# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/geometri-analitik/parabola
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/parabola/id.mdx

Pelajari persamaan parabola, puncak, fokus, dan direktriks. Pahami bentuk standar, aplikasi nyata, dan selesaikan soal dengan contoh.

---

## Mengenal Parabola

Pernahkah kamu melempar bola basket ke ring? Atau melihat air mancur yang menyembur ke udara? Lintasan yang terbentuk dari gerakan-gerakan ini membentuk kurva yang sangat istimewa dalam matematika, yaitu **parabola**.

Parabola bukan sekadar kurva biasa. Bentuknya yang unik membuatnya sangat berguna dalam kehidupan nyata. Antena satelit berbentuk parabola untuk menangkap sinyal, lampu sorot menggunakan reflektor parabola untuk memfokuskan cahaya, bahkan jembatan dan arsitektur modern sering menggunakan lengkungan parabola karena kekuatannya.

Yang menarik dari parabola adalah sifat **refleksinya** yang sempurna. Semua sinar yang datang sejajar dengan sumbu parabola akan dipantulkan menuju satu titik yang disebut **fokus**. Inilah mengapa parabola sangat efektif untuk mengumpulkan atau memancarkan energi.

Component: LineEquation
Props:
- title: Parabola $$y = ax^2$$ dalam Kehidupan Nyata
  Visible text: Parabola dalam Kehidupan Nyata
- description: Visualisasi parabola dengan fokus di $$F(0, \frac{1}{4a})$$ dan direktriks $$y = -\frac{1}{4a}$$.
  Visible text: Visualisasi parabola dengan fokus di dan direktriks .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = (i - 50) / 10; // x dari -5 ke 5
const y = 0.2 * x * x; // parabola y = 0.2x²
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "Lintasan Parabola", at: 80, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: 1.25, z: 0 }], // fokus di (0, 1/(4*0.2)) = (0, 1.25)
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Fokus", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }], // puncak parabola
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Puncak", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const x = -6 + i * 12;
const y = -1.25; // direktriks di y = -1/(4*0.2) = -1.25
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Direktriks", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -6;
const xMax = 6;
const y = 0;
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: getColor("ROSE"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = ... [truncated; 1336 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

## Definisi Matematika

Secara matematis, **parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap sebuah titik tetap dan sebuah garis tetap**. Titik tetap itu disebut **fokus**, sedangkan garis tetapnya disebut **direktriks**.

Bayangkan kamu punya satu titik (fokus) dan satu garis lurus (direktriks). Sekarang cari semua titik yang jaraknya ke fokus sama dengan jaraknya ke garis direktriks. Kumpulan titik-titik itulah yang membentuk parabola!

Definisi ini memberikan kita cara yang sistematis untuk memahami parabola. Tidak peduli bagaimana orientasi atau posisinya, selama memenuhi syarat jarak yang sama ke fokus dan direktriks, maka itu adalah parabola.

> Sifat unik parabola ini membuat semua titik pada kurva memiliki "keseimbangan" jarak yang sempurna antara fokus dan direktriks.

## Persamaan Parabola Standar

Mari kita mulai dengan parabola yang paling sederhana: **parabola dengan puncak di titik asal** $$O(0,0)$$. Ada empat bentuk dasar parabola standar tergantung arah bukaan kurva.

Visible text: Mari kita mulai dengan parabola yang paling sederhana: **parabola dengan puncak di titik asal** . Ada empat bentuk dasar parabola standar tergantung arah bukaan kurva.

Component: LineEquation
Props:
- title: Empat Bentuk Parabola Standar dengan Puncak $$O(0,0)$$
  Visible text: Empat Bentuk Parabola Standar dengan Puncak
- description: Parabola standar $$x^2 = 4py$$ (vertikal) dan $$y^2 = 4px$$ (horizontal).
  Visible text: Parabola standar (vertikal) dan (horizontal).
- data: [
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const x = (i - 30) / 10; // x dari -3 ke 3
const y = 0.25 * x * x; // parabola x² = 4py dengan p=0.25
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "x² = 4py (ke atas)", at: 11, offset: [-3, 2, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const x = (i - 30) / 10; // x dari -3 ke 3
const y = -0.25 * x * x; // parabola x² = -4py dengan p=0.25
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "x² = -4py (ke bawah)", at: 50, offset: [3, -2.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const y = (i - 30) / 10; // y dari -3 ke 3
const x = 0.25 * y * y; // parabola y² = 4px dengan p=0.25
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y² = 4px (ke kanan)", at: 50, offset: [3, 1.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const y = (i - 30) / 10; // y dari -3 ke 3
const x = -0.25 * y * y; // parabola y² = -4px dengan p=0.25
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "y² = -4px (ke kiri)", at: 11, offset: [-3, -1.5, 0] }],
}, ... [truncated; 1806 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Keempat bentuk persamaan parabola standar adalah:

Component: MathContainer
Children:

```math
y^2 = 4px \quad \text{(terbuka ke kanan)}
```

```math
y^2 = -4px \quad \text{(terbuka ke kiri)}
```

```math
x^2 = 4py \quad \text{(terbuka ke atas)}
```

```math
x^2 = -4py \quad \text{(terbuka ke bawah)}
```

Nilai $$p$$ dalam persamaan ini menunjukkan **jarak dari puncak ke fokus**. Semakin besar nilai $$p$$, semakin "terbuka" parabola tersebut.

