# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/geometri-analitik/hiperbola
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/hyperbola/id.mdx

Pelajari konsep hiperbola: fokus, asimtot, dan persamaan x²/a² - y²/b² = 1. Pelajari eksentrisitas, puncak, dan selesaikan soal dengan contoh bertahap.

---

## Apa itu Hiperbola?

Kamu pernah lihat bentuk menara pendingin di pembangkit listrik? Atau mungkin pernah memperhatikan bayangan cahaya senter di dinding yang membentuk kurva terbuka? Nah, bentuk-bentuk seperti itu adalah contoh **hiperbola** dalam kehidupan nyata!

Hiperbola adalah kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang memotong kerucut ganda dengan sudut tertentu. Berbeda dengan elips yang membentuk kurva tertutup, hiperbola justru terbentuk dari **dua kurva terpisah** yang saling berhadapan.

Secara matematis, hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang **selisih absolut jaraknya terhadap dua titik tetap selalu konstan**. Kedua titik tetap ini disebut **fokus** hiperbola. Untuk setiap titik $$P$$ pada hiperbola, selisih $$|PF_1 - PF_2| = 2a$$ (konstan), sedangkan di [elips](/id/materi/matematika/geometri-analitik/elips) jumlah jaraknya yang konstan: $$PF_1 + PF_2 = 2a$$.

Visible text: Secara matematis, hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang **selisih absolut jaraknya terhadap dua titik tetap selalu konstan**. Kedua titik tetap ini disebut **fokus** hiperbola. Untuk setiap titik pada hiperbola, selisih (konstan), sedangkan di [elips](/id/materi/matematika/geometri-analitik/elips) jumlah jaraknya yang konstan: .

Component: LineEquation
Props:
- title: Konsep Dasar Hiperbola
- description: Hiperbola dengan dua fokus menunjukkan selisih jarak yang konstan
- data: [
{
points: (() => {
const points = [];
const a = 3;
const b = 2;
const c = Math.sqrt(a * a + b * b);

// Right branch of hyperbola
for (let t = -2; t <= 2; t += 0.1) {
const x = a * Math.cosh(t);
const y = b * Math.sinh(t);
points.push({ x, y, z: 0 });
}
return points;
})(),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const points = [];
const a = 3;
const b = 2;

// Left branch of hyperbola
for (let t = -2; t <= 2; t += 0.1) {
const x = -a * Math.cosh(t);
const y = b * Math.sinh(t);
points.push({ x, y, z: 0 });
}
return points;
})(),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const a = 3;
const b = 2;
const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
return [
{ x: -c, y: 0, z: 0 },
{ x: c, y: 0, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -6, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -4, z ... [truncated; 1294 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Lihat visualisasi di atas! Hiperbola punya dua cabang yang terpisah. Untuk setiap titik $$P$$ yang ada di hiperbola, selisih jarak dari $$P$$ ke kedua fokus $$F_1$$ dan $$F_2$$ selalu konstan.

Visible text: Lihat visualisasi di atas! Hiperbola punya dua cabang yang terpisah. Untuk setiap titik yang ada di hiperbola, selisih jarak dari ke kedua fokus dan selalu konstan.

## Komponen Hiperbola

Sebelum masuk ke rumus-rumus, yuk kenalan dulu sama bagian-bagian penting dari hiperbola. Setiap komponen ini punya peran tersendiri dalam menentukan bentuk dan sifat hiperbola.

Component: LineEquation
Props:
- title: Bagian-bagian Hiperbola
- description: Komponen penting hiperbola dengan sumbu utama horizontal.
- data: [
{
points: (() => {
const points = [];
const a = 3;
const b = 2.5;

// Right branch
for (let t = -1.5; t <= 1.5; t += 0.1) {
const x = a * Math.cosh(t);
const y = b * Math.sinh(t);
points.push({ x, y, z: 0 });
}
return points;
})(),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const points = [];
const a = 3;
const b = 2.5;

// Left branch
for (let t = -1.5; t <= 1.5; t += 0.1) {
const x = -a * Math.cosh(t);
const y = b * Math.sinh(t);
points.push({ x, y, z: 0 });
}
return points;
})(),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Pusat", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const a = 3;
const b = 2.5;
const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
return [
{ x: -c, y: 0, z: 0 },
{ x: c, y: 0, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: "A₂", at: 1, offset: [0.5, 0 ... [truncated; 1585 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Komponen-komponen hiperbola yang perlu kamu ketahui:

1. **Pusat hiperbola** adalah titik tengah antara kedua fokus, biasanya dilambangkan dengan $$O$$.

