# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/geometri-analitik/garis-singgung-pada-irisan-kerucut
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/tangent-line-to-conic-sections/id.mdx
Pelajari garis singgung parabola, elips, dan hiperbola dengan prinsip bagi adil. Temukan persamaan untuk titik pada kurva, gradien tertentu, dan titik luar.
---
## Konsep Garis Singgung
Pernah gak kalian lihat bola basket yang pas banget menyentuh ring? Di titik sentuh itu, bola cuma **menyentuh satu titik** aja tanpa tembus ring. Konsep seperti ini yang kita sebut garis singgung dalam matematika!
Garis singgung pada irisan kerucut itu **garis yang menyentuh kurva tepat di satu titik** saja. Beda sama garis secant yang memotong kurva di dua titik, garis singgung cuma bersentuhan di satu titik dan gak memotong kurva sama sekali.
Bayangin aja kalau kalian punya parabola $$y = x^2$$. Garis singgung akan menyentuh parabola di satu titik tertentu, sedangkan garis secant akan memotong parabola di dua titik yang berbeda.
Visible text: Bayangin aja kalau kalian punya parabola . Garis singgung akan menyentuh parabola di satu titik tertentu, sedangkan garis secant akan memotong parabola di dua titik yang berbeda.
Untuk irisan kerucut seperti parabola, elips, dan hiperbola, ada beberapa cara buat menentukan persamaan garis singgungnya tergantung informasi yang kita punya.
## Titik pada Kurva
Kalau kita sudah tau titik singgungnya di mana, menentukan garis singgung jadi gampang banget! Konsep dasarnya pakai **prinsip bagi adil** yang praktis untuk irisan kerucut.
### Prinsip Bagi Adil
Untuk menentukan garis singgung lewat titik $$T(x_1, y_1)$$ pada irisan kerucut, kita bisa pakai prinsip bagi adil. Caranya gampang, yaitu **bagi setiap pangkat dua jadi pangkat satu** pada titik singgung.
Visible text: Untuk menentukan garis singgung lewat titik pada irisan kerucut, kita bisa pakai prinsip bagi adil. Caranya gampang, yaitu **bagi setiap pangkat dua jadi pangkat satu** pada titik singgung.
Misalnya, kalau kita punya parabola $$y^2 = 4px$$ dan titik singgung $$T(x_1, y_1)$$, maka persamaan garis singgungnya jadi:
Visible text: Misalnya, kalau kita punya parabola dan titik singgung , maka persamaan garis singgungnya jadi:
```math
yy_1 = 2p(x + x_1)
```
Coba kita ambil contoh parabola $$y^2 = 8x$$ di titik $$(2, 4)$$.
Visible text: Coba kita ambil contoh parabola di titik .
Dari parabola $$y^2 = 8x$$, kita tau $$4p = 8$$ jadi $$p = 2$$. Garis singgung di titik $$(2, 4)$$ adalah:
Visible text: Dari parabola , kita tau jadi . Garis singgung di titik adalah:
Component: MathContainer
Children:
```math
y \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot (x + 2)
```
```math
4y = 4(x + 2)
```
```math
y = x + 2
```
> Prinsip bagi adil ini bikin perhitungan jadi lebih mudah! Kita gak perlu ribet hitung turunan. Cukup "bagi" setiap pangkat dua jadi perkalian sama koordinat titik singgung!
## Gradien Tertentu
Kadang kita malah gak tau titik singgungnya, tapi kita tau **kemiringan** atau gradien garis singgungnya. Dalam kasus seperti ini, kita substitusikan persamaan garis dengan gradien $$m$$ ke persamaan irisan kerucutnya.
Visible text: Kadang kita malah gak tau titik singgungnya, tapi kita tau **kemiringan** atau gradien garis singgungnya. Dalam kasus seperti ini, kita substitusikan persamaan garis dengan gradien ke persamaan irisan kerucutnya.
Contohnya nih, kita mau cari garis singgung hiperbola $$4x^2 - 9y^2 = 36$$ yang tegak lurus sama garis $$x + 4y + 10 = 0$$.
