Parabola

Bentuk Parabola pada Lintasan dan Reflektor

Jika hambatan udara diabaikan dan percepatan gravitasi dianggap konstan, lintasan bola basket berbentuk parabola. Air yang keluar dari pancuran pada suatu sudut mengikuti model yang sama selama kedua anggapan tersebut masih sesuai.

Bentuk parabola juga berguna dalam teknologi. Antena satelit mengumpulkan sinyal, reflektor lampu sorot mengarahkan cahaya, dan lengkungan parabola muncul pada jembatan serta arsitektur modern.

Parabola memiliki sifat refleksi. Sinar yang datang sejajar sumbu akan dipantulkan menuju fokus. Sebaliknya, sinar yang berasal dari fokus akan meninggalkan reflektor parabola sejajar sumbu. Karena itu, bentuk parabola efektif untuk mengumpulkan atau mengarahkan energi.

Parabola

y = ax^2

dalam Kehidupan Nyata

Visualisasi parabola dengan fokus di

F(0, \frac{1}{4a})

dan direktriks

y = -\frac{1}{4a}

Parabola dari Titik Tetap dan Garis Tetap

Secara matematis, parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap sebuah titik tetap dan sebuah garis tetap. Titik tetap itu disebut fokus, sedangkan garis tetapnya disebut direktriks.

Mulailah dengan satu titik, yaitu fokus, dan satu garis, yaitu direktriks. Setiap titik yang jaraknya ke fokus sama dengan jarak tegak lurusnya ke direktriks terletak pada parabola.

Definisi ini berlaku untuk setiap posisi dan orientasi. Syaratnya selalu sama: jarak ke fokus sama dengan jarak ke direktriks.

Setiap titik pada parabola memiliki jarak yang sama terhadap fokus dan direktriks.

Persamaan Parabola Standar

Mulailah dengan parabola yang puncaknya berada di titik asal $O(0,0)$ . Arah bukaannya menghasilkan empat bentuk standar.

Empat Bentuk Parabola Standar dengan Puncak

O(0,0)

Parabola standar

x^2 = 4py

(vertikal) dan

y^2 = 4px

(horizontal).

Dua persamaan standar yang sejajar sumbu koordinat menggunakan parameter bertanda $p$ :

y^2 = 4px \quad \text{(sumbu horizontal)}

Jika $p > 0$ , parabola terbuka ke kanan atau ke atas. Jika $p < 0$ , parabola terbuka ke kiri atau ke bawah. Jarak dari puncak ke fokus adalah $|p|$ , dan semakin besar $|p|$ , semakin lebar bukaan parabolanya.

Sebagai contoh, untuk parabola $y^2 = 4px$ (terbuka ke kanan):

\text{Puncak: } (0, 0)

Parabola dengan Puncak Sembarang

Parabola tidak harus berpuncak di titik asal. Jika puncaknya berada di $(h, k)$ , kita memakai bentuk standar tergeser.

Parabola

(x-h)^2 = 4p(y-k)

dengan Puncak

(h,k)

Parabola dengan puncak

V(2,1)

, fokus

F(2,\frac{3}{2})

, dan parameter

p = 0{,}5

Bentuk umum persamaan parabola dengan puncak di $(h, k)$ :

(y-k)^2 = 4p(x-h) \quad \text{(horizontal)}

Untuk parabola vertikal $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ :

\text{Puncak: } (h, k)

Untuk parabola horizontal $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ :

\text{Puncak: } (h, k)

Tanda $p$ menentukan arah bukaan. Pada bentuk horizontal, nilai positif berarti ke kanan dan nilai negatif berarti ke kiri. Pada bentuk vertikal, nilai positif berarti ke atas dan nilai negatif berarti ke bawah.

Menentukan Unsur Parabola

Persamaan parabola menentukan orientasi, puncak, fokus, direktriks, dan sumbu simetrinya. Mulailah dengan mengenali orientasi parabola:

Jika variabel $x$ yang dikuadratkan → parabola vertikal (terbuka ke atas/bawah)
Jika variabel $y$ yang dikuadratkan → parabola horizontal (terbuka ke kiri/kanan)

Pada contoh berikut, kita melengkapkan kuadrat untuk mengubah persamaan ke bentuk baku. Dari bentuk baku, kita menentukan puncak, fokus, direktriks, dan sumbu simetri parabola.

Contoh: Diberikan parabola dengan persamaan $x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$

Langkah pertama adalah mengubah ke bentuk baku dengan melengkapkan kuadrat sempurna:

x^2 - 4x - 8y + 12 = 0

Dari bentuk $(x-2)^2 = 8(y-1)$ , kita identifikasi:

$h = 2$ , $k = 1$
$4p = 8$ , sehingga $p = 2$

Maka unsur-unsur parabola adalah:

Analisis Parabola

(x-2)^2 = 8(y-1)

Identifikasi puncak

V(2,1)

, fokus

F(2,3)

, direktriks

y = -1

, dan

p = 2

Dari analisis ini kita dapatkan:

\text{Puncak: } (2, 1)

Parabola terbuka ke atas karena $p=2>0$ .

Menentukan Persamaan Puncak dan Fokus Parabola

Dua soal berikut menghubungkan bentuk baku dengan puncak dan fokus parabola.

Soal 1: Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di $(1, -2)$ dan fokus di $(4, -2)$ .

Penyelesaian:

Karena puncak dan fokus memiliki koordinat $y$ yang sama, parabola ini horizontal.

\text{Puncak: } (h, k) = (1, -2)

Dari kondisi fokus, kita dapat $h + p = 4$ . Substitusi $h = 1$ :

1 + p = 4 \Rightarrow p = 3

Persamaan parabola horizontal adalah $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ :

(y-(-2))^2 = 4(3)(x-1)

Soal 2: Parabola $y^2 - 6y - 4x + 13 = 0$ . Tentukan koordinat puncak dan fokusnya.

