# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/kombinatorik/kombinasi
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/combinatorics/combination/id.mdx
Pelajari rumus kombinasi C(n,k), contoh pemilihan tanpa memperhatikan urutan, dan latihan soal dengan pembahasan.
---
## Pengertian Kombinasi
Bayangkan kamu diminta memilih $$3 \text{ orang}$$ teman untuk bergabung dalam tim futsal. Apakah urutan pemilihan mereka penting? Tentu tidak! Yang penting adalah **siapa saja** yang terpilih, bukan dalam urutan apa mereka dipilih.
Visible text: Bayangkan kamu diminta memilih teman untuk bergabung dalam tim futsal. Apakah urutan pemilihan mereka penting? Tentu tidak! Yang penting adalah **siapa saja** yang terpilih, bukan dalam urutan apa mereka dipilih.
Inilah perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi. **Kombinasi** adalah cara memilih sejumlah objek dari kumpulan objek yang lebih besar, dimana **urutan tidak diperhatikan**.
Dalam kehidupan sehari-hari, kombinasi sering kita temui ketika:
- Memilih menu makanan dari daftar pilihan
- Menentukan anggota tim untuk suatu kegiatan
- Memilih mata pelajaran elective di sekolah
- Menentukan kombinasi warna untuk desain
Perbedaan dengan permutasi sangat jelas: jika dalam permutasi $$ABC$$ berbeda dengan $$BAC$$, maka dalam kombinasi $$ABC$$ sama dengan $$BAC$$ karena anggotanya sama, hanya urutannya berbeda.
Visible text: Perbedaan dengan permutasi sangat jelas: jika dalam permutasi berbeda dengan , maka dalam kombinasi sama dengan karena anggotanya sama, hanya urutannya berbeda.
## Rumus Kombinasi
Untuk menentukan banyaknya cara memilih $$k$$ objek dari $$n$$ objek yang tersedia, kita menggunakan rumus kombinasi:
Visible text: Untuk menentukan banyaknya cara memilih objek dari objek yang tersedia, kita menggunakan rumus kombinasi:
```math
C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}
```
Dimana:
- $$C(n,k)$$ atau $$\binom{n}{k}$$ berarti kombinasi $$k$$ objek dari $$n$$ objek
- $$n$$ adalah total objek yang tersedia
- $$k$$ adalah banyaknya objek yang dipilih
- $$n!$$ adalah faktorial dari $$n$$
Visible text: - atau berarti kombinasi objek dari objek
- adalah total objek yang tersedia
- adalah banyaknya objek yang dipilih
- adalah faktorial dari
**Mengapa rumus ini berbeda dari permutasi?**
Rumus kombinasi sebenarnya berasal dari rumus permutasi yang dibagi dengan $$k!$$:
Visible text: Rumus kombinasi sebenarnya berasal dari rumus permutasi yang dibagi dengan :
```math
C(n,k) = \frac{P(n,k)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}
```
Pembagian dengan $$k!$$ dilakukan karena dalam kombinasi, kita **tidak peduli urutan**. Setiap kelompok $$k$$ objek memiliki $$k! \text{ cara}$$ pengaturan yang berbeda, tetapi semuanya dianggap **sama** dalam kombinasi.
Visible text: Pembagian dengan dilakukan karena dalam kombinasi, kita **tidak peduli urutan**. Setiap kelompok objek memiliki pengaturan yang berbeda, tetapi semuanya dianggap **sama** dalam kombinasi.
## Penerapan dalam Situasi Nyata
**Pembentukan Tim Olahraga:**
Dari $$10 \text{ siswa}$$ yang tersedia, berapa cara memilih $$5 \text{ siswa}$$ untuk tim basket?
Visible text: Dari yang tersedia, berapa cara memilih untuk tim basket?
Component: MathContainer
Children:
```math
C(10,5) = \frac{10!}{5! \times 5!}
```
```math
C(10,5) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{30.240}{120} = 252 \text{ cara}
```
**Pemilihan Menu Makanan:**
Sebuah restoran menawarkan $$8$$ jenis makanan dan kamu boleh memilih $$3$$ jenis. Berapa banyak kombinasi pilihan yang mungkin?
Visible text: Sebuah restoran menawarkan jenis makanan dan kamu boleh memilih jenis. Berapa banyak kombinasi pilihan yang mungkin?
Component: MathContainer
Children:
```math
C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!}
```
```math
C(8,3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \text{ kombinasi}
```
**Situasi dengan Syarat Khusus:**
Kadang-kadang ada **pembatasan tertentu** dalam pemilihan. Misalnya, dari $$12 \text{ siswa}$$ ($$7 \text{ laki-laki}$$ dan $$5 \text{ perempuan}$$), kita harus memilih $$4 \text{ siswa}$$ dengan syarat minimal $$2 \text{ perempuan}$$.
Visible text: Kadang-kadang ada **pembatasan tertentu** dalam pemilihan. Misalnya, dari ( dan ), kita harus memilih dengan syarat minimal .
**Strategi penyelesaian:**
1. **Hitung semua kemungkinan** yang memenuhi syarat
2. **Pisahkan berdasarkan kondisi:** $$2 \text{ perempuan} + 2 \text{ laki-laki}$$, $$3 \text{ perempuan} + 1 \text{ laki-laki}$$, atau $$4 \text{ perempuan}$$
3. **Jumlahkan** semua kemungkinan
Visible text: 1. **Hitung semua kemungkinan** yang memenuhi syarat
2. **Pisahkan berdasarkan kondisi:** , , atau
3. **Jumlahkan** semua kemungkinan
**Perhitungan detail:**
**Kasus** $$1$$: $$2 \text{ perempuan} + 2 \text{ laki-laki}$$
Visible text: **Kasus** :
Component: MathContainer
Children:
```math
C(5,2) \times C(7,2) = \frac{5!}{3! \times 2!} \times \frac{7!}{5! \times 2!}
```
```math
= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 10 \times 21 = 210
```
**Kasus** $$2$$: $$3 \text{ perempuan} + 1 \text{ laki-laki}$$
Visible text: **Kasus** :
Component: MathContainer
Children:
```math
C(5,3) \times C(7,1) = \frac{5!}{2! \times 3!} \times \frac{7!}{6! \times 1!}
```
```math
= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 7 = 10 \times 7 = 70
```
**Kasus** $$3$$: $$4 \text{ perempuan} + 0 \text{ laki-laki}$$
Visible text: **Kasus** :
Component: MathContainer
Children:
```math
C(5,4) = \frac{5!}{1! \times 4!} = \frac{5}{1} = 5
```
**Total:** $$210 + 70 + 5 = 285$$ cara
Visible text: **Total:** cara
## Latihan
1. Dari $$8 \text{ buku}$$ yang berbeda, berapa cara memilih $$3 \text{ buku}$$ untuk dibaca selama liburan?
2. Sebuah tim futsal memiliki $$12 \text{ pemain}$$. Berapa cara memilih $$5 \text{ pemain}$$ untuk bermain di lapangan?
3. Dalam sebuah kotak terdapat $$6 \text{ bola}$$ merah dan $$4 \text{ bola}$$ biru. Berapa cara mengambil $$5 \text{ bola}$$ dengan syarat minimal $$3 \text{ bola}$$ merah?
4. Seorang siswa harus memilih $$4 \text{ mata pelajaran}$$ dari $$10 \text{ mata pelajaran}$$ yang tersedia. Jika $$6 \text{ mata pelajaran}$$ adalah wajib dan $$4 \text{ mata pelajaran}$$ adalah pilihan, berapa cara memilih jika harus ada minimal $$2 \text{ mata pelajaran wajib}$$?
Visible text: 1. Dari yang berbeda, berapa cara memilih untuk dibaca selama liburan?
2. Sebuah tim futsal memiliki . Berapa cara memilih untuk bermain di lapangan?
3. Dalam sebuah kotak terdapat merah dan biru. Berapa cara mengambil dengan syarat minimal merah?
4. Seorang siswa harus memilih dari yang tersedia. Jika adalah wajib dan adalah pilihan, berapa cara memilih jika harus ada minimal ?
### Kunci Jawaban
1. **Jawaban: $$56 \text{ cara}$$**
Langkah penyelesaian:
Diketahui: $$n = 8$$ buku, dipilih $$k = 3$$ buku
Rumus kombinasi:
```math
C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}
```
```math
C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56
```
Jadi, ada $$56 \text{ cara}$$ memilih $$3 \text{ buku}$$ dari $$8 \text{ buku}$$ yang tersedia.
2. **Jawaban: $$792 \text{ cara}$$**
Langkah penyelesaian:
Diketahui: $$n = 12$$ pemain, dipilih $$k = 5$$ pemain
Rumus kombinasi:
```math
C(12,5) = \frac{12!}{7! \times 5!}
```
```math
C(12,5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95.040}{120} = 792
```
Tim futsal dapat memilih $$5 \text{ pemain}$$ dari $$12 \text{ pemain}$$ dengan $$792 \text{ cara}$$ berbeda.
3. **Jawaban: $$186 \text{ cara}$$**
Langkah penyelesaian (**metode kasus**):
Total bola: $$6 \text{ merah} + 4 \text{ biru}$$ adalah $$10 \text{ bola}$$
Ambil $$5 \text{ bola}$$ dengan minimal $$3 \text{ bola}$$ merah
**Rincian perhitungan setiap kasus:**
**Kasus** $$1$$: $$3 \text{ merah} + 2 \text{ biru}$$
```math
C(6,3) \times C(4,2) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 20 \times 6 = 120
```
**Kasus** $$2$$: $$4 \text{ merah} + 1 \text{ biru}$$
```math
C(6,4) \times C(4,1) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60
```
**Kasus** $$3$$: $$5 \text{ merah} + 0 \text{ biru}$$
```math
C(6,5) \times C(4,0) = \frac{6!}{1! \times 5!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}
```
```math
= 6 \times 1 = 6
```
**Total:** $$120 + 60 + 6 = 186$$
Ada $$186 \text{ cara}$$ mengambil $$5 \text{ bola}$$ dengan minimal $$3 \text{ bola}$$ merah.
4. **Jawaban: $$185 \text{ cara}$$**
Langkah penyelesaian (**metode kasus**):
Mata pelajaran wajib: $$6$$, mata pelajaran pilihan: $$4$$
Pilih $$4 \text{ mata pelajaran}$$ dengan minimal $$2 \text{ wajib}$$
**Rincian perhitungan setiap kasus:**
**Kasus** $$1$$: $$2 \text{ wajib} + 2 \text{ pilihan}$$
```math
C(6,2) \times C(4,2) = \frac{6!}{4! \times 2!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90
```
**Kasus** $$2$$: $$3 \text{ wajib} + 1 \text{ pilihan}$$
```math
C(6,3) \times C(4,1) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 4 = 20 \times 4 = 80
```
**Kasus** $$3$$: $$4 \text{ wajib} + 0 \text{ pilihan}$$
```math
C(6,4) \times C(4,0) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}
```
```math
= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 1 = 15 \times 1 = 15
```
**Total:** $$90 + 80 + 15 = 185$$
Ada $$185 \text{ cara}$$ memilih mata pelajaran dengan syarat yang diberikan.
Visible text: 1. **Jawaban: **
Langkah penyelesaian:
Diketahui: buku, dipilih buku
Rumus kombinasi:
Jadi, ada memilih dari yang tersedia.
2. **Jawaban: **
Langkah penyelesaian:
Diketahui: pemain, dipilih pemain
Rumus kombinasi:
Tim futsal dapat memilih dari dengan berbeda.
3. **Jawaban: **
Langkah penyelesaian (**metode kasus**):
Total bola: adalah
Ambil dengan minimal merah
**Rincian perhitungan setiap kasus:**
**Kasus** :
**Kasus** :
**Kasus** :
**Total:**
Ada mengambil dengan minimal merah.
4. **Jawaban: **
Langkah penyelesaian (**metode kasus**):
Mata pelajaran wajib: , mata pelajaran pilihan:
Pilih dengan minimal
**Rincian perhitungan setiap kasus:**
**Kasus** :
**Kasus** :
**Kasus** :
**Total:**
Ada memilih mata pelajaran dengan syarat yang diberikan.