Visible text: Contohnya nih, kita mau cari garis singgung hiperbola yang tegak lurus sama garis .
Langkah pertama, kita tentuin dulu gradien garis singgungnya. Karena garis singgung tegak lurus terhadap $$x + 4y + 10 = 0$$, maka gradien garis asalnya $$m_g = -\frac{1}{4}$$ jadi gradien garis singgungnya $$m_s = 4$$.
Visible text: Langkah pertama, kita tentuin dulu gradien garis singgungnya. Karena garis singgung tegak lurus terhadap , maka gradien garis asalnya jadi gradien garis singgungnya .
Persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien $$m$$ itu $$y = mx + c$$. Kita substitusikan ke persamaan hiperbolanya:
Visible text: Persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien itu . Kita substitusikan ke persamaan hiperbolanya:
Component: MathContainer
Children:
```math
4x^2 - 9(4x + c)^2 = 36
```
```math
4x^2 - 9(16x^2 + 8cx + c^2) = 36
```
```math
-140x^2 - 72cx - 9c^2 = 36
```
Buat garis singgung, diskriminannya harus nol:
```math
D = (-72c)^2 - 4(-140)(-9c^2) = 0
```
Jadi diperoleh $$c = 0$$ dan persamaan garis singgungnya adalah $$y = 4x$$.
Visible text: Jadi diperoleh dan persamaan garis singgungnya adalah .
## Titik Luar Kurva
Kalau titiknya ada di luar irisan kerucut, kita bisa punya **dua garis singgung** yang bisa ditarik dari titik itu ke kurva. Konsepnya mirip kayak narik garis dari titik luar lingkaran.
Contohnya, ambil parabola $$y^2 = 8x$$ dengan titik $$A(2, 5)$$. Dari titik $$A$$ ini, kita bisa tarik dua garis singgung yang berbeda ke parabola.
Visible text: Contohnya, ambil parabola dengan titik . Dari titik ini, kita bisa tarik dua garis singgung yang berbeda ke parabola.
Untuk menentukan persamaan garis singgung lewat titik luar, kita pakai persamaan kutub atau polar. Untuk parabola $$y^2 = 8x$$ dengan titik $$A(2,5)$$, persamaan kutubnya adalah:
Visible text: Untuk menentukan persamaan garis singgung lewat titik luar, kita pakai persamaan kutub atau polar. Untuk parabola dengan titik , persamaan kutubnya adalah:
```math
yy_1 = 4(x + x_1)
```
Substitusikan $$x_1 = 2$$ dan $$y_1 = 5$$:
Visible text: Substitusikan dan :
Component: MathContainer
Children:
```math
5y = 4(x + 2)
```
```math
5y = 4x + 8
```
```math
y = \frac{4x + 8}{5}
```
Sekarang kita substitusikan ke persamaan parabola untuk cari titik singgungnya:
Component: MathContainer
Children:
```math
\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x
```
```math
\frac{16x^2 + 64x + 64}{25} = 8x
```
```math
16x^2 + 64x + 64 = 200x
```
```math
16x^2 - 136x + 64 = 0
```
```math
2x^2 - 17x + 8 = 0
```
Pakai rumus kuadrat, kita dapet $$x_1 = \frac{1}{2}$$ dan $$x_2 = 8$$. Jadi titik singgungnya ada di $$(\frac{1}{2}, 2)$$ dan $$(8, 8)$$.
Visible text: Pakai rumus kuadrat, kita dapet dan . Jadi titik singgungnya ada di dan .
## Ringkasan Rumus
Ini dia tabel lengkap persamaan irisan kerucut dan persamaan garis singgungnya. Simpan baik-baik ya, soalnya ini bakalan kepake terus!
