Permutasi Semua Objek

Menyusun Setiap Objek Tepat Satu Kali

Permutasi semua objek adalah susunan $n$ item dari $n$ objek. Setiap objek digunakan tepat satu kali dan urutan objek menentukan hasil susunan. Semua objek dipakai tanpa ada yang tersisa.

Lima siswa akan berbaris untuk foto. Kelimanya mendapat satu posisi, dan setiap urutan yang berbeda dihitung sebagai susunan yang berbeda.

Rumus Permutasi Lengkap

Substitusikan $r=n$ ke rumus umum permutasi:

Karena semua objek digunakan:

• $(n-n) = 0$, sehingga penyebutnya menjadi $0!$
• Berdasarkan definisi matematis, $0! = 1$
• Oleh karena itu: $\frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!$

Karena $0!=1$, rumus permutasi lengkap menjadi:

Definisi Faktorial

Faktorial $n!$ adalah hasil kali bilangan bulat positif dari $n$ turun sampai $1$:

Berdasarkan definisi:

• $0! = 1$ (berdasarkan definisi matematis)
• $1! = 1$

Menempatkan Semua Objek pada Posisi Berbeda

Setiap susunan di bawah memberi setiap objek satu posisi, sehingga tidak ada objek yang tertinggal dan tidak ada yang berulang. Perhitungan mulai dari banyak objek, lalu berkurang satu pilihan pada setiap langkah.

Organisasi Sekolah

Misalkan ada $4 \text{ siswa}$ yang akan mengisi $4$ posisi dalam kepengurusan kelas: ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Setiap siswa hanya dapat memegang satu jabatan.

Banyaknya cara menyusun kepengurusan tersebut adalah:

Susunan Tempat Duduk

Sebuah keluarga yang terdiri dari $6$ anggota akan duduk berjajar di sofa untuk foto keluarga. Banyaknya cara mereka dapat disusun adalah:

Menghitung Permutasi Lengkap

Untuk permutasi lengkap dari $n$ objek:

1. Tentukan jumlah objek: Periksa bahwa semua objek digunakan
2. Tulis rumus faktorial: Gunakan $n!$
3. Uraikan faktorial: Kalikan dari $n$ turun sampai $1$
4. Periksa aritmetikanya: Hitung ulang hasil kali

Menguraikan Lima Faktorial

Uraikan $5!$ satu faktor setiap langkah:

Permutasi Lengkap dan Permutasi Sebagian

Permutasi lengkap ($n$ dari $n$ objek): Menggunakan semua objek yang tersedia. Permutasi sebagian ($r$ dari $n$ objek): Hanya menggunakan sebagian objek.

Untuk lima buku:

• Permutasi lengkap: Menyusun $5 \text{ buku}$ dalam $5 \text{ posisi}$ di rak adalah $5! = 120 \text{ cara}$
• Permutasi sebagian: Memilih dan menyusun $3 \text{ buku}$ dari $5 \text{ buku}$ yang ada adalah $5P_3 = 60 \text{ cara}$

Perhitungan detail untuk permutasi sebagian:

Dalam permutasi $n$ item dari $n$ objek, tidak ada objek yang tersisa dan semua posisi harus diisi.

Latihan

Ketiga soal menyusun semua objek dalam satu barisan dan meminta banyak urutan, sehingga ketiganya memakai hitungan faktorial yang sama.

1. Sebuah tim fotografer ingin menyusun $7 \text{ model}$ untuk sesi foto dalam satu barisan. Berapa banyak cara berbeda mereka dapat menyusun ketujuh model tersebut?

2. Dalam sebuah perlombaan lari, terdapat $5 \text{ peserta}$ yang semuanya harus finis. Berapa banyak kemungkinan urutan finis yang berbeda?

3. Seorang chef ingin menata $6$ jenis makanan berbeda di atas meja dalam satu barisan lurus. Berapa banyak cara berbeda ia dapat menata makanan tersebut?

4. Sebuah perpustakaan memiliki $8 \text{ buku}$ berbeda yang akan disusun dalam satu rak. Jika semua buku harus diletakkan di rak tersebut, berapa banyak cara penyusunan yang mungkin?

Kunci Jawaban

1. Diketahui: $7 \text{ model}$ akan disusun dalam satu barisan (semua model digunakan)

   $$7P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \text{ cara}$$

2. Diketahui: $5 \text{ peserta lari}$ dengan urutan finis yang berbeda (semua peserta finis)

   $$5P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ kemungkinan urutan}$$

3. Diketahui: $6$ jenis makanan akan ditata dalam satu barisan lurus (semua makanan ditata)

   $$6P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \text{ cara}$$

4. Diketahui: $8 \text{ buku}$ berbeda akan disusun dalam satu rak (semua buku disusun)

   $$8P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \text{ cara}$$