Aplikasi Limit Fungsi

Model Kesehatan Masyarakat yang Disederhanakan

Limit dapat menggambarkan perilaku jangka panjang sebuah model matematika. Dalam kesehatan masyarakat, rumus harus dicocokkan dengan data yang andal dan diuji sebelum digunakan untuk mengambil keputusan nyata. Rumus berikut menunjukkan cara menghitung limit sekaligus memeriksa daerah berlaku model.

Memeriksa Daerah Berlaku Model

Rumus yang disederhanakan ini dipakai untuk melihat sejauh mana model tetap bermakna:

Di sini, $N(t)$ menyatakan jumlah kasus dalam model, sedangkan $t$ adalah input tak negatif yang satuannya harus ditentukan sesuai skenario.

Untuk menguji apakah rumus ini tetap bermakna dalam jangka panjang, hitung:

Singkat suku akar sebagai $R(t)$:

Perilaku jangka panjang:

Ketika $t$ sangat besar, suku $t^2$ akan mendominasi di dalam akar karena:

• $t^2$ tumbuh lebih cepat dibanding $t$ dan konstanta $(190{,}68)^3$
• Untuk $t \gg 1$, berlaku $t^2 - t + (190{,}68)^3 \approx t^2$

Jadi,

Untuk $t$ positif yang besar:

Jumlah kasus yang negatif menunjukkan bahwa rumus dipakai di luar rentang waktu yang dapat dimodelkan. Karena jumlah kasus tidak mungkin negatif, rumus hanya bermakna selama $N(t) \geq 0$. Rumus sederhana ini hanya menjadi contoh perhitungan matematika. Rumus ini tidak dapat memprediksi perkembangan wabah dan tidak boleh digunakan sebagai panduan medis atau kebijakan.

Hasil Model pada Target Vaksinasi

Dalam model ini, limit dan nilai fungsi menunjukkan hasil rumus di sekitar target vaksinasi tertentu. Hasil perhitungan tersebut belum membuktikan bahwa target itu efektif. Untuk menilai efektivitas target, kita tetap membutuhkan data nyata tentang populasi dan penularan.

Misalkan model memakai target vaksinasi $V \text{ orang}$ berusia di atas $18 \text{ tahun}$. Masukkan nilai $V$ ke dalam rumus untuk menghitung jumlah kasus yang diberikan oleh model pada target tersebut. Hasil ini hanya berasal dari rumus dan tidak membuktikan bahwa target itu merupakan strategi terbaik.

Aplikasi dalam Bidang Ekonomi

Besaran marginal mengukur perubahan akibat satu satuan tambahan. Limit mengubah perubahan itu menjadi laju sesaat, dan itulah arti besaran marginal ketika tambahan satuannya dibuat sangat kecil.

Analisis Biaya Marginal

Dalam model biaya yang dapat diturunkan, biaya marginal adalah laju sesaat perubahan biaya total terhadap jumlah produksi. Besaran ini didefinisikan dengan turunan:

Definisi matematis menggunakan limit:

Pada definisi ini:

• $C(x)$ = fungsi total biaya produksi untuk $x \text{ unit}$
• $\Delta x$ = perubahan kecil dalam jumlah produksi
• Limit memberikan laju perubahan sesaat biaya terhadap produksi

Jika hasil produksi dihitung dalam satuan utuh, tambahan biaya tepat untuk unit berikutnya adalah $C(x+1)-C(x)$. Turunan $C'(x)$ sering mendekati perubahan diskret tersebut, tetapi keduanya tidak selalu sama persis.

Model Pertumbuhan Populasi

Ambil parameter positif $K>0$, $A>0$, dan $r>0$. Salah satu bentuk model populasi logistik yang disederhanakan adalah:

Karena $e^{-rt} \to 0$ ketika $t \to \infty$, model mendekati parameter daya dukungnya:

Di sini, $K$ adalah parameter dalam model yang disederhanakan. Daya dukung lingkungan nyata dapat berubah, sehingga limit tersebut tidak menyatakan bahwa setiap populasi terukur pasti menetap selamanya pada satu nilai tetap.

Penerapan dalam Teknologi dan Sains

Setiap contoh menerapkan limit pada proses yang berlangsung, yaitu bagaimana suatu besaran berkembang ketika besaran lain menuju nilai limitnya. Pada kedua contoh, hasilnya berupa satu nilai akhir yang muncul setelah perubahan bertahap.

