# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/kombinatorik/peluang-kejadian-majemuk-saling-lepas
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/combinatorics/probability-of-mutually-exclusive-events/id.mdx
Pahami kejadian saling lepas dalam peluang dengan penjelasan jelas dan contoh. Pelajari cara menghitung peluangnya dan menerapkan konsep efektif.
---
## Memahami Kejadian Saling Lepas
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi situasi dimana **dua kejadian tidak dapat terjadi bersamaan**. Misalnya, saat melempar satu koin, kita tidak mungkin mendapatkan angka dan gambar secara bersamaan dalam satu lemparan. Kejadian seperti ini disebut kejadian saling lepas atau mutually exclusive events.
**Kejadian saling lepas** adalah dua atau lebih kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan dalam satu percobaan. Jika salah satu kejadian terjadi, maka kejadian lainnya pasti tidak akan terjadi.
Sebagai ilustrasi sederhana, bayangkan kamu mengambil satu kartu dari satu deck. Kartu yang kamu ambil tidak mungkin sekaligus berwarna merah dan berwarna hitam. Kedua kejadian ini saling lepas karena tidak ada kartu yang memiliki kedua warna tersebut.
## Ciri Kejadian Saling Lepas
### Tidak Ada Irisan
Ciri utama kejadian saling lepas adalah **tidak memiliki irisan atau elemen yang sama**. Dalam notasi matematika, jika $$A$$ dan $$B$$ adalah kejadian saling lepas, maka:
Visible text: Ciri utama kejadian saling lepas adalah **tidak memiliki irisan atau elemen yang sama**. Dalam notasi matematika, jika dan adalah kejadian saling lepas, maka:
```math
A \cap B = \emptyset
```
Simbol $$\emptyset$$ menunjukkan himpunan kosong, artinya tidak ada elemen yang sama antara kedua kejadian.
Visible text: Simbol menunjukkan himpunan kosong, artinya tidak ada elemen yang sama antara kedua kejadian.
### Contoh dalam Kehidupan Nyata
Beberapa contoh kejadian saling lepas yang mudah dipahami:
- Dalam pelemparan dadu: munculnya angka genap dan munculnya angka ganjil
- Dalam pengambilan kartu: mengambil kartu As dan mengambil kartu King dalam satu pengambilan
- Dalam lomba lari: menempati juara pertama dan menempati juara kedua secara bersamaan
### Identifikasi Kejadian Saling Lepas
Untuk mengidentifikasi apakah dua kejadian saling lepas, tanyakan pada diri sendiri: "Bisakah kedua kejadian ini terjadi bersamaan dalam satu percobaan?" Jika jawabannya tidak, maka kedua kejadian tersebut saling lepas.
## Rumus Peluang Kejadian Saling Lepas
Karena kejadian saling lepas tidak memiliki irisan, perhitungan peluangnya menjadi lebih sederhana. **Rumus dasar** untuk peluang kejadian saling lepas adalah:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
```
Rumus ini menunjukkan bahwa peluang terjadinya kejadian $$A$$ atau kejadian $$B$$ sama dengan jumlah peluang masing-masing kejadian.
Visible text: Rumus ini menunjukkan bahwa peluang terjadinya kejadian atau kejadian sama dengan jumlah peluang masing-masing kejadian.
### Mengapa Rumus Ini Berlaku
Berbeda dengan kejadian yang tidak saling lepas, pada kejadian saling lepas tidak perlu mengurangi irisan karena $$P(A \cap B) = 0$$. Oleh karena itu, rumus umum:
Visible text: Berbeda dengan kejadian yang tidak saling lepas, pada kejadian saling lepas tidak perlu mengurangi irisan karena . Oleh karena itu, rumus umum:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
```
Menjadi:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)
```
## Penerapan dalam Perhitungan
### Pelemparan Dadu
Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya angka prima atau angka yang lebih besar dari $$4$$.
Visible text: Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya angka prima atau angka yang lebih besar dari .
**Penyelesaian:**
Ruang sampel: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
Visible text: Ruang sampel:
- Kejadian $$A$$ (angka prima): $$A = \{2, 3, 5\}$$
- Kejadian $$B$$ ($$\text{angka} > 4$$): $$B = \{5, 6\}$$
Visible text: - Kejadian (angka prima):
- Kejadian ():
Periksa irisan: $$A \cap B = \{5\}$$
Visible text: Periksa irisan:
Karena terdapat irisan (angka $$5$$), kedua kejadian **tidak saling lepas**. Mari gunakan contoh yang benar-benar saling lepas.
Visible text: Karena terdapat irisan (angka ), kedua kejadian **tidak saling lepas**. Mari gunakan contoh yang benar-benar saling lepas.