| Irisan Kerucut | Persamaan Garis Singgung |
|---|---|
| $$y^2 = 4px$$ | $$yy_1 = 2p(x + x_1)$$ |
| $$x^2 = 4py$$ | $$xx_1 = 2p(y + y_1)$$ |
| $$(x - m)^2 = 4p(y - n)$$ | $$(x - m)(x_1 - m) = 2p(y - n)(y_1 - n)$$ |
| $$(y - m)^2 = 4p(x - n)$$ | $$(y - m)(y_1 - m) = 2p(x - n)(x_1 - n)$$ |
| $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{yy_1}{a^2} - \frac{xx_1}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{(x-m)(x_1-m)}{a^2} + \frac{(y-n)(y_1-n)}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{(x-m)(x_1-m)}{a^2} - \frac{(y-n)(y_1-n)}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{(y-n)^2}{a^2} - \frac{(x-m)^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{(y-n)(y_1-n)}{a^2} - \frac{(x-m)(x_1-m)}{b^2} = 1$$ |
Visible text: | Irisan Kerucut | Persamaan Garis Singgung |
|---|---|
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
> Semua rumus ini berdasarkan prinsip bagi adil yang bikin perhitungan lebih gampang! Gak perlu ribet-ribet pake kalkulus segala.
## Latihan
1. Cari persamaan garis singgung parabola $$y^2 = 12x$$ di titik $$(3, 6)$$.
2. Ada hiperbola $$4x^2 - 9y^2 = 36$$. Cari persamaan garis singgung yang tegak lurus sama garis $$x + 4y + 10 = 0$$.
3. Cari persamaan garis singgung elips $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$ yang lewat titik $$A(1, 3)$$.
4. Ada parabola $$y^2 = 8x$$. Cari persamaan garis singgung parabola ini yang lewat titik $$A(2, 5)$$.
Visible text: 1. Cari persamaan garis singgung parabola di titik .
2. Ada hiperbola . Cari persamaan garis singgung yang tegak lurus sama garis .
3. Cari persamaan garis singgung elips yang lewat titik .
4. Ada parabola . Cari persamaan garis singgung parabola ini yang lewat titik .
### Kunci Jawaban
1. **Jawaban**:
Yang diketahui: parabola $$y^2 = 12x$$ dengan titik singgung $$(3, 6)$$.
Dari persamaan $$y^2 = 12x$$, kita dapat $$4p = 12$$ jadi $$p = 3$$.
Pakai rumus garis singgung parabola:
```math
yy_1 = 2p(x + x_1)
```
```math
y \cdot 6 = 2 \cdot 3 \cdot (x + 3)
```
```math
6y = 6(x + 3)
```
```math
6y = 6x + 18
```
```math
y = x + 3
```
Jadi persamaan garis singgungnya $$y = x + 3$$.
2. **Jawaban**:
Yang diketahui: hiperbola $$4x^2 - 9y^2 = 36$$ atau $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$$.
Garis $$x + 4y + 10 = 0$$ punya gradien $$m = -\frac{1}{4}$$.
Karena garis singgungnya tegak lurus sama garis itu, maka gradien garis singgungnya:
```math
m_s = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = 4
```
Rumus garis singgung hiperbola dengan gradien $$m$$:
```math
y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}
```
Dengan $$a^2 = 9$$, $$b^2 = 4$$, dan $$m = 4$$:
```math
y = 4x \pm \sqrt{9 \cdot 16 - 4}
```
```math
y = 4x \pm \sqrt{144 - 4}
```
```math
y = 4x \pm \sqrt{140}
```
```math
y = 4x \pm 2\sqrt{35}
```
Jadi persamaan garis singgungnya $$y = 4x + 2\sqrt{35}$$ atau $$y = 4x - 2\sqrt{35}$$.
3. **Jawaban**:
Yang diketahui: elips $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$ dan titik $$A(1, 3)$$.
Cek dulu nih, apakah titik $$A(1, 3)$$ ada di elipsnya:
```math
\frac{1^2}{9} + \frac{3^2}{4} = \frac{1}{9} + \frac{9}{4} = \frac{4 + 81}{36} = \frac{85}{36} > 1
```
Karena $$\frac{85}{36} > 1$$, titik $$A$$ ada di luar elips.