Visible text: Nilai dalam persamaan ini menunjukkan **jarak dari puncak ke fokus**. Semakin besar nilai , semakin "terbuka" parabola tersebut.

Sebagai contoh, untuk parabola $$y^2 = 4px$$ (terbuka ke kanan):

Visible text: Sebagai contoh, untuk parabola (terbuka ke kanan):

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Puncak: } (0, 0)
```

```math
\text{Fokus: } (p, 0)
```

```math
\text{Direktriks: } x = -p
```

```math
\text{Sumbu simetri: sumbu } X
```

> Ingat bahwa tanda $$p$$ menentukan arah bukaan: positif untuk kanan/atas, negatif untuk kiri/bawah.

Visible text: > Ingat bahwa tanda menentukan arah bukaan: positif untuk kanan/atas, negatif untuk kiri/bawah.

## Parabola dengan Puncak Sembarang

Dalam aplikasi nyata, parabola tidak selalu berpusat di titik asal. Parabola bisa memiliki puncak di titik mana saja $$(h, k)$$. Ini adalah **bentuk umum parabola**.

Visible text: Dalam aplikasi nyata, parabola tidak selalu berpusat di titik asal. Parabola bisa memiliki puncak di titik mana saja . Ini adalah **bentuk umum parabola**.

Component: LineEquation
Props:
- title: Parabola $$(x-h)^2 = 4p(y-k)$$ dengan Puncak $$(h,k)$$
  Visible text: Parabola dengan Puncak
- description: Parabola dengan puncak di $$(2, 1)$$ dan parameter $$p = 0.5$$.
  Visible text: Parabola dengan puncak di dan parameter .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const x = (i - 40) / 10; // x dari -4 ke 4
const h = 2, k = 1, p = 0.5;
const y = k + (1/(4*p)) * Math.pow(x - h, 2); // parabola dengan puncak (h,k)
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "Parabola", at: 60, offset: [3, 1, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }], // puncak
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Puncak (2,1)", at: 0, offset: [-1, -0.2, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1.5, z: 0 }], // fokus di (h, k+p) = (2, 1+0.5)
color: getColor("LIME"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Fokus (2,1.5)", at: 0, offset: [0.5, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 8;
const y = 0.5; // direktriks di y = k-p = 1-0.5 = 0.5
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Direktriks y = 0.5", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -1;
const yMax = 5;
const x = 2; // sumbu simetri
return { x, y: yMin + i * (yMax - yMin), z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
showPoints: false,
smooth: false,
cone: { position: ... [truncated; 1711 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Bentuk umum persamaan parabola dengan puncak di $$(h, k)$$:

Visible text: Bentuk umum persamaan parabola dengan puncak di :

Component: MathContainer
Children:

```math
(y-k)^2 = 4p(x-h) \quad \text{(horizontal)}
```

```math
(x-h)^2 = 4p(y-k) \quad \text{(vertikal)}
```

Untuk parabola vertikal $$(x-h)^2 = 4p(y-k)$$:

Visible text: Untuk parabola vertikal :

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Puncak: } (h, k)
```

```math
\text{Fokus: } (h, k+p)
```

```math
\text{Direktriks: } y = k-p
```

```math
\text{Sumbu simetri: } x = h
```

Untuk parabola horizontal $$(y-k)^2 = 4p(x-h)$$:

Visible text: Untuk parabola horizontal :

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Puncak: } (h, k)
```

```math
\text{Fokus: } (h+p, k)
```

```math
\text{Direktriks: } x = h-p
```

```math
\text{Sumbu simetri: } y = k
```

> Tanda nilai $$p$$ menentukan arah bukaan parabola. Positif untuk ke atas/kanan, negatif untuk ke bawah/kiri.

Visible text: > Tanda nilai menentukan arah bukaan parabola. Positif untuk ke atas/kanan, negatif untuk ke bawah/kiri.

## Menentukan Unsur Parabola

Ketika kita diberikan persamaan parabola, kita bisa mengidentifikasi semua unsur pentingnya dengan cara sistematis. Langkah pertama adalah **mengenali orientasi parabola**:

- Jika variabel $$x$$ yang dikuadratkan → parabola **vertikal** (terbuka ke atas/bawah)
- Jika variabel $$y$$ yang dikuadratkan → parabola **horizontal** (terbuka ke kiri/kanan)

Visible text: - Jika variabel yang dikuadratkan → parabola **vertikal** (terbuka ke atas/bawah)
- Jika variabel yang dikuadratkan → parabola **horizontal** (terbuka ke kiri/kanan)

Mari kita lihat bagaimana caranya dengan contoh.

**Contoh**: Diberikan parabola dengan persamaan $$x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$$

Visible text: **Contoh**: Diberikan parabola dengan persamaan

Langkah pertama adalah mengubah ke bentuk baku dengan melengkapkan kuadrat sempurna:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 - 4x - 8y + 12 = 0
```

```math
x^2 - 4x = 8y - 12
```

```math
x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4
```

```math
(x-2)^2 = 8y - 8
```

```math
(x-2)^2 = 8(y-1)
```