Analisis Sinyal Digital

Untuk model low-pass orde satu yang dinormalisasi dengan frekuensi cutoff $\omega_c > 0$, besar respons frekuensinya adalah:

Nilai limitnya memperjelas perilaku ideal model:

Model ini meneruskan frekuensi yang sangat rendah dengan penguatan satu dan semakin meredam frekuensi tinggi. Aturan tersebut menjelaskan satu jenis filter matematis. Filter digital lain dapat mengikuti aturan yang berbeda.

Laju Reaksi Kimia

Untuk konsumsi ideal orde satu dari reaktan $A$, hukum laju terintegrasinya adalah:

Oleh karena itu,

Kesimpulan ini hanya berlaku untuk model orde satu yang tidak dapat balik tersebut. Reaksi dapat balik pada kesetimbangan umumnya memerlukan model lain dan konsentrasi reaktannya tidak harus nol.

Menghitung Kasus pada Target Vaksinasi

Misalkan $t$ adalah jumlah orang yang telah divaksinasi dan $N(t)$ adalah jumlah kasus positif tersisa yang dihitung oleh model berikut:

Kita akan menghitung $N(282{.}367)$ untuk target vaksinasi $282{.}367 \text{ orang}$.

Data dan Asumsi

Perhitungan ini memakai asumsi berikut:

• Total populasi adalah $576{.}260 \text{ orang}$.
• Anak-anak berjumlah $21\%$ dari populasi dan orang dewasa berjumlah $79\%$.
• Proporsi kasus positif adalah $30\%$ pada setiap kelompok usia.
• Hanya orang dewasa yang tidak termasuk kelompok kasus positif yang memenuhi syarat vaksinasi.

Asumsi tersebut menghasilkan jumlah berikut:

Dengan jumlah orang yang memenuhi syarat sebelum pembulatan, persentase targetnya adalah:

Target tersebut sekitar $88{,}6\%$ dari jumlah orang dewasa yang memenuhi syarat dalam perhitungan ini. Rumus sederhana ini hanya menunjukkan cara menghitung nilai fungsi pada target tersebut. Rumus ini tidak dapat dipakai untuk menetapkan target vaksinasi di dunia nyata.

Perhitungan

Untuk menghitung jumlah kasus dalam model, kita memakai $t=282{.}367$:

Langkah 1 menghitung suku konstanta.

Nilai yang ditampilkan dibulatkan hingga dua angka desimal. Perhitungan berikutnya tetap memakai nilai sebelum pembulatan.

Langkah 2 menghitung kuadrat jumlah orang yang divaksinasi.

Langkah 3 menggabungkan nilai di dalam akar.

Langkah 4 memberikan hasil akhir.

Arti Hasil

Jika $282{.}367$ orang sudah divaksinasi, rumus menghasilkan sekitar $2{.}621$ kasus positif tersisa. Hasil ini hanya berasal dari rumus sederhana tersebut. Data nyata tetap diperlukan untuk memprediksi jumlah kasus positif yang tersisa atau menentukan alokasi sumber daya kesehatan.

Batas Rumus dan Model

Nilai $2{.}621 \text{ kasus}$ menjawab pertanyaan matematis dari rumus yang diberikan. Keputusan nyata masih memerlukan bukti yang diuji secara terpisah mengenai:

1. Kapasitas rumah sakit saat ini dan proyeksinya
2. Tenaga medis yang tersedia dan beban kerjanya
3. Alokasi sumber daya dalam beberapa skenario yang masuk akal
4. Ketidakpastian dan strategi komunikasi publik yang jujur

Limit menunjukkan perilaku sebuah rumus. Kita tetap membutuhkan data nyata untuk mengetahui apakah rumus itu sesuai dengan keadaan sebenarnya. Karena itu, tuliskan asumsi, daerah berlaku, satuan, dan ketidakpastian model saat menjelaskan hasil perhitungan.

Latihan

Setiap soal memberi suatu situasi dan meminta nilai yang didekati suatu besaran. Tentukan besarannya lebih dulu, lalu hitung limitnya.