**Contoh yang Tepat:**
- Kejadian $$A$$ (angka ganjil): $$A = \{1, 3, 5\}$$
- Kejadian $$C$$ (angka genap): $$C = \{2, 4, 6\}$$
Visible text: - Kejadian (angka ganjil):
- Kejadian (angka genap):
Periksa irisan: $$A \cap C = \emptyset$$
Visible text: Periksa irisan:
Karena tidak ada irisan, kedua kejadian **saling lepas**.
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
```
Hasil ini masuk akal karena dalam pelemparan dadu, pasti akan muncul angka ganjil atau genap (semua kemungkinan tercakup).
### Pelemparan Dua Dadu
Dua dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang mendapatkan jumlah mata dadu $$5$$ atau jumlah mata dadu $$7$$.
Visible text: Dua dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang mendapatkan jumlah mata dadu atau jumlah mata dadu .
**Penyelesaian:**
Untuk memahami lebih jelas, mari kita lihat semua kemungkinan hasil pelemparan dua dadu dalam tabel berikut:
| Dadu $$1$$ \\ Dadu $$2$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | $$6$$ |
|------------------|---|---|---|---|---|---|
| $$1$$ | $$(1,1)$$ | $$(1,2)$$ | $$(1,3)$$ | $$(1,4)$$ | $$(1,5)$$ | $$(1,6)$$ |
| $$2$$ | $$(2,1)$$ | $$(2,2)$$ | $$(2,3)$$ | $$(2,4)$$ | $$(2,5)$$ | $$(2,6)$$ |
| $$3$$ | $$(3,1)$$ | $$(3,2)$$ | $$(3,3)$$ | $$(3,4)$$ | $$(3,5)$$ | $$(3,6)$$ |
| $$4$$ | $$(4,1)$$ | $$(4,2)$$ | $$(4,3)$$ | $$(4,4)$$ | $$(4,5)$$ | $$(4,6)$$ |
| $$5$$ | $$(5,1)$$ | $$(5,2)$$ | $$(5,3)$$ | $$(5,4)$$ | $$(5,5)$$ | $$(5,6)$$ |
| $$6$$ | $$(6,1)$$ | $$(6,2)$$ | $$(6,3)$$ | $$(6,4)$$ | $$(6,5)$$ | $$(6,6)$$ |
Visible text: | Dadu \\ Dadu | | | | | | |
|------------------|---|---|---|---|---|---|
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
Total kemungkinan adalah $$6 \times 6 = 36$$
Visible text: Total kemungkinan adalah
**Identifikasi kejadian:**
**Kejadian $$A$$** ($$\text{jumlah} = 5$$):
Visible text: **Kejadian ** ():
Dari tabel di atas, pasangan yang menghasilkan jumlah $$5$$ adalah:
Visible text: Dari tabel di atas, pasangan yang menghasilkan jumlah adalah:
- $$(1,4): 1 + 4 = 5$$
- $$(2,3): 2 + 3 = 5$$
- $$(3,2): 3 + 2 = 5$$
- $$(4,1): 4 + 1 = 5$$
Visible text: -
-
-
-
Jadi ada **$$4 \text{ cara}$$** untuk mendapatkan jumlah $$5$$.
Visible text: Jadi ada **** untuk mendapatkan jumlah .
**Kejadian $$B$$** ($$\text{jumlah} = 7$$):
Visible text: **Kejadian ** ():
Dari tabel di atas, pasangan yang menghasilkan jumlah $$7$$ adalah:
Visible text: Dari tabel di atas, pasangan yang menghasilkan jumlah adalah:
- $$(1,6): 1 + 6 = 7$$
- $$(2,5): 2 + 5 = 7$$
- $$(3,4): 3 + 4 = 7$$
- $$(4,3): 4 + 3 = 7$$
- $$(5,2): 5 + 2 = 7$$
- $$(6,1): 6 + 1 = 7$$
Visible text: -
-
-
-
-
-
Jadi ada **$$6 \text{ cara}$$** untuk mendapatkan jumlah $$7$$.
Visible text: Jadi ada **** untuk mendapatkan jumlah .
**Periksa irisan:** Tidak mungkin jumlah dadu sekaligus $$5$$ dan $$7$$, sehingga $$A \cap B = \emptyset$$
Visible text: **Periksa irisan:** Tidak mungkin jumlah dadu sekaligus dan , sehingga
Kedua kejadian **saling lepas**.
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}
```
```math
P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6}
```
**Penyelesaian penjumlahan pecahan:**
Untuk menjumlahkan $$\frac{1}{9} + \frac{1}{6}$$, kita perlu mencari KPK dari $$9$$ dan $$6$$.
Visible text: Untuk menjumlahkan , kita perlu mencari KPK dari dan .
$$KPK(9, 6) = 18$$, sehingga:
Visible text: , sehingga:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18}
```
```math
\frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18}
```
```math
P(A \cup B) = \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}
```
## Strategi Pemecahan Masalah
### Langkah Sistematis
Untuk menyelesaikan soal peluang kejadian saling lepas, ikuti langkah berikut:
1. **Identifikasi ruang sampel** dan tentukan total kemungkinan hasil
2. **Definisikan kejadian** yang dimaksud dalam soal dengan jelas
3. **Periksa irisan** antara kejadian untuk memastikan saling lepas
4. **Hitung peluang masing-masing** kejadian secara terpisah
5. **Terapkan rumus** $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
Visible text: 1. **Identifikasi ruang sampel** dan tentukan total kemungkinan hasil
2. **Definisikan kejadian** yang dimaksud dalam soal dengan jelas
3. **Periksa irisan** antara kejadian untuk memastikan saling lepas
4. **Hitung peluang masing-masing** kejadian secara terpisah
5. **Terapkan rumus**
### Tips Praktis
Beberapa tips untuk memudahkan pemahaman:
- **Visualisasikan** kejadian menggunakan diagram atau tabel jika memungkinkan
- **Periksa ulang** apakah hasil akhir masuk akal (peluang harus antara $$0$$ dan $$1$$)
- **Pastikan interpretasi** kata "atau" dalam soal sesuai dengan operasi gabungan
Visible text: - **Visualisasikan** kejadian menggunakan diagram atau tabel jika memungkinkan
- **Periksa ulang** apakah hasil akhir masuk akal (peluang harus antara dan )
- **Pastikan interpretasi** kata "atau" dalam soal sesuai dengan operasi gabungan
### Waspada Kejadian yang Tampak Saling Lepas
Banyak siswa keliru mengidentifikasi kejadian saling lepas. Berikut adalah contoh kejadian yang **tampak** saling lepas namun **sebenarnya tidak**:
**Contoh $$1$$: Pelemparan Dadu**
Visible text: **Contoh : Pelemparan Dadu**
- Kejadian $$A$$: Munculnya angka prima adalah $$\{2, 3, 5\}$$
- Kejadian $$B$$: Munculnya angka ganjil adalah $$\{1, 3, 5\}$$
Visible text: - Kejadian : Munculnya angka prima adalah
- Kejadian : Munculnya angka ganjil adalah
**Kesalahan umum**: "Prima dan ganjil berbeda, jadi saling lepas"
**Kenyataan**: $$A \cap B = \{3, 5\} \ne \emptyset$$, jadi **tidak saling lepas**
Visible text: **Kesalahan umum**: "Prima dan ganjil berbeda, jadi saling lepas"
**Kenyataan**: , jadi **tidak saling lepas**
**Contoh $$2$$: Pengambilan Kartu**
Visible text: **Contoh : Pengambilan Kartu**
- Kejadian $$A$$: Mengambil kartu merah
- Kejadian $$B$$: Mengambil kartu As
Visible text: - Kejadian : Mengambil kartu merah
- Kejadian : Mengambil kartu As
**Kesalahan umum**: "Warna dan jenis kartu berbeda, jadi saling lepas"
**Kenyataan**: Ada As merah (As hati dan As wajik), jadi **tidak saling lepas**
**Contoh $$3$$: Karakteristik Siswa**
Visible text: **Contoh : Karakteristik Siswa**
- Kejadian $$A$$: Siswa yang tinggi ($$>160 \text{ cm}$$)
- Kejadian $$B$$: Siswa yang pintar ($$\text{nilai} > 80$$)
Visible text: - Kejadian : Siswa yang tinggi ()
- Kejadian : Siswa yang pintar ()
**Kesalahan umum**: "Tinggi badan dan kepintaran tidak berhubungan"
**Kenyataan**: Bisa ada siswa yang sekaligus tinggi dan pintar, jadi **tidak saling lepas**
**Strategi Mengidentifikasi:**
1. **Tanyakan**: "Bisakah satu elemen memenuhi kedua kriteria sekaligus?"
2. **Cari irisan**: Identifikasi elemen yang masuk ke kedua kejadian
3. **Jika ada irisan**: Kejadian **tidak saling lepas**
4. **Jika tidak ada irisan**: Kejadian **saling lepas**
## Latihan
1. Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya angka kurang dari $$3$$ atau angka lebih dari $$5$$.
2. Dari sekotak kartu bridge standar, satu kartu diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya kartu As atau kartu King.
3. Dua koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang mendapatkan tepat $$1$$ gambar atau tepat $$2$$ angka.
4. Dalam sebuah kotak terdapat $$10 \text{ bola}$$ bernomor $$1$$ sampai $$10$$. Sebuah bola diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya bola bernomor genap atau bola bernomor prima ganjil.
