# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/kombinatorik/permutasi-dengan-objek-yang-sama
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/combinatorics/permutation-with-identical-objects/id.mdx
Pelajari permutasi dengan objek yang sama menggunakan rumus multinomial. Pelajari perhitungan susunan berbeda saat objek tidak dapat dibedakan.
---
## Pengertian Permutasi dengan Objek yang Sama
**Permutasi dengan objek yang sama** adalah susunan objek dimana terdapat beberapa objek yang identik atau sama. Ketika ada objek yang sama, jumlah susunan yang berbeda akan berkurang karena **pertukaran objek yang identik tidak menghasilkan susunan baru**.
Bayangkan menyusun huruf dari kata "MAMA". Walaupun ada $$4$$ huruf, kita tidak bisa membedakan antara huruf $$M$$ yang pertama dengan $$M$$ yang kedua, atau $$A$$ yang pertama dengan $$A$$ yang kedua. Akibatnya, susunan yang terlihat berbeda tetapi menggunakan huruf yang sama di posisi berbeda dianggap identik.
Visible text: Bayangkan menyusun huruf dari kata "MAMA". Walaupun ada huruf, kita tidak bisa membedakan antara huruf yang pertama dengan yang kedua, atau yang pertama dengan yang kedua. Akibatnya, susunan yang terlihat berbeda tetapi menggunakan huruf yang sama di posisi berbeda dianggap identik.
## Rumus Permutasi Objek Identik
Untuk permutasi $$n$$ objek dimana terdapat objek yang sama, **rumus yang digunakan** adalah:
Visible text: Untuk permutasi objek dimana terdapat objek yang sama, **rumus yang digunakan** adalah:
Component: MathContainer
Children:
```math
P = \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times r_3! \times \cdots \times r_k!}
```
**Keterangan:**
- $$n$$ = jumlah total objek
- $$r_1, r_2, r_3, \ldots, r_k$$ = banyaknya objek yang sama pada setiap kelompok
- $$k$$ = banyaknya kelompok objek yang identik
Visible text: - = jumlah total objek
- = banyaknya objek yang sama pada setiap kelompok
- = banyaknya kelompok objek yang identik
**Cara mengidentifikasi objek yang sama**: Hitung berapa kali setiap objek muncul dalam seluruh susunan, bukan hanya melihat objek yang berbeda.
## Penerapan pada Kata dan Huruf
### Contoh Kata KALIMANTAN
Mari kita hitung berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "KALIMANTAN".
**Langkah identifikasi sistematis:**
Tulis huruf satu per satu: K-A-L-I-M-A-N-T-A-N
Total huruf: $$10$$
Visible text: Total huruf:
Identifikasi huruf: K muncul $$1 \text{ kali}$$, A muncul $$3 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$2$$, ke-$$6$$, ke-$$9$$), L muncul $$1 \text{ kali}$$, I muncul $$1 \text{ kali}$$, M muncul $$1 \text{ kali}$$, N muncul $$2 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$7$$, ke-$$10$$), T muncul $$1 \text{ kali}$$
Visible text: Identifikasi huruf: K muncul , A muncul (posisi ke-, ke-, ke-), L muncul , I muncul , M muncul , N muncul (posisi ke-, ke-), T muncul
**Perhitungan:**
Component: MathContainer
Children:
```math
P = \frac{10!}{1! \times 3! \times 1! \times 1! \times 1! \times 2! \times 1!}
```
```math
= \frac{10!}{3! \times 2!}
```
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
Component: MathContainer
Children:
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2}
```
Hitung langkah demi langkah:
- Bagi $$10$$ dengan $$2$$: $$\frac{10}{2} = 5$$
- Jadi: $$5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$$
- $$= 5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 302.400$$
Visible text: - Bagi dengan :
- Jadi:
-
### Contoh Kata PALAPA
Untuk kata "PALAPA" dengan $$6$$ huruf:
Tulis huruf satu per satu: P-A-L-A-P-A
Visible text: Untuk kata "PALAPA" dengan huruf:
Tulis huruf satu per satu: P-A-L-A-P-A
**Identifikasi huruf:** P muncul $$2 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$1$$, ke-$$5$$), A muncul $$3 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$2$$, ke-$$4$$, ke-$$6$$), L muncul $$1 \text{ kali}$$
Visible text: **Identifikasi huruf:** P muncul (posisi ke-, ke-), A muncul (posisi ke-, ke-, ke-), L muncul
Hitung setiap faktorial:
- $$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$
- $$2! = 2 \times 1 = 2$$
- $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$
Visible text: -
-
-
Jadi, perhitungannya adalah:
Component: MathContainer
Children:
```math
P = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2 \times 1}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}
```
Sederhanakan dengan membagi $$6$$ dengan $$2$$:
Visible text: Sederhanakan dengan membagi dengan :
- $$\frac{6}{2} = 3$$
- Jadi: $$3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ susunan}$$
Visible text: -
- Jadi:
## Langkah Perhitungan Sistematis
Untuk menyelesaikan masalah permutasi dengan objek yang sama, ikuti langkah berikut:
1. **Hitung total objek**: Tentukan nilai $$n$$
2. **Identifikasi objek sama**: Kelompokkan objek yang identik
3. **Hitung frekuensi**: Tentukan berapa kali setiap objek muncul
4. **Terapkan rumus**: Masukkan ke dalam rumus permutasi
5. **Hitung faktorial**: Selesaikan perhitungan dengan teliti
Visible text: 1. **Hitung total objek**: Tentukan nilai
2. **Identifikasi objek sama**: Kelompokkan objek yang identik
3. **Hitung frekuensi**: Tentukan berapa kali setiap objek muncul
4. **Terapkan rumus**: Masukkan ke dalam rumus permutasi
5. **Hitung faktorial**: Selesaikan perhitungan dengan teliti
### Kata BANANA
Mari kita terapkan langkah-langkah ini untuk mencari susunan kata "BANANA":
1. **Hitung total objek**
Tulis huruf satu per satu: B-A-N-A-N-A
Total huruf: $$n = 6$$
2. **Identifikasi objek sama**
Kelompokkan huruf yang identik:
- Kelompok B: B
- Kelompok A: A, A, A
- Kelompok N: N, N
3. **Hitung frekuensi**
Hitung berapa kali setiap huruf muncul:
- B muncul $$1 \text{ kali}$$
- A muncul $$3 \text{ kali}$$
- N muncul $$2 \text{ kali}$$
4. **Terapkan rumus**
Gunakan rumus permutasi dengan objek yang sama:
```math
P = \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times r_3!}
```
```math
P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}
```
5. **Hitung faktorial**
Sederhanakan pecahan terlebih dahulu:
```math
P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{1! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}
```
Hitung dengan penyederhanaan:
- Bagi $$6$$ dengan $$2$$: $$\frac{6}{2} = 3$$
- Jadi: $$3 \times 5 \times 4 = 60$$
Visible text: 1. **Hitung total objek**
Tulis huruf satu per satu: B-A-N-A-N-A
Total huruf:
2. **Identifikasi objek sama**
Kelompokkan huruf yang identik:
- Kelompok B: B
- Kelompok A: A, A, A
- Kelompok N: N, N
3. **Hitung frekuensi**
Hitung berapa kali setiap huruf muncul:
- B muncul
- A muncul
- N muncul
4. **Terapkan rumus**
Gunakan rumus permutasi dengan objek yang sama:
5. **Hitung faktorial**
Sederhanakan pecahan terlebih dahulu:
Hitung dengan penyederhanaan:
- Bagi dengan :
- Jadi:
Jadi, kata "BANANA" dapat disusun dalam **$$60 \text{ cara}$$ yang berbeda**.
Visible text: Jadi, kata "BANANA" dapat disusun dalam ** yang berbeda**.
## Perbedaan dengan Permutasi Biasa
**Permutasi biasa**: Semua objek berbeda, menggunakan rumus $$n!$$
Visible text: **Permutasi biasa**: Semua objek berbeda, menggunakan rumus
**Permutasi dengan objek sama**: Ada objek identik, menggunakan rumus:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{n!}{r_1! \times r_2! \times \cdots \times r_k!}
```
**Contoh perbandingan:**
Menyusun huruf A, B, C, D (semua berbeda): $$4! = 24 \text{ cara}$$
Visible text: Menyusun huruf A, B, C, D (semua berbeda):
Menyusun huruf $$A, A, B, C$$ (ada yang sama):
Visible text: Menyusun huruf (ada yang sama):
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cara}
```
Objek yang sama **mengurangi** jumlah susunan karena pertukaran objek identik tidak menghasilkan perbedaan.
## Latihan
1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA"?
2. Sebuah toko bunga memiliki $$8$$ bunga mawar dimana $$3$$ berwarna merah, $$3$$ berwarna putih, dan $$2$$ berwarna kuning. Berapa banyak cara menyusun bunga tersebut dalam satu barisan?
3. Dari angka $$1, 1, 2, 2, 2, 3$$, berapa banyak bilangan $$6$$ digit yang dapat dibentuk?
4. Kata "INDONESIA" memiliki berapa banyak susunan huruf yang berbeda?
Visible text: 1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA"?
2. Sebuah toko bunga memiliki bunga mawar dimana berwarna merah, berwarna putih, dan berwarna kuning. Berapa banyak cara menyusun bunga tersebut dalam satu barisan?
3. Dari angka , berapa banyak bilangan digit yang dapat dibentuk?
4. Kata "INDONESIA" memiliki berapa banyak susunan huruf yang berbeda?
### Kunci Jawaban
1. Kata "MATEMATIKA" memiliki $$10$$ huruf
**Huruf satu per satu:** M-A-T-E-M-A-T-I-K-A
**Identifikasi huruf:** M muncul $$2 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$1$$, ke-$$5$$), A muncul $$3 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$2$$, ke-$$6$$, ke-$$10$$), T muncul $$2 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$3$$, ke-$$7$$), E muncul $$1 \text{ kali}$$, I muncul $$1 \text{ kali}$$, K muncul $$1 \text{ kali}$$
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
```math
P = \frac{10!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2! \times 2!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{4}
```
Hitung dengan penyederhanaan:
- Perhitungan lengkap: $$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 604.800$$
- Bagi dengan $$4$$: $$\frac{604.800}{4} = 151.200 \text{ susunan}$$
2. Total $$8$$ bunga dengan merah $$3$$, putih $$3$$, kuning $$2$$
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
```math
P = \frac{8!}{3! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{3! \times 2!}
```
```math
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 2}
```
```math
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{12}
```
Hitung dengan penyederhanaan:
- Bagi $$6$$ dengan $$12$$: $$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$
- Jadi: $$8 \times 7 \times \frac{1}{2} \times 5 \times 4$$
- $$= 4 \times 7 \times 5 \times 4 = 560 \text{ cara}$$
3. Angka $$1, 1, 2, 2, 2, 3$$ (total $$6$$ digit)
**Identifikasi angka:** angka $$1$$ muncul $$2 \text{ kali}$$, angka $$2$$ muncul $$3 \text{ kali}$$, angka $$3$$ muncul $$1 \text{ kali}$$
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
```math
P = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}
```
Hitung dengan penyederhanaan:
- Bagi $$6$$ dengan $$2$$: $$\frac{6}{2} = 3$$
- Jadi: $$3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ bilangan}$$
4. Kata "INDONESIA" memiliki $$9$$ huruf
**Huruf satu per satu:** I-N-D-O-N-E-S-I-A
**Identifikasi huruf:** I muncul $$2 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$1$$, ke-$$8$$), N muncul $$2 \text{ kali}$$ (posisi ke-$$2$$, ke-$$5$$), D muncul $$1 \text{ kali}$$, O muncul $$1 \text{ kali}$$, E muncul $$1 \text{ kali}$$, S muncul $$1 \text{ kali}$$, A muncul $$1 \text{ kali}$$
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
```math
P = \frac{9!}{2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!}
```
```math
= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2! \times 2!}
```
```math
= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2!}
```
```math
= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2}
```
Hitung dengan penyederhanaan:
- Bagi dengan $$2$$: $$\frac{8}{2} = 4$$
- Jadi: $$9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$$
- $$= 9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 90.720 \text{ susunan}$$
Visible text: 1. Kata "MATEMATIKA" memiliki huruf
**Huruf satu per satu:** M-A-T-E-M-A-T-I-K-A
**Identifikasi huruf:** M muncul (posisi ke-, ke-), A muncul (posisi ke-, ke-, ke-), T muncul (posisi ke-, ke-), E muncul , I muncul , K muncul
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
Hitung dengan penyederhanaan:
- Perhitungan lengkap:
- Bagi dengan :
2. Total bunga dengan merah , putih , kuning
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
Hitung dengan penyederhanaan:
- Bagi dengan :
- Jadi:
-
3. Angka (total digit)
**Identifikasi angka:** angka muncul , angka muncul , angka muncul
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
Hitung dengan penyederhanaan:
- Bagi dengan :
- Jadi:
4. Kata "INDONESIA" memiliki huruf
**Huruf satu per satu:** I-N-D-O-N-E-S-I-A
**Identifikasi huruf:** I muncul (posisi ke-, ke-), N muncul (posisi ke-, ke-), D muncul , O muncul , E muncul , S muncul , A muncul
Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
Hitung dengan penyederhanaan:
- Bagi dengan :
- Jadi:
-