan persamaan elips tersebut.
4. Tentukan persamaan elips yang melalui titik dan dengan pusat di dan sumbu mayor horizontal.
### Kunci Jawaban
1. **Penyelesaian**:
Diketahui:
- Pusat di $$(0,0)$$
- Panjang sumbu mayor adalah $$12$$, jadi $$2a = 12$$, maka $$a = 6$$
- Panjang sumbu minor adalah $$8$$, jadi $$2b = 8$$, maka $$b = 4$$
- Sumbu mayor horizontal
Persamaan elips dengan sumbu mayor horizontal:
```math
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
```
Substitusi nilai $$a = 6$$ dan $$b = 4$$:
```math
\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1
```
2. **Penyelesaian**:
Dari persamaan $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$:
- $$a^2 = 25$$, jadi $$a = 5$$
- $$b^2 = 16$$, jadi $$b = 4$$
Karena $$a^2 > b^2$$, sumbu mayor horizontal.
Hitung $$c$$:
```math
c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9
```
```math
c = 3
```
Koordinat fokus: $$(\pm 3, 0)$$ yaitu $$(-3, 0)$$ dan $$(3, 0)$$
Eksentrisitas:
```math
e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0{,}6
```
3. **Penyelesaian**:
Diketahui:
- Pusat: $$(3, -1)$$
- Fokus: $$(3, 2)$$ dan $$(3, -4)$$
- Panjang sumbu minor adalah $$6$$, jadi $$2b = 6$$, maka $$b = 3$$
Karena fokus punya koordinat $$x$$ yang sama ($$x = 3$$), sumbu mayor vertikal.
```math
\text{Jarak antar fokus} = |2 - (-4)| = 6
```
jadi $$2c = 6$$, maka $$c = 3$$
Hitung $$a$$:
```math
c^2 = a^2 - b^2
```
```math
9 = a^2 - 9
```
```math
a^2 = 18
```
```math
a = 3\sqrt{2}
```
Persamaan elips dengan pusat $$(h,k) = (3,-1)$$ dan sumbu mayor vertikal:
```math
\frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{18} = 1
```
4. **Penyelesaian**:
Elips dengan pusat $$(0,0)$$ dan sumbu mayor horizontal punya persamaan:
```math
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
```
Substitusi titik $$(4,3)$$:
```math
\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1 \quad \text{...(1)}
```
Substitusi titik $$(6,2)$$:
```math
\frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \quad \text{...(2)}
```
Misalkan $$u = \frac{1}{a^2}$$ dan $$v = \frac{1}{b^2}$$, maka:
```math
16u + 9v = 1 \quad \text{...(1)}
```
```math
36u + 4v = 1 \quad \text{...(2)}
```
Dari persamaan ($$1$$): $$v = \frac{1-16u}{9}$$
Substitusi ke persamaan ($$2$$):
```math
36u + 4 \cdot \frac{1-16u}{9} = 1
```
```math
36u + \frac{4-64u}{9} = 1
```
```math
324u + 4 - 64u = 9
```
```math
260u = 5
```
```math
u = \frac{1}{52}
```
Maka $$a^2 = 52$$
Substitusi kembali:
```math
v = \frac{1-16 \cdot \frac{1}{52}}{9} = \frac{1-\frac{16}{52}}{9} = \frac{\frac{36}{52}}{9} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
```
Maka $$b^2 = 13$$
Persamaan elips: $$\frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13} = 1$$
Visible text: 1. **Penyelesaian**:
Diketahui:
- Pusat di
- Panjang sumbu mayor adalah , jadi , maka
- Panjang sumbu minor adalah , jadi , maka
- Sumbu mayor horizontal
Persamaan elips dengan sumbu mayor horizontal:
Substitusi nilai dan :
2. **Penyelesaian**:
Dari persamaan :
- , jadi
- , jadi
Karena , sumbu mayor horizontal.
Hitung :
Koordinat fokus: yaitu dan
Eksentrisitas:
3. **Penyelesaian**:
Diketahui:
- Pusat:
- Fokus: dan
- Panjang sumbu minor adalah , jadi , maka
Karena fokus punya koordinat yang sama (), sumbu mayor vertikal.
jadi , maka
Hitung :
Persamaan elips dengan pusat dan sumbu mayor vertikal:
4. **Penyelesaian**:
Elips dengan pusat dan sumbu mayor horizontal punya persamaan:
Substitusi titik :
Substitusi titik :
Misalkan dan , maka:
Dari persamaan ():
Substitusi ke persamaan ():
Maka
Substitusi kembali:
Maka
Persamaan elips: