# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/geometri-analitik/persamaan-garis-singgung-lingkaran
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/equation-of-a-tangent-line-to-a-circle/id.mdx
Pelajari persamaan garis singgung dengan metode substitusi, jarak, dan kuadratik. Selesaikan soal dari titik eksternal dengan pembahasan bertahap.
---
## Memahami Persamaan Garis Singgung
Pernahkah kamu memperhatikan bagaimana roda sepeda bergerak di jalan? Saat roda berputar, ada satu titik di tepi roda yang selalu menyentuh aspal dengan sempurna. Nah, kalau kita menarik garis lurus dari titik sentuh itu, garis tersebut disebut **garis singgung**.
Pelajaran ini berfokus pada cara menemukan **persamaan matematika eksplisit** dari garis singgung. Persamaan itu memberi tahu garis lurus mana yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.
Kemampuan menentukan persamaan garis singgung sangat berguna dalam rekayasa, fisika, dan bahkan seni. Bayangkan seorang arsitek yang merancang lengkungan jembatan, atau insinyur yang menghitung lintasan proyektil.
## Substitusi untuk Titik Tertentu
Ketika kita sudah tahu titik mana di lingkaran yang akan disentuh garis singgung, pekerjaan kita menjadi lebih terarah. Mari kita lihat pendekatan sistematis untuk kasus ini.
Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung pada Titik Tertentu
- description: Mengkonstruksi persamaan garis singgung ketika titik sentuhnya sudah diketahui.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 4;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("INDIGO"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{
x: 0,
y: 0,
z: 0,
}
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Pusat", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI * 5/6; // 150 derajat
const radius = 4;
return [{
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
}];
})(),
color: getColor("LIME"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "M", at: 0, offset: [-0.8, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI * 5/6;
const radius = 4;
const pointX = radius * Math.cos(angle);
const pointY = radius * Math.sin(angle);
// Arah tegak lurus radius (gradien negatif kebalikan)
const perpSlope = -pointX / pointY;
const range = 5;
return [
{
x: pointX - range,
y: pointY + perpSlope * (-range),
z: 0,
},
{
x: pointX + range,
y: pointY + perpSlope * range,
z: 0,
}
];
})(),
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Singgung", at: 0, offset: [4, 3.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const ang ... [truncated; 1750 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Untuk lingkaran $$x^2 + y^2 = r^2$$ dengan titik singgung $$M(p, q)$$, kita menggunakan **rumus substitusi langsung**:
Visible text: Untuk lingkaran dengan titik singgung , kita menggunakan **rumus substitusi langsung**:
```math
px + qy = r^2
```
Kenapa rumus ini bekerja? Karena garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari di titik singgung. Jika jari-jari memiliki arah vektor $$(p, q)$$, maka garis singgung memiliki vektor normal yang sama, yaitu $$(p, q)$$.
Visible text: Kenapa rumus ini bekerja? Karena garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari di titik singgung. Jika jari-jari memiliki arah vektor , maka garis singgung memiliki vektor normal yang sama, yaitu .
Untuk lingkaran umum $$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ dengan titik singgung $$M(p, q)$$, rumusnya menjadi:
Visible text: Untuk lingkaran umum dengan titik singgung , rumusnya menjadi:
```math
(p-h)(x-h) + (q-k)(y-k) = r^2
```
> Keunggulan metode ini adalah kecepatan dan akurasi. Kita tidak perlu menghitung gradien secara terpisah atau melakukan manipulasi aljabar yang rumit.
## Pendekatan Jarak untuk Gradien Tertentu
Sekarang kita beralih ke kasus yang lebih menantang: mencari persamaan garis singgung ketika hanya gradiennya yang diketahui. Di sini kita menggunakan prinsip bahwa jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung harus sama dengan jari-jari.
Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung dengan Kemiringan Tertentu
- description: Menggunakan pendekatan jarak untuk menemukan persamaan dengan gradien yang diberikan.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3.5;
const h = 1, k = -0.5;
return {
x: h + radius * Math.cos(angle),
y: k + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 1, y: -0.5, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Pusat", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const m = -0.75; // gradien yang diinginkan
const h = 1, k = -0.5, r = 3.5;
const c1 = k - m*h + r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 8;
const xStart = -2;
return [
{ x: xStart, y: m * xStart + c1, z: 0 },
{ x: xStart + xRange, y: m * (xStart + xRange) + c1, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("SKY"),
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Singgung Atas", at: 1, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: (() => {
const m = -0.75; // gradien yang diinginkan
const h = 1, k = -0.5, r = 3.5;
const c2 = k - m*h - r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 8;
const xStart = -2;
return [
{ x: xStart, y: m * xStart + c2, z: 0 },
{ x: xStart + xRange, y: m * (xStart + xRange) + c2, z: 0 }
];
})(),
color: getColor("EMERALD"),
showPoints: false,
smooth: false,
lab ... [truncated; 2112 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
Misalkan kita memiliki lingkaran $$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ dan ingin mencari garis singgung dengan gradien $$m$$. Garis singgung berbentuk $$y = mx + c$$.
Visible text: Misalkan kita memiliki lingkaran dan ingin mencari garis singgung dengan gradien . Garis singgung berbentuk .
Kunci utama adalah menggunakan **rumus jarak titik ke garis**. Jarak dari pusat $$(h,k)$$ ke garis $$mx - y + c = 0$$ adalah:
Visible text: Kunci utama adalah menggunakan **rumus jarak titik ke garis**. Jarak dari pusat ke garis adalah:
```math
d = \frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}
```
Karena garis menyinggung lingkaran, jarak ini harus tepat sama dengan jari-jari:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r
```
```math
|mh - k + c| = r\sqrt{m^2 + 1}
```
```math
mh - k + c = \pm r\sqrt{m^2 + 1}
```
Sehingga diperoleh dua nilai konstanta:
```math
c = k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}
```
Dengan demikian, persamaan kedua garis singgung adalah:
```math
y = mx + k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}
```
## Metode Kuadratik untuk Titik Eksternal
Kasus paling menantang adalah ketika kita ingin menarik garis singgung dari titik di luar lingkaran. Dari satu titik eksternal, kita bisa menarik tepat dua garis singgung dengan gradien yang berbeda.
Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung dari Titik Eksternal
- description: Menggunakan metode kuadratik dalam gradien untuk titik di luar lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.8;
const h = -1, k = 1.5;
return {
x: h + radius * Math.cos(angle),
y: k + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -1, y: 1.5, z: 0 }
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Pusat", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3.5, y: 4, z: 0 }
],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "Eksternal", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
// Titik singgung pertama - perpotongan garis singgung dengan lingkaran
const px = 3.5, py = 4, h = -1, k = 1.5, r = 2.8;
// Hitung gradien garis singgung pertama
const a = (h - px)*(h - px) - r*r;
const b = -2*(h - px)*(k - py);
const c = (k - py)*(k - py) - r*r;
const discriminant = b*b - 4*a*c;
const m1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2*a);
// Persamaan garis singgung: y = m1*x + c1
const c1 = py - m1*px;
// Substitusi y = m1*x + c1 ke (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
// (x-h)^2 + (m1*x + c1 - k)^2 = r^2
const A = 1 + m1*m1;
const B = 2*m1*(c1 - k) - 2*h;
const C = (c1 - k)*(c1 - k) + h*h - r*r;
const discX ... [truncated; 4331 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan pendekatan **persamaan kuadrat dalam gradien**. Misalkan titik eksternal adalah $$P(x_0, y_0)$$ dan lingkaran memiliki persamaan $$x^2 + y^2 = r^2$$.
Visible text: Untuk menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan pendekatan **persamaan kuadrat dalam gradien**. Misalkan titik eksternal adalah dan lingkaran memiliki persamaan .
Garis singgung dari titik $$P$$ berbentuk $$y - y_0 = m(x - x_0)$$, atau $$y = mx - mx_0 + y_0$$.
Visible text: Garis singgung dari titik berbentuk , atau .
