# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/lingkaran/garis-singgung-persekutuan-luar-dan-dalam
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/circle/external-tangent-line-and-internal-tangent-line/id.mdx

Pelajari garis singgung persekutuan luar dan dalam antar lingkaran. Pelajari rumus, perhitungan, dan selesaikan soal menantang dengan contoh.

---

## Pengertian Garis Singgung Persekutuan

Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua lingkaran sekaligus. Terdapat dua jenis garis singgung persekutuan:

1. **Garis Singgung Persekutuan Luar**: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang sama
2. **Garis Singgung Persekutuan Dalam**: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan

## Konsep Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan tidak memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung Persekutuan Luar
- description: Dua garis singgung persekutuan luar pada dua lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -4 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 + 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -4, y: 0 };
const O2 = { x: 4, y: 0 };
const r1 = 2;
const r2 = 3;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);

// Calculate the angle for external tangent
const sin_alpha = (r2 - r1) / d;
const cos_alpha = Math.sqrt(1 - sin_alpha * sin_alpha);

// Direction from O1 to O2
const dx = O2.x - O1.x;
const dy = O2.y - O1.y;

// Normalize direction
const ux = dx / d;
const uy = dy / d;

// Perpendicular direction (rotated 90 degrees)
const vx = -uy;
const vy = ux;

// First tangent line (upper)
// Tangent point on ... [truncated; 3085 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

### Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Untuk dua lingkaran dengan:

- Pusat lingkaran pertama: $$O_1$$
- Pusat lingkaran kedua: $$O_2$$
- Jari-jari lingkaran pertama: $$r_1$$
- Jari-jari lingkaran kedua: $$r_2$$
- Jarak antara pusat: $$d$$

Visible text: - Pusat lingkaran pertama: 
- Pusat lingkaran kedua: 
- Jari-jari lingkaran pertama: 
- Jari-jari lingkaran kedua: 
- Jarak antara pusat:

Panjang garis singgung persekutuan luar:

```math
l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}
```

### Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $$A(-3, 0)$$ dengan jari-jari $$1.5$$ dan $$B(3, 0)$$ dengan jari-jari $$2.5$$. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!

Visible text: Dua lingkaran masing-masing berpusat di dengan jari-jari dan dengan jari-jari . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!

Component: LineEquation
Props:
- title: Lingkaran dengan $$r_1 = 1.5$$ dan{" "}
$$r_2 = 2.5$$
  Visible text: Lingkaran dengan dan{" "}
- description: Visualisasi garis singgung persekutuan luar.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 + 2.5 * Math.cos(angle),
y: 2.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -3, y: 0 };
const O2 = { x: 3, y: 0 };
const r1 = 1.5;
const r2 = 2.5;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);

// Calculate the angle for external tangent
const sin_alpha = (r2 - r1) / d;
const cos_alpha = Math.sqrt(1 - sin_alpha * sin_alpha);

// Direction from O1 to O2
const dx = O2.x - O1.x;
const dy = O2.y - O1.y;

// Normalize direction
const ux = dx / d;
const uy = dy / d;

// Perpendicular direction (rotated 90 degrees)
const vx = -uy;
const vy = ux;

// First tangent line (upper)
// Tange ... [truncated; 2920 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
d = \sqrt{(3-(-3))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{36} = 6
```

```math
l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}
```

```math
l = \sqrt{6^2 - (2.5 - 1.5)^2}
```

```math
l = \sqrt{36 - 1}
```

```math
l = \sqrt{35}
```

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar adalah $$\sqrt{35} \text{ satuan}$$.

Visible text: Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar adalah .

## Konsep Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan dan memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung Persekutuan Dalam
- description: Dua garis singgung persekutuan dalam pada dua lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -4 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "B", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -4, y: 0 };
const O2 = { x: 4, y: 0 };
const r1 = 2;
const r2 = 2;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);

const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d);
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);

const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha);

const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI);
const T2y = O2.y + r2 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI);

const dx = T2x - T1x;
const dy = T2 ... [truncated; 2375 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

### Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Panjang garis singgung persekutuan dalam:

```math
l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}
```

**Syarat:** Garis singgung persekutuan dalam hanya ada jika $$d > r_1 + r_2$$ (kedua lingkaran tidak berpotongan).

Visible text: **Syarat:** Garis singgung persekutuan dalam hanya ada jika (kedua lingkaran tidak berpotongan).

### Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $$P(-5, 0)$$ dengan jari-jari $$2$$ dan $$Q(5, 0)$$ dengan jari-jari $$3$$. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam!

Visible text: Dua lingkaran masing-masing berpusat di dengan jari-jari dan dengan jari-jari . Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam!

Component: LineEquation
Props:
- title: Lingkaran dengan $$r_1 = 2$$ dan{" "}
$$r_2 = 3$$
  Visible text: Lingkaran dengan dan{" "}
- description: Visualisasi garis singgung persekutuan dalam.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -5 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 + 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -5, y: 0, z: 0 },
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "P", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "Q", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -5, y: 0 };
const O2 = { x: 5, y: 0 };
const r1 = 2;
const r2 = 3;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);

const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d);
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);

const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha);

const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI);
const T2y = O2.y + r2 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI);

return [
{ x: T1x, y: T1y, z: 0 }, ... [truncated; 2142 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 18]
- showZAxis: false

**Penyelesaian:**

Pertama, periksa apakah garis singgung persekutuan dalam ada:

Component: MathContainer
Children:

```math
d = \sqrt{(5-(-5))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{100} = 10
```

```math
r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5
```

```math
d = 10 > 5 = r_1 + r_2 \space \checkmark
```

Karena syarat terpenuhi, maka:

Component: MathContainer
Children:

```math
l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}
```

```math
l = \sqrt{10^2 - 5^2}
```

```math
l = \sqrt{100 - 25}
```

```math
l = \sqrt{75}
```

```math
l = 5\sqrt{3}
```

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah $$5\sqrt{3} \text{ satuan}$$.

Visible text: Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah .

## Lingkaran dengan Jari-jari Sama

Ketika dua lingkaran memiliki jari-jari yang sama ($$r_1 = r_2 = r$$), terdapat sifat khusus:

Visible text: Ketika dua lingkaran memiliki jari-jari yang sama (), terdapat sifat khusus:

### Garis Singgung Persekutuan Luar

Component: LineEquation
Props:
- title: Garis Singgung Persekutuan Luar untuk Jari-jari Sama
- description: Garis singgung persekutuan luar sejajar dengan garis pusat.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -3 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O₁", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "O₂", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 2, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: -2, z: 0 },
{ x: 3, y: -2, z: 0 },
],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Untuk $$r_1 = r_2$$:

Visible text: Untuk :

- Garis singgung persekutuan luar **sejajar** dengan garis yang menghubungkan kedua pusat
- Panjang garis singgung persekutuan luar adalah $$d$$ (jarak antara pusat)

Visible text: - Garis singgung persekutuan luar **sejajar** dengan garis yang menghubungkan kedua pusat
- Panjang garis singgung persekutuan luar adalah (jarak antara pusat)

## Kasus Berbagai Posisi Lingkaran

Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dan dalam untuk lingkaran-lingkaran berikut:

### Lingkaran Berjauhan

Lingkaran pertama berpusat di $$(-6, 0)$$ dengan jari-jari $$1$$, lingkaran kedua berpusat di $$(6, 0)$$ dengan jari-jari $$2$$.

Visible text: Lingkaran pertama berpusat di dengan jari-jari , lingkaran kedua berpusat di dengan jari-jari .

Component: LineEquation
Props:
- title: Kasus: Lingkaran Berjauhan
- description: Kedua jenis garis singgung persekutuan ada.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -6 + 1 * Math.cos(angle),
y: 1 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 6 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -6, y: 0 };
const O2 = { x: 6, y: 0 };
const r1 = 1;
const r2 = 2;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);

// Calculate the angle for external tangent
const sin_alpha = (r2 - r1) / d;
const cos_alpha = Math.sqrt(1 - sin_alpha * sin_alpha);

// Direction from O1 to O2
const dx = O2.x - O1.x;
const dy = O2.y - O1.y;

// Normalize direction
const ux = dx / d;
const uy = dy / d;

// Perpendicular direction (rotated 90 degrees)
const vx = -uy;
const vy = ux;

// First tangent line (upper)
// Tangent point on first circle
const T1x = O1.x + r1 * (sin_alpha * ux + cos_alpha * vx);
const T1y = O1.y + r1 * (sin_alpha * uy + cos_alpha * vy);

// Tangent point on second circle
const T2x = O2.x + r2 * (sin_alpha * ux + cos_al ... [truncated; 4353 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 18]
- showZAxis: false

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
d = \sqrt{(6-(-6))^2 + (0-0)^2} = 12
```

```math
l_{luar} = \sqrt{12^2 - (2-1)^2} = \sqrt{144 - 1} = \sqrt{143}
```

```math
l_{dalam} = \sqrt{12^2 - (1+2)^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}
```

### Lingkaran Berdekatan

Lingkaran pertama berpusat di $$(-2, 0)$$ dengan jari-jari $$1.5$$, lingkaran kedua berpusat di $$(2, 0)$$ dengan jari-jari $$1.5$$.

Visible text: Lingkaran pertama berpusat di dengan jari-jari , lingkaran kedua berpusat di dengan jari-jari .

Component: LineEquation
Props:
- title: Kasus: Lingkaran Berdekatan dengan Jari-jari Sama
- description: Garis singgung persekutuan luar sejajar, dalam berpotongan di tengah.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -2 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -5, y: 1.5, z: 0 },
{ x: 5, y: 1.5, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: -5, y: -1.5, z: 0 },
{ x: 5, y: -1.5, z: 0 },
],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -2, y: 0 };
const O2 = { x: 2, y: 0 };
const r1 = 1.5;
const r2 = 1.5;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);

const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d);
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);

const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha);

const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI);
const T2y = O2.y + r2 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - al ... [truncated; 2320 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
d = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-0)^2} = 4
```