2. **Fokus** ($$F_1$$ dan $$F_2$$) adalah dua titik tetap yang menjadi acuan definisi hiperbola. Jarak antara kedua fokus disebut jarak fokal.

3. **Puncak** ($$A_1$$ dan $$A_2$$) adalah titik-titik terdekat antara kedua cabang hiperbola. Garis yang menghubungkan kedua puncak disebut sumbu utama.

4. **Sumbu utama** adalah garis yang melewati pusat dan kedua fokus hiperbola.

5. **Asimtot** adalah garis-garis yang didekati oleh cabang hiperbola saat menuju tak hingga. Hiperbola tidak pernah menyentuh asimtotnya, tapi semakin jauh dari pusat, kurva semakin mendekati garis asimtot.

Visible text: 1. **Pusat hiperbola** adalah titik tengah antara kedua fokus, biasanya dilambangkan dengan .

2. **Fokus** ( dan ) adalah dua titik tetap yang menjadi acuan definisi hiperbola. Jarak antara kedua fokus disebut jarak fokal.

3. **Puncak** ( dan ) adalah titik-titik terdekat antara kedua cabang hiperbola. Garis yang menghubungkan kedua puncak disebut sumbu utama.

4. **Sumbu utama** adalah garis yang melewati pusat dan kedua fokus hiperbola.

5. **Asimtot** adalah garis-garis yang didekati oleh cabang hiperbola saat menuju tak hingga. Hiperbola tidak pernah menyentuh asimtotnya, tapi semakin jauh dari pusat, kurva semakin mendekati garis asimtot.

> Perbedaan utama hiperbola dengan elips: hiperbola punya asimtot dan terdiri dari dua cabang terpisah, sedangkan elips adalah kurva tertutup tanpa asimtot.

## Persamaan Hiperbola

Ada beberapa bentuk tergantung orientasi dan posisi pusatnya. Kita akan bahas dua kasus:

### Pusat di Titik Asal

Kalau pusat hiperbola ada di $$O(0,0)$$, ada dua kemungkinan orientasi:

Visible text: Kalau pusat hiperbola ada di , ada dua kemungkinan orientasi:

Component: LineEquation
Props:
- title: Sumbu Utama Horizontal
- description: Hiperbola $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ dengan sumbu utama horizontal.
  Visible text: Hiperbola dengan sumbu utama horizontal.
- data: [
{
points: (() => {
const points = [];
const a = 3;
const b = 2;

// Right branch
for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) {
const x = a * Math.cosh(t);
const y = b * Math.sinh(t);
points.push({ x, y, z: 0 });
}
return points;
})(),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const points = [];
const a = 3;
const b = 2;

// Left branch
for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) {
const x = -a * Math.cosh(t);
const y = b * Math.sinh(t);
points.push({ x, y, z: 0 });
}
return points;
})(),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const a = 3;
const b = 2;
const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
return [
{ x: -c, y: 0, z: 0 },
{ x: c, y: 0, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: "A₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0 ... [truncated; 1457 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Ketika sumbu utama sejajar dengan sumbu $$X$$ (horizontal), persamaan hiperbola adalah:

Visible text: Ketika sumbu utama sejajar dengan sumbu (horizontal), persamaan hiperbola adalah:

```math
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
```

Kalau kita visualisasikan, akan terlihat seperti ini:

Component: LineEquation
Props:
- title: Sumbu Utama Vertikal
- description: Hiperbola $$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$ dengan sumbu utama vertikal.
  Visible text: Hiperbola dengan sumbu utama vertikal.
- data: [
{
points: (() => {
const points = [];
const a = 3;
const b = 2;

// Top branch
for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) {
const x = b * Math.sinh(t);
const y = a * Math.cosh(t);
points.push({ x, y, z: 0 });
}
return points;
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const points = [];
const a = 3;
const b = 2;

// Bottom branch
for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) {
const x = b * Math.sinh(t);
const y = -a * Math.cosh(t);
points.push({ x, y, z: 0 });
}
return points;
})(),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const a = 3;
const b = 2;
const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
return [
{ x: 0, y: -c, z: 0 },
{ x: 0, y: c, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "F₁", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] },
{ text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: -3, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 }
],
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A₁", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] },
{ text: "A₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] ... [truncated; 1455 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Ketika sumbu utama sejajar dengan sumbu $$Y$$ (vertikal), persamaan hiperbola adalah:

Visible text: Ketika sumbu utama sejajar dengan sumbu (vertikal), persamaan hiperbola adalah:

```math
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1
```

### Pusat Berpindah

Kalau pusat hiperbola bukan di titik asal, tapi di titik $$(h, k)$$, persamaannya menjadi:

Visible text: Kalau pusat hiperbola bukan di titik asal, tapi di titik , persamaannya menjadi:

Component: MathContainer
Children:

```math
\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(sumbu utama horizontal)}
```

```math
\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(sumbu utama vertikal)}
```

## Sifat Penting Hiperbola

Ada beberapa hubungan matematika yang selalu berlaku untuk setiap hiperbola:

```math
c^2 = a^2 + b^2
```

di mana:

- $$a$$ adalah jarak dari pusat ke puncak (semi-sumbu utama)
- $$b$$ adalah konstanta yang menentukan bentuk hiperbola (semi-sumbu konjugat)
- $$c$$ adalah jarak dari pusat ke fokus

Visible text: - adalah jarak dari pusat ke puncak (semi-sumbu utama)
- adalah konstanta yang menentukan bentuk hiperbola (semi-sumbu konjugat)
- adalah jarak dari pusat ke fokus

Hubungan ini berbeda dengan elips yang menggunakan $$c^2 = a^2 - b^2$$.

Visible text: Hubungan ini berbeda dengan elips yang menggunakan .

**Eksentrisitas** hiperbola didefinisikan sebagai:

```math
e = \frac{c}{a}
```

Nilai eksentrisitas hiperbola selalu $$e > 1$$. Ini karena $$c > a$$ (dari hubungan $$c^2 = a^2 + b^2$$, maka $$c = \sqrt{a^2 + b^2} > a$$). Semakin besar nilai $$e$$, hiperbola semakin "terbuka" atau lebar. Sebagai perbandingan: lingkaran memiliki $$e = 0$$, elips memiliki $$0 < e < 1$$, parabola memiliki $$e = 1$$, dan hiperbola memiliki $$e > 1$$.

Visible text: Nilai eksentrisitas hiperbola selalu . Ini karena (dari hubungan , maka ). Semakin besar nilai , hiperbola semakin "terbuka" atau lebar. Sebagai perbandingan: lingkaran memiliki , elips memiliki , parabola memiliki , dan hiperbola memiliki .

**Persamaan asimtot** untuk hiperbola dengan pusat di $$(0,0)$$:

Visible text: **Persamaan asimtot** untuk hiperbola dengan pusat di :

Component: MathContainer
Children:

```math
y = \pm \frac{b}{a}x \quad \text{(sumbu utama horizontal)}
```

```math
y = \pm \frac{a}{b}x \quad \text{(sumbu utama vertikal)}
```

> Asimtot adalah "panduan" bagi cabang hiperbola. Semakin jauh dari pusat, kurva hiperbola semakin mendekati garis asimtot, tapi tidak pernah menyentuhnya.

## Latihan

1. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di $$(0,0)$$, puncak di $$(\pm 2, 0)$$, dan fokus di $$(\pm 3, 0)$$.

2. Diketahui hiperbola $$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$$. Tentukan koordinat fokus, eksentrisitas, dan persamaan asimtot.

3. Sebuah hiperbola memiliki pusat di $$(1, -2)$$, sumbu utama horizontal, $$a = 3$$, dan $$b = 4$$. Tentukan persamaan hiperbola tersebut.

4. Tentukan persamaan asimtot dari hiperbola $$\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$$.

Visible text: 1. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di , puncak di , dan fokus di .