Pakai persamaan kutub elips:
```math
\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1
```
Substitusikan $$x_1 = 1$$ dan $$y_1 = 3$$:
```math
\frac{x \cdot 1}{9} + \frac{y \cdot 3}{4} = 1
```
```math
\frac{x}{9} + \frac{3y}{4} = 1
```
```math
4x + 27y = 36
```
Kalau mau cari titik singgungnya, substitusikan persamaan ini ke persamaan elips. Dari $$4x + 27y = 36$$, kita dapat $$x = \frac{36 - 27y}{4}$$.
Substitusikan ke persamaan elips dan selesaikan untuk mendapat dua titik singgung.
Jadi persamaan garis singgungnya $$4x + 27y = 36$$.
4. **Jawaban**:
Yang diketahui: parabola $$y^2 = 8x$$ dan titik $$A(2, 5)$$.
Cek dulu apakah titik $$A(2, 5)$$ ada di parabolanya:
```math
5^2 = 25 \neq 8 \cdot 2 = 16
```
Titik $$A$$ ada di luar parabola.
Pakai persamaan kutub parabola dengan $$p = 2$$:
```math
yy_1 = 4(x + x_1)
```
Substitusikan $$x_1 = 2$$ dan $$y_1 = 5$$:
```math
5y = 4(x + 2)
```
```math
5y = 4x + 8
```
```math
y = \frac{4x + 8}{5}
```
Substitusikan ke persamaan parabola:
```math
\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x
```
```math
\frac{(4x + 8)^2}{25} = 8x
```
```math
(4x + 8)^2 = 200x
```
```math
16x^2 + 64x + 64 = 200x
```
```math
16x^2 - 136x + 64 = 0
```
```math
2x^2 - 17x + 8 = 0
```
Pakai rumus kuadrat:
```math
x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{17 \pm 15}{4}
```
Jadi $$x_1 = \frac{1}{2}$$ dan $$x_2 = 8$$.
Titik singgungnya ada di $$(\frac{1}{2}, 2)$$ dan $$(8, 8)$$.
Persamaan garis singgung lewat $$(\frac{1}{2}, 2)$$:
```math
y - 2 = \frac{2 - 5}{\frac{1}{2} - 2}(x - \frac{1}{2}) = \frac{-3}{-\frac{3}{2}}(x - \frac{1}{2}) = 2(x - \frac{1}{2})
```
Jadi $$y = 2x + 1$$.
Persamaan garis singgung lewat $$(8, 8)$$:
```math
y - 8 = \frac{8 - 5}{8 - 2}(x - 8) = \frac{3}{6}(x - 8) = \frac{1}{2}(x - 8)
```
Jadi $$y = \frac{1}{2}x + 4$$.
Persamaan garis singgungnya adalah $$y = 2x + 1$$ dan $$y = \frac{1}{2}x + 4$$.
Visible text: 1. **Jawaban**:
Yang diketahui: parabola dengan titik singgung .
Dari persamaan , kita dapat jadi .
Pakai rumus garis singgung parabola:
Jadi persamaan garis singgungnya .
2. **Jawaban**:
Yang diketahui: hiperbola atau .
Garis punya gradien .
Karena garis singgungnya tegak lurus sama garis itu, maka gradien garis singgungnya:
Rumus garis singgung hiperbola dengan gradien :
Dengan , , dan :
Jadi persamaan garis singgungnya atau .
3. **Jawaban**:
Yang diketahui: elips dan titik .
Cek dulu nih, apakah titik ada di elipsnya:
Karena , titik ada di luar elips.
Pakai persamaan kutub elips:
Substitusikan dan :
Kalau mau cari titik singgungnya, substitusikan persamaan ini ke persamaan elips. Dari , kita dapat .
Substitusikan ke persamaan elips dan selesaikan untuk mendapat dua titik singgung.
Jadi persamaan garis singgungnya .
4. **Jawaban**:
Yang diketahui: parabola dan titik .
Cek dulu apakah titik ada di parabolanya:
Titik ada di luar parabola.
Pakai persamaan kutub parabola dengan :
Substitusikan dan :
Substitusikan ke persamaan parabola:
Pakai rumus kuadrat:
Jadi dan .
Titik singgungnya ada di dan .
Persamaan garis singgung lewat :
Jadi .
Persamaan garis singgung lewat :
Jadi .
Persamaan garis singgungnya adalah dan .