```math
r_1 = r_2 = 1.5
```

```math
l_{luar} = d = 4
```

```math
l_{dalam} = \sqrt{4^2 - (1.5+1.5)^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}
```

## Latihan Soal

1. Dua lingkaran masing-masing berpusat di $$A(-4, 0)$$ dengan jari-jari $$2$$ dan $$B(4, 0)$$ dengan jari-jari $$3$$. Tentukan:

   - Panjang garis singgung persekutuan luar
   - Panjang garis singgung persekutuan dalam

2. Lingkaran pertama memiliki pusat $$(0, 0)$$ dengan jari-jari $$4$$, lingkaran kedua memiliki pusat $$(10, 0)$$ dengan jari-jari $$2$$. Hitunglah panjang kedua jenis garis singgung persekutuan!

3. Dua lingkaran identik masing-masing berjari-jari $$3 \text{ cm}$$. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam adalah $$8 \text{ cm}$$, tentukan jarak antara kedua pusat lingkaran!

4. Lingkaran $$A$$ berpusat di $$(-5, 0)$$ dengan jari-jari $$r$$, dan lingkaran $$B$$ berpusat di $$(7, 0)$$ dengan jari-jari $$2r$$. Jika panjang garis singgung persekutuan luar adalah $$4\sqrt{8}$$, tentukan nilai $$r$$!

5. Tentukan syarat agar dua lingkaran memiliki:
   - Tepat dua garis singgung persekutuan
   - Tepat tiga garis singgung persekutuan
   - Tepat empat garis singgung persekutuan

Visible text: 1. Dua lingkaran masing-masing berpusat di dengan jari-jari dan dengan jari-jari . Tentukan:

 - Panjang garis singgung persekutuan luar
 - Panjang garis singgung persekutuan dalam

2. Lingkaran pertama memiliki pusat dengan jari-jari , lingkaran kedua memiliki pusat dengan jari-jari . Hitunglah panjang kedua jenis garis singgung persekutuan!

3. Dua lingkaran identik masing-masing berjari-jari . Jika panjang garis singgung persekutuan dalam adalah , tentukan jarak antara kedua pusat lingkaran!

4. Lingkaran berpusat di dengan jari-jari , dan lingkaran berpusat di dengan jari-jari . Jika panjang garis singgung persekutuan luar adalah , tentukan nilai !

5. Tentukan syarat agar dua lingkaran memiliki:
 - Tepat dua garis singgung persekutuan
 - Tepat tiga garis singgung persekutuan
 - Tepat empat garis singgung persekutuan

### Kunci Jawaban

1. **Menghitung panjang garis singgung persekutuan**

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8
   ```

     
   
   ```math
   l_{luar} = \sqrt{8^2 - (3-2)^2} = \sqrt{64 - 1} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}
   ```

     
   
   ```math
   l_{dalam} = \sqrt{8^2 - (2+3)^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}
   ```

   </MathContainer>

2. **Lingkaran dengan pusat berbeda**

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   d = \sqrt{(10-0)^2 + (0-0)^2} = 10
   ```

     
   
   ```math
   l_{luar} = \sqrt{10^2 - (4-2)^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}
   ```

     
   
   ```math
   l_{dalam} = \sqrt{10^2 - (4+2)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8
   ```

   </MathContainer>

3. **Mencari jarak pusat dari panjang garis singgung dalam**

   Diketahui: $$r_1 = r_2 = 3$$, $$l_{dalam} = 8$$

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}
   ```

     
   
   ```math
   8 = \sqrt{d^2 - 6^2}
   ```

     
   
   ```math
   64 = d^2 - 36
   ```

     
   
   ```math
   d^2 = 100
   ```

     
   
   ```math
   d = 10 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

4. **Mencari nilai** $$r$$

   Diketahui: $$d = 12$$, $$r_1 = r$$, $$r_2 = 2r$$, $$l_{luar} = 4\sqrt{8}$$

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   4\sqrt{8} = \sqrt{12^2 - (2r - r)^2}
   ```

     
   
   ```math
   16 \cdot 8 = 144 - r^2
   ```

     
   
   ```math
   128 = 144 - r^2
   ```

     
   
   ```math
   r^2 = 16
   ```

     
   
   ```math
   r = 4
   ```

   </MathContainer>

5. **Syarat jumlah garis singgung persekutuan**

   - **Tepat $$2$$ garis singgung**: Kedua lingkaran berpotongan di dua titik
   - **Tepat $$3$$ garis singgung**: Kedua lingkaran bersinggungan (dalam atau luar)
   - **Tepat $$4$$ garis singgung**: Kedua lingkaran terpisah (tidak berpotongan)

Visible text: 1. **Menghitung panjang garis singgung persekutuan**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

2. **Lingkaran dengan pusat berbeda**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. **Mencari jarak pusat dari panjang garis singgung dalam**

 Diketahui: , 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

4. **Mencari nilai** 

 Diketahui: , , , 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

5. **Syarat jumlah garis singgung persekutuan**

 - **Tepat garis singgung**: Kedua lingkaran berpotongan di dua titik
 - **Tepat garis singgung**: Kedua lingkaran bersinggungan (dalam atau luar)
 - **Tepat garis singgung**: Kedua lingkaran terpisah (tidak berpotongan)