# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/geometri-analitik/kedudukan-garis-singgung-lingkaran
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/position-of-a-tangent-line-to-a-circle/id.mdx

Pelajari cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik, dengan gradien tertentu, dan dari titik luar. Visualisasi interaktif dan contoh.

---

## Memahami Garis Singgung Lingkaran

Bayangkan kamu sedang mengendarai sepeda di trek yang berbentuk lingkaran. Pada suatu titik, kamu memutuskan untuk keluar dari trek tersebut dalam garis lurus. Nah, garis lurus yang kamu tempuh itulah yang disebut **garis singgung** terhadap lingkaran trek.

Secara matematis, garis singgung lingkaran adalah garis lurus yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik saja. Titik persentuhan ini disebut **titik singgung**. Yang menarik adalah, garis singgung selalu **tegak lurus** terhadap jari-jari lingkaran di titik singgung tersebut.

Konsep ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi, seperti mendesain jalan raya yang keluar dari bundaran, menentukan lintasan benda yang bergerak meninggalkan orbit melingkar, atau bahkan dalam bidang optik untuk menentukan arah pantulan cahaya.

## Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana. Ketika kita sudah tahu titik singgungnya, menentukan persamaan garis singgung menjadi relatif mudah.

Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran
- description: Visualisasi garis singgung yang melalui titik tertentu pada lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
const angle = Math.PI / 4;
const radius = 3;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "T", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI / 4;
const radius = 3;
const tangentPoint = {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
};
const radiusSlope = tangentPoint.y / tangentPoint.x;
const tangentSlope = -1 / radiusSlope;

const xRange = 4;
return {
x: tangentPoint.x + (i - 0.5) * xRange,
y: tangentPoint.y + tangentSlope * (i - 0.5) * xRange,
z: 0,
};
}),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Garis Singgung", at: 1, offset: ... [truncated; 1952 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Untuk lingkaran dengan persamaan $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ dan titik singgung $$T(x_1, y_1)$$, kita bisa menentukan persamaan garis singgungnya dengan langkah berikut:

Visible text: Untuk lingkaran dengan persamaan dan titik singgung , kita bisa menentukan persamaan garis singgungnya dengan langkah berikut:

**Langkah pertama**: Hitung gradien jari-jari dari pusat $$O(a,b)$$ ke titik singgung $$T(x_1, y_1)$$:

Visible text: **Langkah pertama**: Hitung gradien jari-jari dari pusat ke titik singgung :

```math
m_{\text{jari-jari}} = \frac{y_1 - b}{x_1 - a}
```

**Langkah kedua**: Karena garis singgung tegak lurus dengan jari-jari, maka gradien garis singgung adalah:

```math
m_{\text{singgung}} = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}
```

**Langkah ketiga**: Gunakan rumus persamaan garis dengan gradien dan satu titik:

```math
(y - y_1) = m_{\text{singgung}}(x - x_1)
```

Setelah disederhanakan, kita akan mendapat **rumus praktis** untuk garis singgung lingkaran:

```math
(x - a)(x_1 - a) + (y - b)(y_1 - b) = r^2
```

> Rumus ini sangat praktis karena kita tinggal mensubstitusikan koordinat pusat lingkaran, titik singgung, dan jari-jari kuadrat.

## Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Kadang kita tidak diberikan titik singgung, tetapi diminta mencari garis singgung yang memiliki gradien tertentu. Misalnya, kita ingin mencari garis singgung yang sejajar dengan garis tertentu.

Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung dengan Gradien Tertentu
- description: Dua garis singgung dengan gradien yang sama pada lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.5;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const m = 1; // gradien yang diberikan
const r = 2.5;
const c1 = r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 6;
return {
x: -xRange/2 + i * xRange,
y: m * (-xRange/2 + i * xRange) + c1,
z: 0,
};
}),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Singgung 1", at: 0, offset: [0.5, 2.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const m = 1; // gradien yang diberikan
const r = 2.5;
const c2 = -r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 6;
return {
x: -xRange/2 + i * xRange,
y: m * (-xRange/2 + i * xRange) + c2,
z: 0,
};
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Singgung 2", at: 1, offset: [0.5, -1.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, ... [truncated; 1588 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Untuk lingkaran $$x^2 + y^2 = r^2$$ dan gradien $$m$$ yang diketahui, kita substitusikan persamaan garis $$y = mx + c$$ ke persamaan lingkaran:

Visible text: Untuk lingkaran dan gradien yang diketahui, kita substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 + (mx + c)^2 = r^2
```

