# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/lingkaran/lingkaran-dan-busur-lingkaran
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/circle/circle-and-arc-circle/id.mdx

Lingkaran dibaca dari pusat, jari-jari, diameter, tali busur, dan busur agar siswa bisa menghitung panjang busur dan juring dengan lebih terarah.

---

## Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tetap. Titik tetap tersebut disebut **pusat lingkaran**, sedangkan jarak yang sama tersebut disebut **jari-jari**.

Secara matematis, lingkaran dengan pusat $$O(a,b)$$ dan jari-jari $$r$$ dapat dinyatakan dengan persamaan:

Visible text: Secara matematis, lingkaran dengan pusat dan jari-jari dapat dinyatakan dengan persamaan:

```math
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
```

### Unsur-unsur Lingkaran

Bagaimana visualisasi dari persamaan lingkaran tersebut?

Component: LineEquation
Props:
- title: Unsur-unsur Lingkaran
- description: Visualisasi pusat, jari-jari, diameter, dan tali busur lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "Lingkaran", at: 0, offset: [1.5, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
{ text: "r", at: 0, offset: [1.5, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
labels: [{ text: "diameter", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
{ x: -2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: getColor("AMBER"),
labels: [{ text: "tali busur", at: 0, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

**Unsur-unsur penting lingkaran:**

- **Pusat lingkaran (O)**: Titik tetap yang menjadi acuan lingkaran
- **Jari-jari (r)**: Jarak dari pusat ke setiap titik pada lingkaran
- **Diameter (d)**: Tali busur yang melalui pusat lingkaran, $$d = 2r$$
- **Tali busur**: Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran

Visible text: - **Pusat lingkaran (O)**: Titik tetap yang menjadi acuan lingkaran
- **Jari-jari (r)**: Jarak dari pusat ke setiap titik pada lingkaran
- **Diameter (d)**: Tali busur yang melalui pusat lingkaran, 
- **Tali busur**: Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran

## Busur Lingkaran

Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran. Busur dilambangkan dengan simbol lengkung di atas huruf, misalnya $$\overset{\frown}{AB}$$.

Visible text: Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran. Busur dilambangkan dengan simbol lengkung di atas huruf, misalnya .

### Jenis-jenis Busur

Component: LineEquation
Props:
- title: Busur Minor dan Busur Mayor
- description: Visualisasi perbedaan busur minor dan busur mayor.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 91 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("VIOLET"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "Busur minor", at: 45, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("TEAL"),
showPoints: true,
},
{
points: Array.from({ length: 271 }, (_, i) => {
const angle = ((i + 90) * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("TEAL"),
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Busur mayor",
at: 135,
offset: [-1, -1, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

**Jenis busur berdasarkan panjangnya:**

- **Busur minor**: Busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran
- **Busur mayor**: Busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran
- **Setengah lingkaran**: Busur yang panjangnya tepat setengah keliling lingkaran

## Sudut Pusat dan Sudut Keliling

### Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah jari-jari lingkaran.

Component: LineEquation
Props:
- title: Sudut Pusat $$\angle AOB$$
  Visible text: Sudut Pusat
- description: Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari dengan titik sudut di pusat lingkaran.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "Busur AB", at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "α", at: 22, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

**Sifat sudut pusat:**

- Besar sudut pusat sama dengan besar busur yang menghadapnya
- Jika sudut pusat adalah $$\alpha$$, maka busur = $$\alpha$$

Visible text: - Besar sudut pusat sama dengan besar busur yang menghadapnya
- Jika sudut pusat adalah , maka busur =

### Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah tali busur.