2. Diketahui hiperbola . Tentukan koordinat fokus, eksentrisitas, dan persamaan asimtot.

3. Sebuah hiperbola memiliki pusat di , sumbu utama horizontal, , dan . Tentukan persamaan hiperbola tersebut.

4. Tentukan persamaan asimtot dari hiperbola .

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian**:

   Diketahui:
   - Pusat di $$(0,0)$$
   - Puncak di $$(\pm 2, 0)$$, jadi $$a = 2$$
   - Fokus di $$(\pm 3, 0)$$, jadi $$c = 3$$
   - Sumbu utama horizontal (karena puncak dan fokus di sumbu $$X$$)

   Gunakan hubungan $$c^2 = a^2 + b^2$$:

   <MathContainer>
     
     
     ```math
     3^2 = 2^2 + b^2
     ```

     
     
     ```math
     9 = 4 + b^2
     ```

     
     
     ```math
     b^2 = 5
     ```

   </MathContainer>

   Persamaan hiperbola dengan sumbu utama horizontal:

   
     
     ```math
     \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
     ```

2. **Penyelesaian**:

   Dari persamaan $$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$$:
   - $$a^2 = 25$$, jadi $$a = 5$$
   - $$b^2 = 9$$, jadi $$b = 3$$

   Karena bentuk $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$, sumbu utama horizontal.

   Hitung $$c$$:

   <MathContainer>
     
     
     ```math
     c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 9 = 34
     ```

     
     
     ```math
     c = \sqrt{34} \approx 5{,}831
     ```

   </MathContainer>

   Koordinat fokus: $$(\pm \sqrt{34}, 0)$$

   Eksentrisitas:

   
     
     ```math
     e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx \frac{5{,}831}{5} \approx 1{,}166
     ```

   Persamaan asimtot (sumbu utama horizontal):

   
     
     ```math
     y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{5}x
     ```

3. **Penyelesaian**:

   Diketahui:
   - Pusat: $$(h,k) = (1, -2)$$
   - Sumbu utama horizontal
   - $$a = 3$$, jadi $$a^2 = 9$$
   - $$b = 4$$, jadi $$b^2 = 16$$

   Persamaan hiperbola dengan pusat $$(h,k)$$ dan sumbu utama horizontal:

   
     
     ```math
     \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
     ```

   Substitusi nilai:

   
     
     ```math
     \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1
     ```

4. **Penyelesaian**:

   Dari persamaan $$\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$$:
   - Pusat: $$(h,k) = (2, -1)$$
   - $$a^2 = 4$$, jadi $$a = 2$$
   - $$b^2 = 9$$, jadi $$b = 3$$
   - Sumbu utama vertikal (karena bentuk $$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$)

   Untuk hiperbola dengan pusat $$(h,k)$$ dan sumbu utama vertikal, persamaan asimtot:

   
     
     ```math
     y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)
     ```

   Substitusi nilai:

   <MathContainer>
     
     
     ```math
     y - (-1) = \pm \frac{2}{3}(x - 2)
     ```

     
     
     ```math
     y + 1 = \pm \frac{2}{3}(x - 2)
     ```

     
     
     ```math
     y = -1 \pm \frac{2}{3}(x - 2)
     ```

   </MathContainer>

    Jadi persamaan asimtotnya:

    <MathContainer>
      
     
     ```math
     y = -1 + \frac{2}{3}(x - 2)
     ```

      
     
     ```math
     y = -1 - \frac{2}{3}(x - 2)
     ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. **Penyelesaian**:

 Diketahui:
 - Pusat di 
 - Puncak di , jadi 
 - Fokus di , jadi 
 - Sumbu utama horizontal (karena puncak dan fokus di sumbu )

 Gunakan hubungan :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Persamaan hiperbola dengan sumbu utama horizontal:

 
 

2. **Penyelesaian**:

 Dari persamaan :
 - , jadi 
 - , jadi 

 Karena bentuk , sumbu utama horizontal.

 Hitung :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Koordinat fokus: 

 Eksentrisitas:

 
 

 Persamaan asimtot (sumbu utama horizontal):

 
 

3. **Penyelesaian**:

 Diketahui:
 - Pusat: 
 - Sumbu utama horizontal
 - , jadi 
 - , jadi 

 Persamaan hiperbola dengan pusat dan sumbu utama horizontal:

 
 

 Substitusi nilai:

 
 

4. **Penyelesaian**:

 Dari persamaan :
 - Pusat: 
 - , jadi 
 - , jadi 
 - Sumbu utama vertikal (karena bentuk )

 Untuk hiperbola dengan pusat dan sumbu utama vertikal, persamaan asimtot:

 
 

 Substitusi nilai:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Jadi persamaan asimtotnya:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>