1. Sebuah perusahaan farmasi memodelkan produksi vaksin kumulatif dengan $P(t) = 50000(1 - e^{-0{,}1t})$ untuk $t \geq 0$. Tentukan batas produksi jangka panjang yang diprediksi model.

2. Jangkauan kumulatif sebuah pesan media sosial dimodelkan dengan $I(t) = \frac{100000t}{t + 50}$ untuk $t \geq 0$. Hitung limit ketika $t \to \infty$ dan jelaskan jangkauan jangka panjang yang diprediksi model.

3. Model biaya total untuk memproduksi $x$ masker adalah $C(x) = 1000 + 5x + 0{,}01x^2$. Tentukan fungsi biaya marginal dengan definisi limit, lalu bandingkan dengan tambahan biaya tepat ketika produksi naik dari $x$ menjadi $x+1$.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Batas jangka panjang model diperoleh dengan menghitung limit ketika $t \to \infty$:

   $$\lim_{t \to \infty} P(t) = \lim_{t \to \infty} 50000(1 - e^{-0{,}1t})$$

   $$= 50000 \lim_{t \to \infty} (1 - e^{-0{,}1t})$$

   $$\begin{aligned} &= 50000(1 - 0) \\ &= 50000 \text{ unit vaksin} \end{aligned}$$

   Produksi kumulatif dalam model mendekati $50{.}000$ unit vaksin. Nilainya tidak pernah tepat sama dengan angka tersebut pada $t$ berhingga karena $e^{-0{,}1t}>0$ untuk setiap $t$ berhingga.

2. Penyelesaian:

   $$\lim_{t \to \infty} I(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{100000t}{t + 50}$$

   $$= \lim_{t \to \infty} \frac{100000t}{t(1 + \frac{50}{t})} = \lim_{t \to \infty} \frac{100000}{1 + \frac{50}{t}}$$

   $$= \frac{100000}{1 + 0} = 100000 \text{ orang}$$

   Di dalam model, jangkauan kumulatif mendekati $100{.}000 \text{ orang}$ seiring waktu bertambah. Angka tersebut menjadi batas jangkauan di dalam model. Pesan nyata dapat menjangkau jumlah yang berbeda karena kondisinya dapat berubah.

3. Penyelesaian:

   Biaya marginal adalah turunan dari fungsi biaya, yang dapat dihitung menggunakan definisi limit:

   $$\begin{aligned} &\text{Biaya Marginal} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C(x + \Delta x) - C(x)}{\Delta x} \end{aligned}$$

   Langkah detail:

   $$\begin{aligned} C(x + \Delta x) &= 1000 + 5(x + \Delta x) \\ &\quad{}+ 0{,}01(x + \Delta x)^2 \end{aligned}$$

   Kita ekspansi:

   $$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

   Lalu kita substitusikan:

   $$\begin{aligned} &C(x + \Delta x) \\ &= 1000 + 5x \\ &\quad{}+ 5\Delta x + 0{,}01x^2 \\ &\quad{}+ 0{,}02x\Delta x + 0{,}01(\Delta x)^2 \end{aligned}$$

   Maka,

   $$\begin{aligned} &C(x + \Delta x) - C(x) \\ &= 5\Delta x \\ &\quad{}+ 0{,}02x\Delta x + 0{,}01(\Delta x)^2 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &\frac{C(x + \Delta x) - C(x)}{\Delta x} \\ &= 5 + 0{,}02x + 0{,}01\Delta x \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &\lim_{\Delta x \to 0} (5 + 0{,}02x + 0{,}01\Delta x) \\ &= 5 + 0{,}02x \end{aligned}$$

   Jadi, fungsi biaya marginalnya adalah $C'(x)=5+0{,}02x$ satuan mata uang per unit produksi.

   Tambahan biaya tepat untuk unit utuh berikutnya adalah:

   $$C(x+1)-C(x)$$

   $$\begin{aligned} &=1000 +5(x+1) \\ &\quad{}+0{,}01(x+1)^2 \\ &\quad{}-(1000+5x+0{,}01x^2) \end{aligned}$$

   $$=5{,}01+0{,}02x$$

   Untuk model ini, turunan lebih kecil $0{,}01$ satuan mata uang daripada tambahan biaya satu unit yang sebenarnya. Perbandingan ini memperjelas bahwa biaya marginal adalah laju sesaat dan hanya mendekati biaya unit diskret berikutnya.