Component: LineEquation
Props:
- title: Sudut Keliling $$\angle ACB$$
  Visible text: Sudut Keliling
- description: Sudut yang titik sudutnya pada lingkaran dan menghadap busur yang sama.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "A", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "Busur AB", at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

## Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{Sudut pusat}
```

```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB
```

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat.

**Contoh penerapan:**

Component: LineEquation
Props:
- title: Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling
- description: Jika $$\angle AOB = 80^\circ$$, maka{" "}
$$\angle ACB = 40^\circ$$.
  Visible text: Jika , maka{" "}
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [
{ text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0.78, y: 2.9, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: true,
labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0.78, y: 2.9, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: getColor("CYAN"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
const angle = (i * 4 * Math.PI) / 180;
return {
x: 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0. ... [truncated; 1340 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

## Panjang Busur dan Luas Juring

### Panjang Busur

Panjang busur berbanding lurus dengan besar sudut pusat yang menghadapnya.

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Panjang busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```

```math
l = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```

Di mana:

- $$l$$ = panjang busur
- $$\alpha$$ = besar sudut pusat (dalam derajat)
- $$r$$ = jari-jari lingkaran

Visible text: - = panjang busur
- = besar sudut pusat (dalam derajat)
- = jari-jari lingkaran

### Luas Juring

Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran.

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Luas juring} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```

```math
L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```

Kita dapat memvisualisasikan luas juring dengan menggunakan persamaan di atas.

Component: LineEquation
Props:
- title: Juring Lingkaran
- description: Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("PURPLE"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5, y: 2.6, z: 0 },
],
color: getColor("ORANGE"),
showPoints: true,
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
...Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
],
color: getColor("AMBER"),
showPoints: false,
labels: [{ text: "Juring", at: 30, offset: [0, 0, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

## Menghitung Panjang Busur dan Luas Juring

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $$14 \text{ cm}$$. Jika sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah $$90^\circ$$, tentukan:

Visible text: Sebuah lingkaran memiliki jari-jari . Jika sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah , tentukan:

1. Panjang busur
2. Luas juring

**Penyelesaian:**

Diketahui: $$r = 14 \text{ cm}$$, $$\alpha = 90^\circ$$

Visible text: Diketahui: ,

1. Panjang busur:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
   ```

     
   
   ```math
   l = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 14
   ```

     
   
   ```math
   l = \frac{1}{4} \times 28\pi
   ```

     
   
   ```math
   l = 7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

2. Luas juring:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
   ```

     
   
   ```math
   L = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 14^2
   ```

     
   
   ```math
   L = \frac{1}{4} \times 196\pi
   ```

     
   
   ```math
   L = 49\pi \text{ cm}^2 \approx 153{,}94 \text{ cm}^2
   ```

   </MathContainer>

Visible text: 1. Panjang busur:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

2. Luas juring:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

## Latihan Soal

1. Sebuah lingkaran memiliki diameter $$20 \text{ cm}$$. Jika sudut keliling yang menghadap suatu busur adalah $$30^\circ$$, tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama!

2. Pada lingkaran dengan pusat $$O$$ dan jari-jari $$21 \text{ cm}$$, terdapat busur $$AB$$ dengan sudut pusat $$120^\circ$$. Hitunglah:

   - Panjang busur $$AB$$
   - Luas juring $$AOB$$

3. Dua buah sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut keliling besarnya $$45^\circ$$, tentukan besar sudut keliling yang lain!

Visible text: 1. Sebuah lingkaran memiliki diameter . Jika sudut keliling yang menghadap suatu busur adalah , tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama!

2. Pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari , terdapat busur dengan sudut pusat . Hitunglah:

 - Panjang busur 
 - Luas juring 

3. Dua buah sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut keliling besarnya , tentukan besar sudut keliling yang lain!

### Kunci Jawaban

1. $$\text{Sudut pusat} = 2 \times \text{sudut keliling} = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$$

2. Diketahui: $$r = 21 \text{ cm}$$, $$\alpha = 120^\circ$$

Visible text: 1. 

2. Diketahui: ,

- Panjang busur $$AB = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 21 = \frac{1}{3} \times 42\pi = 14\pi \text{ cm} \approx 43{,}98 \text{ cm}$$
- Luas juring $$AOB = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 21^2 = \frac{1}{3} \times 441\pi = 147\pi \text{ cm}^2 \approx 461{,}81 \text{ cm}^2$$

Visible text: - Panjang busur 
- Luas juring

3. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama, jadi sudut keliling yang lain adalah $$45^\circ$$

Visible text: 3. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama, jadi sudut keliling yang lain adalah