Penyelesaian:

Lengkapkan kuadrat sempurna untuk variabel $y$ :

y^2 - 6y - 4x + 13 = 0

Dari bentuk $(y-3)^2 = 4(x-1)$ , kita identifikasi:

h = 1, \quad k = 3

Sehingga:

\text{Puncak: } (h, k) = (1, 3)

Bentuk Parabola pada Lintasan dan Reflektor

Bentuk parabola juga berguna dalam teknologi. Antena satelit mengumpulkan sinyal, reflektor lampu sorot mengarahkan cahaya, dan lengkungan parabola muncul pada jembatan serta arsitektur modern.

Parabola

y = ax^2

dalam Kehidupan Nyata

Visualisasi parabola dengan fokus di

F(0, \frac{1}{4a})

dan direktriks

y = -\frac{1}{4a}

Parabola dari Titik Tetap dan Garis Tetap

Mulailah dengan satu titik, yaitu fokus, dan satu garis, yaitu direktriks. Setiap titik yang jaraknya ke fokus sama dengan jarak tegak lurusnya ke direktriks terletak pada parabola.

Definisi ini berlaku untuk setiap posisi dan orientasi. Syaratnya selalu sama: jarak ke fokus sama dengan jarak ke direktriks.

Setiap titik pada parabola memiliki jarak yang sama terhadap fokus dan direktriks.

Persamaan Parabola Standar

Mulailah dengan parabola yang puncaknya berada di titik asal $O(0,0)$ . Arah bukaannya menghasilkan empat bentuk standar.

Empat Bentuk Parabola Standar dengan Puncak

O(0,0)

Parabola standar

x^2 = 4py

(vertikal) dan

y^2 = 4px

(horizontal).

Dua persamaan standar yang sejajar sumbu koordinat menggunakan parameter bertanda $p$ :

y^2 = 4px \quad \text{(sumbu horizontal)}

Sebagai contoh, untuk parabola $y^2 = 4px$ (terbuka ke kanan):

\text{Puncak: } (0, 0)

Parabola dengan Puncak Sembarang

Parabola tidak harus berpuncak di titik asal. Jika puncaknya berada di $(h, k)$ , kita memakai bentuk standar tergeser.

Parabola

(x-h)^2 = 4p(y-k)

dengan Puncak

(h,k)

Parabola dengan puncak

V(2,1)

, fokus

F(2,\frac{3}{2})

, dan parameter

p = 0{,}5

Bentuk umum persamaan parabola dengan puncak di $(h, k)$ :

(y-k)^2 = 4p(x-h) \quad \text{(horizontal)}

Untuk parabola vertikal $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ :

\text{Puncak: } (h, k)

Untuk parabola horizontal $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ :

\text{Puncak: } (h, k)

Tanda $p$ menentukan arah bukaan. Pada bentuk horizontal, nilai positif berarti ke kanan dan nilai negatif berarti ke kiri. Pada bentuk vertikal, nilai positif berarti ke atas dan nilai negatif berarti ke bawah.

Menentukan Unsur Parabola

Persamaan parabola menentukan orientasi, puncak, fokus, direktriks, dan sumbu simetrinya. Mulailah dengan mengenali orientasi parabola:

Jika variabel $x$ yang dikuadratkan → parabola vertikal (terbuka ke atas/bawah)
Jika variabel $y$ yang dikuadratkan → parabola horizontal (terbuka ke kiri/kanan)

Pada contoh berikut, kita melengkapkan kuadrat untuk mengubah persamaan ke bentuk baku. Dari bentuk baku, kita menentukan puncak, fokus, direktriks, dan sumbu simetri parabola.

Contoh: Diberikan parabola dengan persamaan $x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$

Langkah pertama adalah mengubah ke bentuk baku dengan melengkapkan kuadrat sempurna:

x^2 - 4x - 8y + 12 = 0

Dari bentuk $(x-2)^2 = 8(y-1)$ , kita identifikasi:

$h = 2$ , $k = 1$
$4p = 8$ , sehingga $p = 2$

Maka unsur-unsur parabola adalah:

Analisis Parabola

(x-2)^2 = 8(y-1)

Identifikasi puncak

V(2,1)

, fokus

F(2,3)

, direktriks

y = -1

, dan

p = 2

Dari analisis ini kita dapatkan:

\text{Puncak: } (2, 1)

Parabola terbuka ke atas karena $p=2>0$ .

Menentukan Persamaan Puncak dan Fokus Parabola

Dua soal berikut menghubungkan bentuk baku dengan puncak dan fokus parabola.

Soal 1: Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di $(1, -2)$ dan fokus di $(4, -2)$ .

Penyelesaian:

Karena puncak dan fokus memiliki koordinat $y$ yang sama, parabola ini horizontal.

\text{Puncak: } (h, k) = (1, -2)

Dari kondisi fokus, kita dapat $h + p = 4$ . Substitusi $h = 1$ :

1 + p = 4 \Rightarrow p = 3

Persamaan parabola horizontal adalah $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ :

(y-(-2))^2 = 4(3)(x-1)

Soal 2: Parabola $y^2 - 6y - 4x + 13 = 0$ . Tentukan koordinat puncak dan fokusnya.

Penyelesaian:

Lengkapkan kuadrat sempurna untuk variabel $y$ :

y^2 - 6y - 4x + 13 = 0

Dari bentuk $(y-3)^2 = 4(x-1)$ , kita identifikasi:

h = 1, \quad k = 3

Sehingga:

\text{Puncak: } (h, k) = (1, 3)