Dari bentuk $$(x-2)^2 = 8(y-1)$$, kita identifikasi:

Visible text: Dari bentuk , kita identifikasi:

- $$h = 2$$, $$k = 1$$
- $$4p = 8$$, sehingga $$p = 2$$

Visible text: - , 
- , sehingga

Maka unsur-unsur parabola adalah:

Component: LineEquation
Props:
- title: Analisis Parabola $$(x-2)^2 = 8(y-1)$$
  Visible text: Analisis Parabola
- description: Identifikasi puncak $$(2,1)$$, fokus $$(2,3)$$, direktriks $$y = -1$$, dan $$p = 2$$.
  Visible text: Identifikasi puncak , fokus , direktriks , dan .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const x = (i - 40) / 8; // x dari -5 ke 5
const h = 2, k = 1, p = 2;
const y = k + (1/(4*p)) * Math.pow(x - h, 2); // (x-h)² = 4p(y-k)
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "(x-2)² = 8(y-1)", at: 60, offset: [2, 1.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }], // puncak (h,k)
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Puncak (2,1)", at: 0, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }], // fokus (h, k+p) = (2, 1+2)
color: getColor("LIME"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Fokus (2,3)", at: 0, offset: [0.8, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 8;
const y = -1; // direktriks y = k-p = 1-2 = -1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Direktriks y = -1", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = 6;
const x = 2; // sumbu simetri x = h = 2
return { x, y: yMin + i * (yMax - yMin), z: 0 };
}),
color: getColor("PINK"),
showPoints: false,
smooth: false,
cone: { position: "bot ... [truncated; 1701 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Dari analisis ini kita dapatkan:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Puncak: } (2, 1)
```

```math
\text{Fokus: } (2, 3)
```

```math
\text{Direktriks: } y = -1
```

```math
\text{Sumbu simetri: } x = 2
```

```math
\text{Arah bukaan: ke atas (karena } p = 2 > 0\text{)}
```

## Contoh Soal

Mari kita kerjakan beberapa soal untuk memperdalam pemahaman tentang parabola.

**Soal** $$1$$: Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di $$(1, -2)$$ dan fokus di $$(4, -2)$$.

Visible text: **Soal** : Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di dan fokus di .

**Penyelesaian**:

Karena puncak dan fokus memiliki ordinat yang sama, parabola ini **horizontal**.

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Puncak: } (h, k) = (1, -2)
```

```math
\text{Fokus: } (h+p, k) = (4, -2)
```

Dari kondisi fokus, kita dapat $$h + p = 4$$. Substitusi $$h = 1$$:

Visible text: Dari kondisi fokus, kita dapat . Substitusi :

```math
1 + p = 4 \Rightarrow p = 3
```

Persamaan parabola horizontal adalah $$(y-k)^2 = 4p(x-h)$$:

Visible text: Persamaan parabola horizontal adalah :

Component: MathContainer
Children:

```math
(y-(-2))^2 = 4(3)(x-1)
```

```math
(y+2)^2 = 12(x-1)
```

**Soal** $$2$$: Parabola $$y^2 - 6y - 4x + 13 = 0$$. Tentukan koordinat puncak dan fokusnya.

Visible text: **Soal** : Parabola . Tentukan koordinat puncak dan fokusnya.

**Penyelesaian**:

Lengkapkan kuadrat sempurna untuk variabel $$y$$:

Visible text: Lengkapkan kuadrat sempurna untuk variabel :

Component: MathContainer
Children:

```math
y^2 - 6y - 4x + 13 = 0
```

```math
y^2 - 6y = 4x - 13
```

```math
y^2 - 6y + 9 = 4x - 13 + 9
```

```math
(y-3)^2 = 4x - 4
```

```math
(y-3)^2 = 4(x-1)
```

Dari bentuk $$(y-3)^2 = 4(x-1)$$, kita identifikasi:

Visible text: Dari bentuk , kita identifikasi:

Component: MathContainer
Children:

```math
h = 1, \quad k = 3
```

```math
4p = 4 \Rightarrow p = 1
```

Sehingga:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Puncak: } (h, k) = (1, 3)
```

```math
\text{Fokus: } (h+p, k) = (1+1, 3) = (2, 3)
```