```math
x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = r^2
```

```math
(1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 - r^2) = 0
```

Karena garis menyinggung lingkaran, diskriminan persamaan kuadrat ini harus nol:

Component: MathContainer
Children:

```math
\Delta = (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0
```

```math
4m^2c^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0
```

```math
m^2c^2 - (1 + m^2)c^2 + (1 + m^2)r^2 = 0
```

```math
-c^2 + (1 + m^2)r^2 = 0
```

```math
c^2 = (1 + m^2)r^2
```

Sehingga diperoleh:

```math
c = \pm r\sqrt{1 + m^2}
```

Jadi, untuk setiap gradien $$m$$, selalu ada **dua garis singgung** dengan persamaan:

Visible text: Jadi, untuk setiap gradien , selalu ada **dua garis singgung** dengan persamaan:

```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```

## Garis Singgung dari Titik Eksternal

Kasus yang paling menarik adalah ketika kita diminta mencari garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran. Dari satu titik di luar lingkaran, kita bisa menarik tepat **dua garis singgung**.

Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran
- description: Dua garis singgung yang ditarik dari titik eksternal ke lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 4,
y: 2,
z: 0,
};
}),
color: getColor("ROSE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "P", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Titik singgung pertama (dihitung secara matematis)
const px = 4, py = 2, r = 2;
const d = Math.sqrt(px*px + py*py);
const angle1 = Math.atan2(py, px) - Math.acos(r/d);
return {
x: r * Math.cos(angle1),
y: r * Math.sin(angle1),
z: 0,
};
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "T₁", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Titik singgung kedua (dihitung secara matematis)
const px = 4, py = 2, r = 2;
const d = Math.sqrt(px*px + py*py);
const angle2 = Math.atan2(py, px) + Math.acos(r/d);
r ... [truncated; 2704 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik $$P(x_0, y_0)$$ di luar lingkaran $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$, kita menggunakan konsep **garis kutub**.

Visible text: Untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik di luar lingkaran , kita menggunakan konsep **garis kutub**.

Persamaan garis kutub titik $$P(x_0, y_0)$$ terhadap lingkaran adalah:

Visible text: Persamaan garis kutub titik terhadap lingkaran adalah:

```math
(x-a)(x_0-a) + (y-b)(y_0-b) = r^2
```

Garis kutub ini adalah **garis yang menghubungkan kedua titik singgung** dari titik $$P$$ ke lingkaran. Jadi, untuk mencari titik-titik singgung, kita perlu:

Visible text: Garis kutub ini adalah **garis yang menghubungkan kedua titik singgung** dari titik ke lingkaran. Jadi, untuk mencari titik-titik singgung, kita perlu:

1. Menentukan persamaan garis kutub
2. Mencari titik potong garis kutub dengan lingkaran
3. Menggunakan kedua titik singgung untuk menentukan persamaan garis singgung

> Konsep garis kutub ini sangat elegan karena memberikan cara sistematis untuk menyelesaikan masalah garis singgung dari titik eksternal.

## Contoh Penerapan

Mari kita lihat contoh konkret. Diketahui lingkaran $$L \equiv (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$$ dan titik $$B(2, 6)$$ yang berada di luar lingkaran.

Visible text: Mari kita lihat contoh konkret. Diketahui lingkaran dan titik yang berada di luar lingkaran.

**Langkah** $$1$$: Tentukan persamaan garis kutub titik $$B(2, 6)$$ terhadap lingkaran:

Visible text: **Langkah** : Tentukan persamaan garis kutub titik terhadap lingkaran:

Component: MathContainer
Children:

```math
(x-(-1))(2-(-1)) + (y-2)(6-2) = 9
```

```math
(x+1)(3) + (y-2)(4) = 9
```

```math
3x + 3 + 4y - 8 = 9
```

```math
3x + 4y = 14
```

**Langkah** $$2$$: Cari titik potong garis kutub $$3x + 4y = 14$$ dengan lingkaran. Dari persamaan garis, kita dapat $$x = \frac{14-4y}{3}$$. Substitusi ke persamaan lingkaran:

Visible text: **Langkah** : Cari titik potong garis kutub dengan lingkaran. Dari persamaan garis, kita dapat . Substitusi ke persamaan lingkaran:

Component: MathContainer
Children:

```math
(\frac{14-4y}{3} + 1)^2 + (y-2)^2 = 9
```

```math
(\frac{17-4y}{3})^2 + (y-2)^2 = 9
```

Setelah diselesaikan, kita akan mendapat dua titik singgung. Kemudian gunakan titik-titik tersebut untuk menentukan persamaan garis singgung.

## Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = 25$$ di titik $$(3, 4)$$.

2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = 16$$ yang sejajar dengan garis $$y = 2x + 5$$.

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$$ yang melalui titik $$(4, 2)$$.

4. Sebuah lingkaran memiliki persamaan $$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$$. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $$x + 2y = 7$$.

Visible text: 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik .

2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis .

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik .

4. Sebuah lingkaran memiliki persamaan . Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis .

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian**:

   Untuk lingkaran $$x^2 + y^2 = 25$$ dengan pusat $$O(0,0)$$ dan jari-jari $$r = 5$$, serta titik singgung $$T(3,4)$$.

   Menggunakan rumus garis singgung: $$(x-a)(x_1-a) + (y-b)(y_1-b) = r^2$$

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   (x-0)(3-0) + (y-0)(4-0) = 25
   ```

     
   
   ```math
   3x + 4y = 25
   ```

   </MathContainer>

   Jadi persamaan garis singgungnya adalah $$3x + 4y = 25$$.

2. **Penyelesaian**:

   Garis yang sejajar dengan $$y = 2x + 5$$ memiliki gradien $$m = 2$$.

   Untuk lingkaran $$x^2 + y^2 = 16$$ dengan $$r = 4$$, menggunakan rumus:

   
   
   ```math
   y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
   ```

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   y = 2x \pm 4\sqrt{1 + 4}
   ```

     
   
   ```math
   y = 2x \pm 4\sqrt{5}
   ```

   </MathContainer>

   Jadi ada dua garis singgung: $$y = 2x + 4\sqrt{5}$$ dan $$y = 2x - 4\sqrt{5}$$.

3. **Penyelesaian**:

   Lingkaran $$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$$ memiliki pusat $$(1,-2)$$ dan $$r^2 = 8$$.

   Persamaan garis kutub titik $$(4,2)$$:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   (x-1)(4-1) + (y-(-2))(2-(-2)) = 8
   ```

     
   
   ```math
   3(x-1) + 4(y+2) = 8
   ```

     
   
   ```math
   3x - 3 + 4y + 8 = 8
   ```

     
   
   ```math
   3x + 4y = 3
   ```

   </MathContainer>

   Cari titik potong dengan lingkaran untuk mendapat titik-titik singgung, lalu tentukan persamaan garis singgung melalui masing-masing titik singgung dan titik $$(4,2)$$.

4. **Penyelesaian**:

   Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0
   ```

     
   
   ```math
   (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9
   ```

     
   
   ```math
   (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16
   ```

   </MathContainer>

   Pusat $$(2,-3)$$, jari-jari $$r = 4$$.

   Garis $$x + 2y = 7$$ dapat ditulis $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$$, sehingga gradiennya $$m_1 = -\frac{1}{2}$$.

   Garis yang tegak lurus memiliki gradien $$m = 2$$.

   Untuk lingkaran dengan pusat $$(2,-3)$$, persamaan garis singgung dengan gradien $$2$$:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   y - (-3) = 2(x - 2) \pm 4\sqrt{1 + 4}
   ```

     
   
   ```math
   y + 3 = 2x - 4 \pm 4\sqrt{5}
   ```

     
   
   ```math
   y = 2x - 7 \pm 4\sqrt{5}
   ```

   </MathContainer>

   Jadi dua garis singgung: $$y = 2x - 7 + 4\sqrt{5}$$ dan $$y = 2x - 7 - 4\sqrt{5}$$.

Visible text: 1. **Penyelesaian**:

 Untuk lingkaran dengan pusat dan jari-jari , serta titik singgung .

 Menggunakan rumus garis singgung: 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Jadi persamaan garis singgungnya adalah .

2. **Penyelesaian**:

 Garis yang sejajar dengan memiliki gradien .

 Untuk lingkaran dengan , menggunakan rumus:

 
 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Jadi ada dua garis singgung: dan .

3. **Penyelesaian**:

 Lingkaran memiliki pusat dan .

 Persamaan garis kutub titik :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Cari titik potong dengan lingkaran untuk mendapat titik-titik singgung, lalu tentukan persamaan garis singgung melalui masing-masing titik singgung dan titik .

4. **Penyelesaian**:

 Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Pusat , jari-jari .

 Garis dapat ditulis , sehingga gradiennya .

 Garis yang tegak lurus memiliki gradien .

 Untuk lingkaran dengan pusat , persamaan garis singgung dengan gradien :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Jadi dua garis singgung: dan .