Visible text: 1. Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya angka kurang dari atau angka lebih dari .
2. Dari sekotak kartu bridge standar, satu kartu diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya kartu As atau kartu King.
3. Dua koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang mendapatkan tepat gambar atau tepat angka.
4. Dalam sebuah kotak terdapat bernomor sampai . Sebuah bola diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya bola bernomor genap atau bola bernomor prima ganjil.
### Kunci Jawaban
1. **Penyelesaian:**
Ruang sampel: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$, sehingga $$n(S) = 6$$
- Kejadian $$A$$ ($$\text{angka} < 3$$): $$A = \{1, 2\}$$, sehingga $$n(A) = 2$$
- Kejadian $$B$$ ($$\text{angka} > 5$$): $$B = \{6\}$$, sehingga $$n(B) = 1$$
Periksa irisan: $$A \cap B = \emptyset$$ (tidak ada angka yang sekaligus memenuhi $$x < 3$$ dan $$x > 5$$)
Karena saling lepas, gunakan rumus:
```math
P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
```
```math
P(B) = \frac{1}{6}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
2. **Penyelesaian:**
Total kartu adalah $$52$$
- Kejadian $$A$$ (kartu As): $$4 \text{ kartu}$$ As
- Kejadian $$B$$ (kartu King): $$4 \text{ kartu}$$ King
Periksa irisan: Tidak ada kartu yang sekaligus As dan King, sehingga $$A \cap B = \emptyset$$
Kedua kejadian saling lepas.
```math
P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
```
```math
P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13}
```
3. **Penyelesaian:**
Ruang sampel pelemparan dua koin: $$\{(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)\}$$, total adalah $$4$$
- Kejadian $$A$$ (tepat satu gambar): $$\{(A,G), (G,A)\}$$, sehingga $$n(A) = 2$$
- Kejadian $$B$$ (tepat dua angka): $$\{(A,A)\}$$, sehingga $$n(B) = 1$$
Periksa irisan: $$A \cap B = \emptyset$$ (tidak mungkin tepat satu gambar dan tepat dua angka bersamaan)
```math
P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
```
```math
P(B) = \frac{1}{4}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
```
4. **Penyelesaian:**
Prima ganjil adalah bilangan prima yang sekaligus ganjil. Bilangan prima dari $$1\text{-}10$$ adalah $$\{2, 3, 5, 7\}$$, sehingga prima ganjil adalah $$\{3, 5, 7\}$$.
Ruang sampel: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$$, sehingga $$n(S) = 10$$
- Kejadian $$A$$ (nomor genap): $$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$$, sehingga $$n(A) = 5$$
- Kejadian $$B$$ (nomor prima ganjil): $$B = \{3, 5, 7\}$$, sehingga $$n(B) = 3$$
Periksa irisan: $$A \cap B = \emptyset$$ (tidak ada nomor yang sekaligus genap dan prima ganjil)
```math
P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
```
```math
P(B) = \frac{3}{10}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{10}
```
**Penyelesaian penjumlahan pecahan:**
Untuk menjumlahkan $$\frac{1}{2} + \frac{3}{10}$$, kita perlu menyamakan penyebut.
$$KPK(2, 10) = 10$$, sehingga:
```math
\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}
```
```math
P(A \cup B) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
```
Visible text: 1. **Penyelesaian:**
Ruang sampel: , sehingga
- Kejadian (): , sehingga
- Kejadian (): , sehingga
Periksa irisan: (tidak ada angka yang sekaligus memenuhi dan )
Karena saling lepas, gunakan rumus:
2. **Penyelesaian:**
Total kartu adalah
- Kejadian (kartu As): As
- Kejadian (kartu King): King
Periksa irisan: Tidak ada kartu yang sekaligus As dan King, sehingga
Kedua kejadian saling lepas.
3. **Penyelesaian:**
Ruang sampel pelemparan dua koin: , total adalah
- Kejadian (tepat satu gambar): , sehingga
- Kejadian (tepat dua angka): , sehingga
Periksa irisan: (tidak mungkin tepat satu gambar dan tepat dua angka bersamaan)
4. **Penyelesaian:**
Prima ganjil adalah bilangan prima yang sekaligus ganjil. Bilangan prima dari adalah , sehingga prima ganjil adalah .
Ruang sampel: , sehingga
- Kejadian (nomor genap): , sehingga
- Kejadian (nomor prima ganjil): , sehingga
Periksa irisan: (tidak ada nomor yang sekaligus genap dan prima ganjil)
**Penyelesaian penjumlahan pecahan:**
Untuk menjumlahkan , kita perlu menyamakan penyebut.
, sehingga: