# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/kombinatorik/peluang-kejadian-majemuk
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/combinatorics/probability-of-compound-events/id.mdx
Pelajari peluang kejadian majemuk dengan penjelasan jelas tentang kejadian bebas dan tidak bebas, rumus, dan contoh nyata.
---
## Memahami Kejadian Majemuk
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi situasi dimana **dua atau lebih kejadian terjadi bersamaan**. Misalnya, ketika melempar dadu dan koin secara bersamaan, atau mengambil dua kartu dari satu deck. Situasi seperti ini disebut dengan kejadian majemuk.
**Kejadian majemuk** adalah gabungan dari dua atau lebih kejadian tunggal yang dapat terjadi dalam satu percobaan atau beberapa percobaan yang dilakukan bersamaan. Berbeda dengan kejadian tunggal yang hanya melibatkan satu hasil, kejadian majemuk melibatkan kombinasi beberapa hasil sekaligus.
Sebagai ilustrasi sederhana, bayangkan kamu melempar sebuah dadu dan sebuah koin secara bersamaan. Kejadian tunggal hanya akan fokus pada hasil dadu saja atau koin saja. Namun kejadian majemuk akan mempertimbangkan kombinasi hasil keduanya, seperti "munculnya angka $$3$$ pada dadu DAN munculnya gambar pada koin".
Visible text: Sebagai ilustrasi sederhana, bayangkan kamu melempar sebuah dadu dan sebuah koin secara bersamaan. Kejadian tunggal hanya akan fokus pada hasil dadu saja atau koin saja. Namun kejadian majemuk akan mempertimbangkan kombinasi hasil keduanya, seperti "munculnya angka pada dadu DAN munculnya gambar pada koin".
## Jenis Kejadian Majemuk
### Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian dikatakan **saling lepas** ketika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersamaan dalam satu percobaan. Dengan kata lain, jika kejadian $$A$$ terjadi, maka kejadian $$B$$ pasti tidak terjadi, begitu juga sebaliknya.
Visible text: Dua kejadian dikatakan **saling lepas** ketika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersamaan dalam satu percobaan. Dengan kata lain, jika kejadian terjadi, maka kejadian pasti tidak terjadi, begitu juga sebaliknya.
Contoh klasik adalah pelemparan satu dadu. Kejadian munculnya angka genap dan kejadian munculnya angka ganjil adalah saling lepas, karena dalam satu lemparan tidak mungkin muncul angka yang sekaligus genap dan ganjil.
Untuk kejadian saling lepas, rumus peluangnya adalah:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
```
**Contoh Perhitungan:**
Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka $$1$$ atau $$3$$.
Visible text: Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka atau .
**Penyelesaian:**
Ruang sampel: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
Visible text: Ruang sampel:
- Kejadian $$A$$ (angka genap): $$A = \{2, 4, 6\}$$
- Kejadian $$B$$ (angka $$1$$ atau $$3$$): $$B = \{1, 3\}$$
Visible text: - Kejadian (angka genap):
- Kejadian (angka atau ):
Periksa irisan: $$A \cap B = \emptyset$$ (himpunan kosong)
Visible text: Periksa irisan: (himpunan kosong)
Karena tidak ada irisan, maka kedua kejadian **saling lepas**.
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}
```
### Kejadian Tidak Saling Lepas
Kejadian **tidak saling lepas** terjadi ketika dua kejadian dapat terjadi bersamaan dalam satu percobaan. Artinya, ada kemungkinan kedua kejadian terjadi secara simultan.
Misalnya, dalam pengambilan satu kartu dari deck standar, kejadian "mengambil kartu merah" dan kejadian "mengambil kartu As" adalah tidak saling lepas. Hal ini karena ada kartu yang sekaligus merah dan As, yaitu As Hati dan As Wajik.
Untuk kejadian tidak saling lepas, rumusnya adalah:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
```
Pengurangan $$P(A \cap B)$$ diperlukan untuk menghindari penghitungan ganda pada irisan kedua kejadian.
Visible text: Pengurangan diperlukan untuk menghindari penghitungan ganda pada irisan kedua kejadian.
**Contoh Perhitungan:**
Dari sekotak kartu bridge standar, satu kartu diambil secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu merah atau kartu bergambar (Jack, Queen, King).
**Penyelesaian:**
Total kartu $$= 52$$
Visible text: Total kartu
- Kejadian $$A$$ (kartu merah): $$26 \text{ kartu}$$ ($$13 \text{ Hati} + 13 \text{ Wajik}$$)
- Kejadian $$B$$ (kartu bergambar): $$12 \text{ kartu}$$ ($$4 \text{ Jack} + 4 \text{ Queen} + 4 \text{ King}$$)
Visible text: - Kejadian (kartu merah): ()
- Kejadian (kartu bergambar): ()
Irisan (kartu merah dan bergambar): $$6 \text{ kartu}$$ (Jack, Queen, King dari Hati dan Wajik)
Visible text: Irisan (kartu merah dan bergambar): (Jack, Queen, King dari Hati dan Wajik)
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}
```
```math
P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}
```
```math
P(A \cap B) = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}
```
```math
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{13} - \frac{3}{26} = \frac{13}{26} + \frac{6}{26} - \frac{3}{26} = \frac{16}{26} = \frac{8}{13}
```
### Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian disebut **saling bebas** ketika terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian lainnya. Hasil dari kejadian pertama tidak mengubah kondisi untuk kejadian kedua.
Contoh yang mudah dipahami adalah pelemparan dua koin secara bersamaan. Hasil pelemparan koin pertama (misalnya angka) tidak akan mempengaruhi hasil pelemparan koin kedua. Peluang munculnya gambar pada koin kedua tetap $$50\%$$ terlepas dari hasil koin pertama.
Visible text: Contoh yang mudah dipahami adalah pelemparan dua koin secara bersamaan. Hasil pelemparan koin pertama (misalnya angka) tidak akan mempengaruhi hasil pelemparan koin kedua. Peluang munculnya gambar pada koin kedua tetap terlepas dari hasil koin pertama.
Rumus untuk kejadian saling bebas:
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
```
**Contoh Perhitungan:**
Dua dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang munculnya angka $$3$$ pada dadu pertama dan angka genap pada dadu kedua.
Visible text: Dua dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang munculnya angka pada dadu pertama dan angka genap pada dadu kedua.
**Penyelesaian:**
- Kejadian $$A$$ (angka $$3$$ pada dadu pertama): $$1 \text{ kemungkinan}$$ dari $$6$$
- Kejadian $$B$$ (angka genap pada dadu kedua): $$\{2, 4, 6\} = 3 \text{ kemungkinan}$$ dari $$6$$
Visible text: - Kejadian (angka pada dadu pertama): dari
- Kejadian (angka genap pada dadu kedua): dari
Karena hasil dadu pertama tidak mempengaruhi dadu kedua, maka kedua kejadian saling bebas.
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{1}{6}
```
```math
P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}
```
### Kejadian Tidak Saling Bebas
Kejadian **tidak saling bebas** atau kejadian bersyarat terjadi ketika hasil dari kejadian pertama mempengaruhi peluang terjadinya kejadian kedua. Kondisi setelah kejadian pertama berubah dan mempengaruhi perhitungan selanjutnya.
**Penyebab utama:** Pengambilan **tanpa pengembalian** dimana objek yang sudah diambil tidak dikembalikan ke tempat semula, sehingga jumlah total objek berkurang dan mengubah peluang pengambilan berikutnya.
Rumus untuk kejadian tidak saling bebas:
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)
```
dimana $$P(B|A)$$ adalah peluang kejadian $$B$$ terjadi dengan syarat kejadian $$A$$ telah terjadi.
Visible text: dimana adalah peluang kejadian terjadi dengan syarat kejadian telah terjadi.
**Contoh Perhitungan:**
Dalam sebuah kotak terdapat $$8 \text{ bola}$$ biru dan $$4 \text{ bola}$$ kuning. Dua bola diambil secara acak **tanpa pengembalian**. Tentukan peluang kedua bola yang terambil berwarna biru.
Visible text: Dalam sebuah kotak terdapat biru dan kuning. Dua bola diambil secara acak **tanpa pengembalian**. Tentukan peluang kedua bola yang terambil berwarna biru.
**Penyelesaian:**
Total bola awal adalah $$8 + 4 = 12 \text{ bola}$$
Visible text: Total bola awal adalah
- Kejadian $$A$$ (bola pertama biru): $$8 \text{ bola}$$ biru dari $$12 \text{ bola}$$ total
- Kejadian $$B$$ (bola kedua biru setelah $$A$$): Karena $$1 \text{ bola}$$ biru sudah diambil, tersisa $$7 \text{ bola}$$ biru dari $$11 \text{ bola}$$ total
Visible text: - Kejadian (bola pertama biru): biru dari total
- Kejadian (bola kedua biru setelah ): Karena biru sudah diambil, tersisa biru dari total
Karena pengambilan tanpa pengembalian, kondisi berubah setelah pengambilan pertama, sehingga ini adalah kejadian tidak saling bebas.
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
```
```math
P(B|A) = \frac{7}{11}
```
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{3} \times \frac{7}{11} = \frac{14}{33}
```
## Penerapan dalam Perhitungan
### Operasi Gabungan
Ketika kita ingin mengetahui peluang "kejadian $$A$$ **ATAU** kejadian $$B$$", kita menggunakan operasi gabungan (union). Kata kunci "atau" menunjukkan bahwa kita mencari peluang dimana minimal salah satu kejadian terjadi.
Visible text: Ketika kita ingin mengetahui peluang "kejadian **ATAU** kejadian ", kita menggunakan operasi gabungan (union). Kata kunci "atau" menunjukkan bahwa kita mencari peluang dimana minimal salah satu kejadian terjadi.
Dalam pelemparan dadu, jika kita ingin mencari peluang munculnya angka ganjil atau angka prima, kita perlu mempertimbangkan apakah kedua kejadian saling lepas atau tidak.
### Operasi Irisan
Sebaliknya, ketika mencari peluang "kejadian $$A$$ **DAN** kejadian $$B$$", kita menggunakan operasi irisan (intersection). Kata kunci "dan" menunjukkan bahwa kedua kejadian harus terjadi bersamaan.
Visible text: Sebaliknya, ketika mencari peluang "kejadian **DAN** kejadian ", kita menggunakan operasi irisan (intersection). Kata kunci "dan" menunjukkan bahwa kedua kejadian harus terjadi bersamaan.
Dalam konteks pengambilan kartu, jika kita mencari peluang "mengambil kartu merah DAN kartu bernomor genap", kita harus menghitung kartu yang memenuhi kedua kriteria tersebut.
## Strategi Penyelesaian Masalah
Langkah pertama dalam menyelesaikan soal peluang kejadian majemuk adalah **mengidentifikasi jenis kejadian** yang terlibat. Perhatikan kata kunci dalam soal:
1. **"atau"** menunjukkan operasi gabungan
2. **"dan"** menunjukkan operasi irisan
3. **"tanpa pengembalian"** menunjukkan kejadian tidak saling bebas
4. **"dengan pengembalian"** atau "secara bersamaan" menunjukkan kejadian saling bebas
Selanjutnya, tentukan apakah kejadian tersebut saling lepas atau tidak dengan memeriksa apakah ada kemungkinan kedua kejadian terjadi bersamaan. Terakhir, pilih rumus yang sesuai dan lakukan perhitungan dengan teliti.
## Latihan
1. Dalam pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu bilangan prima atau mata dadu bilangan ganjil.
2. Sebuah kotak berisi $$6 \text{ bola}$$ merah dan $$4 \text{ bola}$$ putih. Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian. Hitunglah peluang terambilnya kedua bola berwarna merah.
3. Dua dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang jumlah mata dadu yang muncul adalah $$7$$ atau $$11$$.
4. Dari sekotak kartu bridge standar, satu kartu diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya kartu As atau kartu berwarna hitam.
Visible text: 1. Dalam pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu bilangan prima atau mata dadu bilangan ganjil.
2. Sebuah kotak berisi merah dan putih. Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian. Hitunglah peluang terambilnya kedua bola berwarna merah.
3. Dua dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang jumlah mata dadu yang muncul adalah atau .
4. Dari sekotak kartu bridge standar, satu kartu diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya kartu As atau kartu berwarna hitam.
### Kunci Jawaban
1. **Penyelesaian:**
Ruang sampel: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$, sehingga $$n(S) = 6$$
- Kejadian $$A$$ (bilangan prima): $$A = \{2, 3, 5\}$$, sehingga $$n(A) = 3$$
- Kejadian $$B$$ (bilangan ganjil): $$B = \{1, 3, 5\}$$, sehingga $$n(B) = 3$$
Irisan $$A$$ dan $$B$$: $$A \cap B = \{3, 5\}$$, sehingga $$n(A \cap B) = 2$$
Karena ada irisan, maka kejadian tidak saling lepas. Menggunakan rumus:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
```
```math
P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
```
```math
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
```
2. **Penyelesaian:**
Total bola adalah $$6 + 4 = 10 \text{ bola}$$
- Kejadian $$A$$ (bola pertama merah): $$6 \text{ bola}$$ merah dari $$10 \text{ bola}$$ total
- Kejadian $$B$$ (bola kedua merah setelah $$A$$): Setelah $$1 \text{ bola}$$ merah diambil, tersisa $$5 \text{ bola}$$ merah dari $$9 \text{ bola}$$ total
Karena pengambilan **tanpa pengembalian**, kondisi berubah setelah pengambilan pertama, sehingga ini adalah kejadian tidak saling bebas.
```math
P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
```
```math
P(B|A) = \frac{5}{9}
```
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}
```
3. **Penyelesaian:**
Total kemungkinan adalah $$6 \times 6 = 36$$
- Kejadian $$A$$ (jumlah adalah $$7$$): $$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$$ → $$6 \text{ cara}$$
- Kejadian $$B$$ (jumlah adalah $$11$$): $$(5,6), (6,5)$$ → $$2 \text{ cara}$$
Kedua kejadian saling lepas karena tidak mungkin jumlah dadu sekaligus $$7$$ dan $$11$$.
```math
P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
```
```math
P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} + \frac{1}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}
```
4. **Penyelesaian:**
Total kartu $$= 52$$
- Kejadian $$A$$ (kartu As): $$4 \text{ kartu}$$ As
- Kejadian $$B$$ (kartu hitam): $$26 \text{ kartu}$$ (Spade dan Club)
Irisan (As hitam): As Spade dan As Club adalah $$2 \text{ kartu}$$
```math
P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
```
```math
P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}
```
```math
P(A \cap B) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}
```
```math
P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} = \frac{2}{26} + \frac{13}{26} - \frac{1}{26} = \frac{14}{26} = \frac{7}{13}
```
Visible text: 1. **Penyelesaian:**
Ruang sampel: , sehingga
- Kejadian (bilangan prima): , sehingga
- Kejadian (bilangan ganjil): , sehingga
Irisan dan : , sehingga
Karena ada irisan, maka kejadian tidak saling lepas. Menggunakan rumus:
2. **Penyelesaian:**
Total bola adalah
- Kejadian (bola pertama merah): merah dari total
- Kejadian (bola kedua merah setelah ): Setelah merah diambil, tersisa merah dari total
Karena pengambilan **tanpa pengembalian**, kondisi berubah setelah pengambilan pertama, sehingga ini adalah kejadian tidak saling bebas.
3. **Penyelesaian:**
Total kemungkinan adalah
- Kejadian (jumlah adalah ): →
- Kejadian (jumlah adalah ): →
Kedua kejadian saling lepas karena tidak mungkin jumlah dadu sekaligus dan .
4. **Penyelesaian:**
Total kartu
- Kejadian (kartu As): As
- Kejadian (kartu hitam): (Spade dan Club)
Irisan (As hitam): As Spade dan As Club adalah