Substitusikan ke persamaan lingkaran dan gunakan syarat diskriminan nol:
Component: MathContainer
Children:
```math
x^2 + (mx - mx_0 + y_0)^2 = r^2
```
```math
(1 + m^2)x^2 + 2m(y_0 - mx_0)x + (y_0 - mx_0)^2 - r^2 = 0
```
Diskriminan sama dengan nol memberikan persamaan kuadrat dalam $$m$$:
Visible text: Diskriminan sama dengan nol memberikan persamaan kuadrat dalam :
```math
(x_0^2 - r^2)m^2 - 2x_0y_0m + (y_0^2 - r^2) = 0
```
Dua akar persamaan ini adalah gradien kedua garis singgung.
## Contoh Terapan Lengkap
Mari kita selesaikan satu kasus konkret untuk memperjelas pemahaman. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = 25$$ yang melalui titik $$A(7, 1)$$.
Visible text: Mari kita selesaikan satu kasus konkret untuk memperjelas pemahaman. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik .
**Langkah** $$1$$: Verifikasi bahwa titik $$A$$ berada di luar lingkaran.
Visible text: **Langkah** : Verifikasi bahwa titik berada di luar lingkaran.
```math
7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 \quad \checkmark
```
**Langkah** $$2$$: Bentuk persamaan kuadrat dalam gradien dengan $$x_0 = 7$$, $$y_0 = 1$$, $$r^2 = 25$$:
Visible text: **Langkah** : Bentuk persamaan kuadrat dalam gradien dengan , , :
Component: MathContainer
Children:
```math
(49 - 25)m^2 - 2(7)(1)m + (1 - 25) = 0
```
```math
24m^2 - 14m - 24 = 0
```
```math
12m^2 - 7m - 12 = 0
```
**Langkah** $$3$$: Selesaikan dengan rumus kuadrat:
Visible text: **Langkah** : Selesaikan dengan rumus kuadrat:
```math
m = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{24} = \frac{7 \pm 25}{24}
```
Jadi $$m_1 = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$$ dan $$m_2 = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$$.
Visible text: Jadi dan .
**Langkah** $$4$$: Konstruksi persamaan akhir:
Visible text: **Langkah** : Konstruksi persamaan akhir:
Component: MathContainer
Children:
```math
y - 1 = \frac{4}{3}(x - 7) \Rightarrow 4x - 3y = 25
```
```math
y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 7) \Rightarrow 3x + 4y = 25
```
## Latihan
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = 16$$ di titik $$(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$$.
2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran $$x^2 + y^2 = 9$$ yang bergradien $$-\frac{1}{2}$$.
3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$$ yang melalui titik $$(11, 10)$$.
4. Sebuah lingkaran memiliki persamaan $$x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$$. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $$3x + 4y = 7$$.
Visible text: 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik .
2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien .
3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik .
4. Sebuah lingkaran memiliki persamaan . Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis .
### Kunci Jawaban
1. **Penyelesaian**:
Untuk lingkaran $$x^2 + y^2 = 16$$ di titik $$(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$$, gunakan rumus:
```math
x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2
```
**Langkah** $$1$$: Substitusi koordinat titik singgung
```math
x \cdot 2\sqrt{2} + y \cdot 2\sqrt{2} = 16
```
```math
2\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 16
```
**Langkah** $$2$$: Sederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan $$2\sqrt{2}$$
```math
x + y = \frac{16}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}
```
Jadi persamaan garis singgungnya adalah $$x + y = 4\sqrt{2}$$.
2. **Penyelesaian**:
Untuk gradien $$m = -\frac{1}{2}$$ dan $$r = 3$$, gunakan rumus:
```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
**Langkah** $$1$$: Hitung nilai $$\sqrt{1 + m^2}$$
```math
\sqrt{1 + m^2} = \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}
```
**Langkah** $$2$$: Substitusi ke rumus
```math
y = -\frac{1}{2}x \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{2}x \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}
```
Jadi dua persamaan garis singgung: $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{5}}{2}$$ dan $$y = -\frac{1}{2}x - \frac{3\sqrt{5}}{2}$$.
3. **Penyelesaian**:
Lingkaran $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$$ memiliki pusat $$(3,4)$$ dan jari-jari $$r = 5$$.
**Langkah** $$1$$: Cek posisi titik $$(11,10)$$
```math
(11-3)^2 + (10-4)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 > 25
```
Titik di luar lingkaran.
**Langkah** $$2$$: Gunakan persamaan kuadrat dalam gradien. Dengan translasi koordinat ke pusat lingkaran, titik $$(11,10)$$ menjadi $$(8,6)$$ relatif terhadap pusat.
**Langkah** $$3$$: Persamaan kuadrat dalam gradien untuk lingkaran $$x^2 + y^2 = 25$$ dari titik $$(8,6)$$:
```math
(8^2 - 25)m^2 - 2(8)(6)m + (6^2 - 25) = 0
```
```math
39m^2 - 96m + 11 = 0
```
**Langkah** $$4$$: Menggunakan rumus kuadrat:
```math
m = \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4(39)(11)}}{2(39)} = \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 1716}}{78}
```
```math
m = \frac{96 \pm \sqrt{7500}}{78} = \frac{96 \pm 50\sqrt{3}}{78}
```
**Langkah** $$5$$: Sederhanakan gradien dan tentukan persamaan garis singgung melalui titik $$(11,10)$$:
```math
m_1 = \frac{96 + 50\sqrt{3}}{78} \text{ dan} m_2 = \frac{96 - 50\sqrt{3}}{78}
```
Persamaan kedua garis singgung dapat ditulis dalam bentuk $$y - 10 = m(x - 11)$$.
4. **Penyelesaian**:
**Langkah** $$1$$: Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat
```math
x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0
```
```math
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 9 + 16
```
```math
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25
```
Pusat $$(3,4)$$, jari-jari $$r = 5$$.
**Langkah** $$2$$: Garis $$3x + 4y = 7$$ dapat ditulis $$y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$$
Gradien garis sejajar: $$m = -\frac{3}{4}$$
**Langkah** $$3$$: Untuk lingkaran dengan pusat $$(3,4)$$, persamaan garis singgung sejajar:
```math
y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \frac{9}{16}}
```
```math
y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5 \cdot \frac{5}{4}
```
```math
y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 \pm \frac{25}{4}
```
**Langkah** $$4$$: Sederhanakan kedua persamaan
```math
y = -\frac{3}{4}x + \frac{50}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}
```
```math
y = -\frac{3}{4}x
```
Jadi dua persamaan garis singgung: $$y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$$ dan $$y = -\frac{3}{4}x$$.
Visible text: 1. **Penyelesaian**:
Untuk lingkaran di titik , gunakan rumus:
**Langkah** : Substitusi koordinat titik singgung
**Langkah** : Sederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan
Jadi persamaan garis singgungnya adalah .
2. **Penyelesaian**:
Untuk gradien dan , gunakan rumus:
**Langkah** : Hitung nilai
**Langkah** : Substitusi ke rumus
Jadi dua persamaan garis singgung: dan .
3. **Penyelesaian**:
Lingkaran memiliki pusat dan jari-jari .
**Langkah** : Cek posisi titik
Titik di luar lingkaran.
**Langkah** : Gunakan persamaan kuadrat dalam gradien. Dengan translasi koordinat ke pusat lingkaran, titik menjadi relatif terhadap pusat.
**Langkah** : Persamaan kuadrat dalam gradien untuk lingkaran dari titik :
**Langkah** : Menggunakan rumus kuadrat:
**Langkah** : Sederhanakan gradien dan tentukan persamaan garis singgung melalui titik :
Persamaan kedua garis singgung dapat ditulis dalam bentuk .
4. **Penyelesaian**:
**Langkah** : Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat
Pusat , jari-jari .
**Langkah** : Garis dapat ditulis
Gradien garis sejajar:
**Langkah** : Untuk lingkaran dengan pusat , persamaan garis singgung sejajar:
**Langkah** : Sederhanakan kedua persamaan
Jadi dua persamaan garis singgung: dan .